预测控制翻译1.5

1.5多输入-多输出系统的预测控制在前面的部分我们简单介绍了基于单输入-单输出系统的预测控制系统的设计。这种设计方法很容易就被推广到多输入-多输出系统中，因为状态空间都是被公式化了的。1.5.1模型的一般公式假设设备有m个输入，q个输出和n1个状态，且假设输出变量的个数少于或等于输入变量的个数（即qm）。如果输出变量的个数大于输入变量的个数，我们就不能独立地控制每一个测量输出且稳态误差为0。在预测控制的一般公式中，我们还要将设备的噪声和干扰考虑进去。其中w(k)是输入干扰，假设其为一个综合的白噪声序列。这意味着输入干扰w(k)是与一个趋近于0的数有关的量，用差分方程来表示白噪声序列∈（k）为：w(k)-w(k-1)=∈（k）(1.35)根据式（1.33），差分方程也可以写成一下形式：定义，，然后用式（1.36）减（1.33）式可得为了将y(k)与联系起来，我们可以推出，其中选择一个新的状态向量，可以得到：【23页】其中是单位矩阵，维数为q×q，为输出变量的个数；0为一个q×n1维的零矩阵。在式（1.38）中，Am，Bm和Cm的维数分别为n1×n1，n1×m，q×n1。我们将式（1.38）简化成如下形式：其中A，B，C的形式与式（1.38）式是一致的，同时，广义状态空间方程的维数取为n(=n1+q)。这里有两点值得注意的地方：第一个是广义设计模型的特征值；第二个是状态空间模型的实现。两点都可以帮助我们更深入地理解这个模型。增广模型的特征值可以注意到增广模型的特征多项式为：其中，我们用到了下三角矩阵的额行列式等于对角线上元素的乘积这一性质。因此，增广模型的特征值是由现场模型和q来决定的，λ=1。这就意味着有q个积分器结构嵌入了增广设计模型。增广模型的可控性与可观性由于原始设备模型是经过积分器来进行增强的，而MPC设计是基于增强状态空间模型来实现的，因此控制系统中增强模型不能不可控或者不可观就显得尤为重要了，尤其对于那些不稳定的动态系统来说。可控性对于预测控制系统获得预期的闭环控制性能是首要的，而可观性对于成功的设计一个观测器是尤为重要的。然而，条件也可以放松到要求系统稳定和可检测，只考虑闭环稳定。【24页】在本书中，除非特别指出，我们要求模型必须可控且可观，一边得到期望的闭环性能。在1.6节用一个例子来说明观测器设计中可观性的重要性。因为增强模型引入额外的积分模型，我们需要检测在什么条件下这些额外的模型是可控的。最简单的方法是基于假设设备模型为最小实现。有关最小实现，可控性和可观性的介绍在控制类的书籍中可以找到。定义：传递函数G(z)的一个实现是任何状态空间（A，B，C）的三联体，例如G(z)=C(ZI-A)B。如果这样一组（A，B，C）存在的话，那么G(z)可以说是可以实现的。假如没有更小维数的三联体存在的话那么实现（A，B，C）被称为传递函数的最小实现。一个最小实现有着它自己独特的属性，将在下面的定理中总结。定理1.1：一个最小实现既是可控的又是可观的。在此背景下，我们的目的是通过对最小实现的讨论找出使得广义模型既可控又可观的条件。定理1.2：假设设备模型（Am，Bm，Cm）既可控又可观，且最小实现的传递函数，那么广义模型的传递函数（1.39）可以写成：而且在当且仅当设备模型没有z=1的零点时其为既可控又可观的。证明：要证广义模型为既可控又可观的，我们需要证明式（1.41）成立，且广义模型的最实现结构没有零极点相消的情况。给定一个方阵M其块结构如下：【25页】如果和存在，则：由等式（1.42）可得：其中，。将式（1.39）中的B，C矩阵代入，可得到如式（1.41）式所示的广义模型传递函数。由假设设备模型没有z=1的零点，且有最小实现，则广义模型的传递函数有如式（1.41）式所示的最小结构，因此可以退出其既可控又可观。对于一个单输入-单输出系统，如果一个传递函数的一个零点为z=1，那么广义模型不可控。例如，如果：则G(z)会出现零极点相消的情况，因为：在z=0.1处出现零极点相消的情况。基于用MATLAB函数（tf2ss.m)算出的的的状态空间的一个实现有两个变量如下：当传递函数有零极点相消时，这个实现将不再是最小实现。要想得到最小的状态空间的实现，下面的MATLAB脚本用于这个简单的例子。【26】页numd=[1-0.1];dend=conv([1-0.1],[1-0.9]);sys1=tf(numd,dend);sys=ss(sys1,’min’);[Am,Bm,Cm,Dm]=ssdata(sys);通过降阶得到的最小实现是：Am=0.9;Bm=-0.9806,Cm=-1.0198，在这个例子的最小实现正如我们所预期的那样只有一个状态变量。1.5.2多输入---多输出系统的预测控制方法预测控制方法的扩展是相当简单的，我们需要注意在多输入---多输出环境下状态变量、控制向量和输出向量的维数。定义向量Y和△U如下：。基于状态空间模型（A,B,C），未来的状态变量按顺序由一组未来的控制参数来计算。因为假设为一个零均值白噪声序列，则在未来采样时刻i处的预测值假设为零。所计算出来的状态变量和输出变量的预测值跟他们各自的所期望的值相同，因此噪声对预测值的影响为零。为了计算简单，期望算子被毫无疑问的省略了。实际上，我们有【27页】其中在同一个最优化窗口中的最优控制增量由下面的公式给出：其中矩阵的维数为,的维数为，并且等于的最后q列组成的向量。权矩阵是一个与维数相同的被分成m块的块矩阵。设定点信号序列作为多输出系统的q个设定点输入信号。应用滚动域控制原理，ΔU的前m个元素用来形成增量最优控制: