高考数学历年真题分类汇编《6年高考4年模拟》第六章数列第一节等差数列等比数列的概念及求和

【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》

第六章数列

笫一节等差数列、等比数列的概念及求和

第一部分六年高考题荟萃

20XX年高考•风

一、选择题

1.12012高考重庆理1】在等差数列｛4｝中，a2=l,%=5则｛%｝的前5项和$5=

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因为私=1，4=5，所以卬+/=/+4=6，所以数列的前5项和

5(。］+%)5(<7+a)5

$5-------:-=---=2-----4-=——XO=15,选B.

222

2.12012高考浙江理7】设S,是公差为d(dWO)的无穷等差数列｛an1的前n项和，则下

列命题错误的是

A.若d<0,则数列｛Sn｝有最大项

B.若数列｛Sn)有最大项，则d<0

C.若数列｛S0｝是递增数列，则对任意〃eN*,均有S,,>0

D.若对任意“eN*,均有S“>0,则数列(Sn｝是递增数列

【答案】C

【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1,0,1,2,3,满足数列｛5“｝是递增数列,

但是S.>0不成立.故选C。

3.[2012图考新课标理51已知｛。“｝为等比数列，4+%=2，a5a6——8,则q+q。=

()

(A)7⑻5(C)-5(0)-7

【答案】D

【解析】因为｛4｝为等比数列，所以a5a6=4%=-8,又%+%=2，所以

a4=4,%=—2或4=—2,%=4.若％=4，=-2,解得％=—8,a[Q=1,

。1+。10=一7；若。4=-2,。7=4，解得。]()=-8,a]=1,仍有q+%o=-7,综上

选D.

4.12012高考上海理18]设sin—■,Sn=«,+a-,+…+a“，在S1，S2,…，Sg中，

n25

正数的个数是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】当1W24时，an>0,当26W〃W49时，*<0,但其绝对值要小于

24时相应的值，当51W4W74时,%>0,当76W/1W99时，an<0,但其绝对值要小于

51W〃<74时相应的值，，当1W”W100时，均有S“>0。

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，

从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0,这就是规律，考查综合分析问题和解决问题

的能力.

5.12012高考辽宁理6】在等差数列｛如｝中，已知44+*=16,则该数列前11项和Si产

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差数列中，4+41=%+%=]6,二s”=11x(3+"“)=88,答案为B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能

力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

612012高考福建理2】等差数列｛4,｝中，ai+a5=10,a4=7,则数列｛a/的公差为

A.lB.2C.3D.4

【答案】B.

考点：等差数列的定义。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式%+(〃-1)4。

【解析】法1：由等差中项的性质知的=%爱=5,又•.•4=7,%=2.故选

B.

'24+4〃=10

法2：<=>d=2

4+3d=7

7.12012高考安徽理4】公比为蚯等比数列｛4｝的各项都是正数，且生卬=16,则log2%=

()

(A)4(B)5(C)6(D)7

【答案】B

【解析】I=16<=>a；=16<=>%=4=a%=%X/=32<=>log2al6=5.

812012高考全国卷理5】已知等差数列｛a0｝的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列

的前100项和为

1009999101

(A)—(B)——(C)—(D)—

101101100100

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前〃项和的公式的运用，以及裂项求和

的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。

【解析】由牝=5,§5=15,得6=1,4=1,所以%=1+(〃-1)=〃，所以

11111111,1100

-----1----------=------1-------1----1----------=1-----=----,选A.

4的《oo/oi1223100101101101

二、填空题

9.(2012高考浙江理13】设公比为q(q>0)的等比数列｛a,J的前n项和为Sn。若S2=3az+2,

S4=3a4+2,则q=。

【答案】:

2

【解析】将$2=34+2,S4=3《+2两个式子全部转化成用4，q表示的式子.

即(4+%=3"+2两式作差得：府+4/=34"_1),即：2相y-3=0,

14+44+%4~+。闻+2

解之得：4=；或g=-1(舍去).

10.12012高考新课标理16］数列仅“｝满足。，用+(-1)"%=2〃一1,则｛。“｝的前6()项和

为

【答案】1830

【解析】由4+|+(-1)"。“=2〃-1得，

%+2=(-1)“区用+2〃+1=(-l)n[(-l)n-'a“+2n-l]+2n+l

=-%+(-1)"(2〃-1)+2〃+1,

即J+a”=(-l)n<2n-l)+2n+l,也有%+3+4+1=一(一l)"(2〃+D+2〃+3,两式相

加得%+%“+/2+”“+3=一2(-D"+4«+4,设4为整数，

4i+l

则«4*+1+为"2+&H3+4A4=-2(-l)+4(4%+1)+4=16%+'10，

1414

于是560=+"4"2+。4«+3+~+4)=X"6k+'1O)=1830

K=0K=0

11.[2012高考辽宁理14]已知等比数列｛%｝为递增数列，且d=4o,24+4+2)=5。,加，

则数列｛斯｝的通项公式如=。

【答案】2"

【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.

9

【解析】a；=4o，；.(《小y=atq,：.at-q,：.an=q",

2(a“+a“+2)=5a“+i,2a”(1+q?)=5a,q,2(1+q?)=5q,解得q=2或q=g(舍去)，；.a“=2"

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。

12.12012高考江西理12]设数列｛aQ,｛bj都是等差数列，若/+々=7,%+&=21，

则a5+b5=.

【答案】35

【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想

【解析】(解法一)因为数列｛。“｝,｛勿｝都是等差数列，所以数列｛见+〃｝也是等差数列.

故由等差中项的性质，得(％+么)+(4+4)=23+4),即(4+怎)+7=2X21,解得

a5+b5=35.

(解法二)设数列伍“｝,他J的公差分别为

因为生+仇=(%+2即+(4+2&)=(%+4)+2(4+d2)=7+2(4+—2)=21,

所以4+4=7.所以％+4=（%+4）+2（4+《）=35.

【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等

差数列的性质进行巧解.体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公

式，前〃项和，等差中项的性质等.

13.［2012高考北京理10］己知［%｝等差数列为其前n项和。若％=；，S2=a3,则

1,1

2

【答案】a2=l,Sn=-n+-n

-"44

［解析】因为§2=/nq+%=/nq+4+d=q+2"nd=q=5，

121

-

所以%=q+d=1,Sn=na}4-n(n-V)d=—n*+—no

14.12012高考广东理11】己知递增的等差数列{aQ满足ai=l,^=0^-4,则an=

【答案】2n-\

【解析】由生=七2—4得到1+2d=(1+d)2-4,即=4,应为｛an｝是递增的等差数列,

所以d=2,故。“=2〃一1。

三、解答题

15【2012高考江苏20］(16分)已知各项均为正数的两个数列｛%｝和｛〃,｝满足:

(1)设2+|=1+九，/cN*,求证：数列"①］是等差数列;

(2)设。用=应・2，nuN*,且｛凡｝是等比数列，求4和2的值.

:.数列］%），是以1为公差的等差数列。

⑵b“>0,44,2+片<（4+〃/

+尸/%+””4④。（*）

设等比数列{%}的公比为4，由。“>0知q>0,下面用反证法证明q=l

n

若4>1,则q="<。2工血，，当〃>logq——时，an+}=a}q>41,与（*）矛盾。

Q%

若OVqVl,则可二生>。2>1，，当〃>logq,时，4+1=4闯”<1，与（*）矛

q〃］

盾。

综上所述，9=1。・，・册=/N*）,/.1<tZj<V2o

又..”“+1=应・%=立・与（〃eN*）,；.{b„}是公比是走的等比数列。

册a\a\

若处手叵,则三>1,于是仄<b2Vb3。

%

又由“e=即%=a'+b",得2="|±%：也一"：

才t

；.仇,b2,々中至少有两项相同，与仿<与矛盾。.，.。］=夜。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设“的=普辿」和/,=1+%,求出如_=1+1%］，从而

（,\2z、2

证明也.—%=1而得证。

\an+\/\^n/

(2)根据基本不等式得到1<%=W0,用反证法证明等比数列｛/｝

的公比4=1。

从而得到4=%(〃eN*)的结论，再由2+产3・4=史・为知色｝是公比是立的等比

%«i«i

数列。最后用反证法求出q=3=及。

16.12012高考湖北理18](本小题满分12分)

已知等差数列仅“｝前三项的和为-3,前三项的积为8.

(I)求等差数列｛4｝的通项公式；

(H)若％,4，4成等比数列，求数列｛|q1｝的前力项和.

【答案】(I)设等差数列｛〃“｝的公差为4,则生=4+"，%=4+2d,

3q+3d7解得%=2,或4=

由题意得

%(4+d)(q+2d)=8.d=-3.d=3.

所以由等差数列通项公式可得

an=2—3(〃-1)=一3〃+5,或4“二一4+3(〃—1)=3??—7.

故an--3〃+5,或4=3〃-7.

(II)当%=-3〃+5时，a2,%，%分别为一1，-4,2,不成等比数列；

当％=3〃-7时，出，生，《分别为-1，2,-4,成等比数列，满足条件.

—3〃+7,九二1,2,

故|%|=|3〃-7|=

3n-7,n>3.

记数列｛|《|｝的前/项和为S“.

当M=]时,$=|4|=4；当〃=2时，§2=|4|+1%|=5；

当心3时，

S〃=§2+1/I+1%I++1I=5+(3x3—7)+(3x4—7)++(3/?—7)

(〃一2)[2+(3〃-7)]3

=5+=—n:2--»+10.当〃=2时，满足此式.

222

[4,n=1,

综上，S„=M,|1

—n'---〃+10,n>1.

122

17.[2012高考广东理19](本小题满分14分)

设数列｛a,J的前n项和为Sn，满足2S“=a,m一2"+1,ndN,，且a”a2+5,a3成等差数列.

(1)求小的值；

(2)求数列｛aj的通项公式.

1113

(3)证明：对一切正整数n,有1----1----1---<—.

a〕a2an2

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解

能力与推理论证能力，难度一般.

+l,,+2n+1

【解析】(1)2S“=an+l-2"+1,2S,m=a,.-2+1相减得：«„+2=3an+]+2

2sl=%-3<=>%=2q+3,/=3a,+4=6q+13

a^a2+5,生成等差数列<=>q+%=2(a2+5)<=>q=1

(2)q=1,。2=5得〃”+i=3。〃+2"对N*均成立

%=34+2”=%+2*3(%+2〃)

得

。〃+2"=7+7=_+==+==-

13

(3)当？7=1时，一=1<—

42

当“22时，([)”>(1)2>2。3">2x2"o%>2"=-!-<£

111,111,113

23

%a2an222"22"2

11]3

由上式得：对一切正整数〃，有一+—++—<一。

qa2an2

18.【2012高考陕西理17](本小题满分12分)

设｛4｝的公比不为1的等比数列，其前"项和为S,,,且%,生，%成等差数列。

(1)求数列｛q｝的公比；

(2)证明：对任意人eN+，S*+2，SQS*+1成等差数列。

【解析】(1)设数列｛%｝的公比为q(#0,”1)。

由%，内，4成等差数列，得2a3=%+“4，即=qq"+qq3。

由q*0,qwO得/+4—2=0,解得％=—2,%=1(舍去)，所以《=一2。

(2)证法一：对任意AreN+，(IbyIfx)

S&+2+\+i—2s*=(S*+2_sj+(s*+]-Sj

4+1+ak+2+ak+\

="+为+「(—2)=。，

所以，对任意々eN+，Sk+2,Sk,Si成等差数列。

2q』T)

证法二：对任意kwN+，2S,=—----1

i-q

2—%)=T一2

i—q

=言[2(1一4>(2—产W

=黑(。2+"-2)=0,

因此，对任意keN+,Sk+2,Sk,SE成等差数列。

19.12012高考重庆理21](本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)

设数列的前”项和S“满足5„+)=a2s“+%,其中a2Ho.

(I)求证：|a“|是首项为1的等比数列；

n

(II)若4>-1,求证：S〃<5(4+4)，并给出等号成立的充要条件.

【答案】(1)证明：由52=%5]+4，得4+〃2=4%+。1，即出二%4。

因生。0，故4=1，得%■=4，

囚

又由题设条件知Sn+2=a2s〃+[+〃]，Sn+l=a2Sn+q

两式相减得Sn+2-SnU=2(Sn+l-Sn),即an+2=a2all+l,

由dw0,知a〃+]w0,因此一"2=

a

n+l

综上，卜=4对所有〃eN*成立，从而｛4｝是首项为1,公比为的的等比数列。

(2)当〃=1或2时，显然S〃=5(q+。〃)，等号成立。

设〃23,%>一1且。2。0，由(1)知，4=1，4=〃2〃7,所以要证的不等式化

为：

1+a)+a/+।+।)(〃之3)

即证：1+。2+/2++a2~）（，2-2）

当。2=1时，上面不等式的等号成立。

当—1<%<i时，—1与％"'—1，（歹=a,i〃一）同为负；

当生>1时，出〃-1与W'fT，"=a，1n-）同为正；

因此当。2>-1且。201时，总有（WT）（出"「一1）>°，即

+〃2''<1+W，（­=3,1n-）o

nrn

上面不等式对r从1到〃—1求和得，2（4+42++«2-）<（n-l）（l+«2）

+a

由此得1+。2+42+2<^—（l+«2"）

n

综上，当—°时‘有*”…），当且仅当…2或%=1时等号成立。

20.【2012高考江西理161（本小题满分12分）

1,

已知数列｛an｝的前n项和S,=一一n2+kn,左eN*,且S”的最大值为8.

2

（1）确定常数k,求an；

9-2a

（2）求数列｛2〃■的前n项和Tn。

【答案】解：（1）当“=ZeN*时，=-,〃2+如取最大值，即8=一4公+炉=4人2,

"222

979

故％=4,从而。〃=S〃-S〃_］二万一〃（〃22）,又q=S［=Q,所以。〃二万一〃

/.、e”,9-2an.23n-1n

（1）因为勿=-^；—=广，雹=〃+4++2=1+耳+齐++^7T+而

llyee-311n/1n,几+2

所以7；=27；—7；=2+1+/++^7-^7=4--^---=4--^q-

【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利

用%=，1_来实现。0与S”的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意

户"1

4=S“-S,I不能用来求解首项q，首项4一般通过q=E来求解.运用错位相减法求数列

的前〃项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是

等比数列.

21.12012高考湖南理19］（本小题满分12分）

已知数列｛a,J的各项均为正数，记A(Z7)=ai+az+...+&,B(n)=a2+a3+...+a,^,C(〃)

=&+&+...+a,r2,n=\,2,....

(1)若a=1,a2=5,且对任意〃WN*,三个数/"),8(〃)，C")组成等差数列，求

数列｛4｝的通项公式.

(2)证明：数列｛a｝是公比为。的等比数列的充分必要条件是：对任意“eN*,三个

数/(〃)，B(/?),C(n)组成公比为<?的等比数列.

【答案】解(1)对任意“eN*,三个数4(“),8(〃),。(〃)是等差数列，所以

8(汾~A(闰C(-n)

即4+|-4=an+2,亦即an+2-an_x=a2-a,=4.

故数列｛4｝是首项为1,公差为4的等差数歹ij.于是a“=l+(〃—l)x4=4〃—3.

(II)(1)必要性：若数列也｝是公比为g的等比数列，则对任意“eN*,有

a,1=anq.由an>0知，A(〃),B(〃),C(“)均大于0,于是

B(n)_a+a^.：+a」式4+。#.+a„_)

=2:n+一=q,

A(〃)4+。步・・+。“a\a+2.+a/J

C(〃)_4+a/...+%+q(.a+a.+a,

~=-2l+L=)q,

B(n)a2+a#…+a〃+｝a+g+..3+«n+,

即驷=及»=q,所以三个数A(〃),8(〃),C(“)组成公比为q的等比数列.

A(〃)B(〃)

(2)充分性：若对于任意〃eN*,三个数A(“),B(〃),C(〃)组成公比为4的等比数列，

则

3(“Aq4立，£(〃)，

于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(〃可，得an+2-a2=q｛an+x-ay),即

a“+2-qa“+ra-

由〃=1有5(1)=qA(y),即a2=qa｝,从而aII+2-qan+l=0.

因为4,>0,所以吐=&=q,故数列｛4｝是首项为q,公比为q的等比数列，

%+i%

综上所述，数列｛《,｝是公比为4的等比数列的充分必要条件是：对任意n£N*,三个数

4(〃),85),。(〃)组成公比为4的等比数列.

［点评］本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列

定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

22.【2012高考山东理20】本小题满分12分)

在等差数列｛%｝中，/+%+%=84,佝=73.

(I)求数列｛凡｝的通项公式；

(II)对任意meN*,将数列｛见｝中落入区间(9"',92"')内的项的个数记为勾，求数列

也,｝的前m项和Sm.

【答案】解：(I)因为｛q｝是一个等差数列，

所以a3+a4+a5=3a4=84，即4=28.

所以，数列仅“｝的公差。=会/212s=9,

所以,a,,=a4+(«-4)J=28+9(n-4)=9/7-8(n6N*)

(U)对/〃eN*,若9m<a„<92w,

贝(I9'"+8<9〃<92m+8,因此9n,-'+l<w<9”"T,

2mm

故得bm=9-'-9(lbylfx)

于是Sm=-bm

=(9+93+95+...+92m-')-(l+9+92+...+9m-')

=9x(1-81"')i-9»

=-1^811^9-

92wi+l-10x9m+l

一80

20XX年高考题

一、选择题

1.(天津理4)已知储"｝为等差数列，其公差为-2,且出是附与名的等比中项，S,为

｛""｝的前〃项和，则So的值为

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.(四川理8)数列｛4｝的首项为3,｛2｝为等差数列且“=”"+「%(〃€"*).若则

4=-2,4o=12,则〃§=

A.0B.3C.8D.II

【答案】B

【解析】由已知知勿=2〃-8,。e一&=2〃-8,由叠加法

（g—q）+（%—%）++（。8—%）=—6H—4H—2+0+2+4+6=0=>《=q=3

3.（全国大纲理4）设3为等差数列｛叫的前〃项和，若4=1,公差d=2,Sk+「Sk=24,

贝！1左=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）已知数列｛%｝的前n项和S"满足：S”+£=£,+,“，且％=i.那么4o=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空题

5.（湖南理12）设5“是等差数列仅"｝（〃eN*）,的前〃项和，且q=L%=7,

则‘9=

【答案】25

6.（重庆理11）在等差数列仅"｝中，%+%=37,则%+%+1+%=

【答案】74

7.（北京理11）在等比数列｛an｝中，al=2,a4=-4,则公比q=；

同+同+...+同=。_2

【答案】2

8.（广东理11）等差数列,』前9项的和等于前4项的和.若4=1，4+%=°,则

k=.

【答案】10

9.（江苏］3）设1〈卬其中al，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6

成公差为1的等差数列，则q的最小值是

【答案】历

三、解答题

10.（江苏20）设M部分为正整数组成的集合，数列S”｝的首项4=1,前n项和为S",

已知对任意整数k^M,当整数〃>攵时，S“+*+S“_*=2(S“+S*)都成立

(1)设“=⑴吗=2,求名的值;

(2)设"={3,4}，求数歹也凡}的通项公式

本小题考查数列的通项与前〃项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析

探究及逻辑推理的能力，满分16分。

解：⑴由题设知，当,2谢,5“+|-S,i=2(S“+S1),

即(S“+|-S“)一(S,,-S.T)=2S],

a+l

从而"~°”=2al=2、又4=2,故当〃N2时,an=a2+2(〃-2)=2〃-2.

所以处的值为8。

(2)由题设知，当无wM={3,4},且”>%时,S"*+Si=2S.+2S*

且S"""+S“+~=2Sm+2S«

两式相减得％+i+«+4+1T=2%+1，即4+1+«―4+i=%+|一%+一

所以当〃28时,«„_6,an_3,an,a,“3,an+6成等差数列，且an_6,an_2,an+2,an+6也成等差数

刖

从而当〃时，2a“=a,+3+4,-3=%+6+4,-6•(*)

日an+6+an-6=%+2+%-2，所以当〃28时,2。”=+d1

f

即"〃+2一一风一2•于一正当〃-9时,。〃一3，〃一〃1,4+1，々〃+3成等差数列,

从而"〃+3+an-3=4+1+%,

aa

故由(*)式知=%+n-\，即4+1一%=。〃-n-V

当〃29时，设"=。〃­。〃+1・

当24加《财，祖+628,从而由(*)式知%+6=。,“+《”+12

故26“+7=4+1+4+3

aa

从而2(a，"+7-,n+6)=«„,+!-,„+(«,„+13-。,“+12),于是«„,+1-=2d-d=d.

aa=d

因此，'^~'<对任意n>2都成立，又由Sn+k+Sn_k-2Sk=2sli(ke{3,4})可

知(％-S.)-⑸-Si)=2&，故9d=2s3且16d=2s4,

73d

.=—而。2=—d,%=一.

解得222

因此，数列⑷｝为等差数列，由q=1知"=2.

所以数列｛能｝的通项公式为4=2"-1.

11.(北京理20)

若数歹UA"=%g…，"”(〃22)满足以+1一《|=1(攵=1,2,.,〃_1),数列4为E数列,

记S()=q+2+…+4]

(I)写出一个满足q=4=°,且S(A)〉0的E数列4；

(II)若6=12,n=2000,证明：E数列4是递增数列的充要条件是4=2011；

(III)对任意给定的整数n(n>2),是否存在首项为0的E数列4,使得S(4)=o?

如果存在，写出一个满足条件的E数列4；如果不存在，说明理由.

解：(I)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)

(II)必要性：因为E数列A5是递增数列，

所以4句一%=1(左=12…1999)

所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.

所以a2000=12+(2000—1)xl=2011.

充分性，由于22000—210000,

a2000—al000<l

a2—a1W]

所以a2000—a<19999,即a2000<a1+1999.

又因为因=12,a2000=2011,

所以a2000=al+1999.

—a„=1>0(k=1,2,…,1999),即且、单+的如罚

故“+i、，，，八，“是递增数列.

综上，结论得证。

(III)令4=4+i=1>0(%=12…，”-1),则5=±1.

因为％=al+ci+ai=q+q+Q

an-a\+G+C2+,,•+%,

所以S(A")="4+(〃T)G+(»-2)C2+(»-3)C3+•••+c,i

，l(，>

=7-[(l-cl)(H-l)+(l-c2)(n-2)+---+(l-cn_,)].

因为q=±1,所以1-c*为偶数(A=1,…，〃-1).

所以*1一。)("一D+(l-。2)(〃-2)+…+(1-％)为偶数，

S(A“)=0,必须使迎二。

所以要使2为偶数，

即4整除"5-1"亦即n=4机或〃=4m+l(mGN*)

当几=4"i+l(mGN*)时,E数列的项满足。4什]==0,〃4卜2=T=1

(Z=l,2,…,加)时，有％=0,S(A〃)=0;

a4k=1(2=12…，⑼,。4川=耐,有G=0,S(A〃)=0；

当〃=4加+1(加GN*)时,E数列A,,的项满足，为"1=。3"3=0,«4*-2=一1，

4m+

当〃=2或〃=4加+3(meN)时,不能被4整除，此时不存在E数列An(

使得a\=°，S(A〃)=0.

12.(广东理20)

V空t(〃？2)

设b>0,数列满足al=b,«„-i+2«-2

(1)求数列｛%｝的通项公式;

‘b'，+',

ciW—-+1

(2)证明：对于一切正整数n,n2计

解：

2/2-1

CL=6>0,知=------———

⑴由“"T+2/7-2上an-\

n.1

一，4=-

令a.b

12

n>MA.=-+-A_

当hhn]

12r~22〃T.

=/京++产+尸A

122"22'i

=—I—z~+H--------H---------.

bb2b"~'bn

①当匕H2时，

.%1。七/2丫卜2

A-_______'/—__________

"~,2~h"(b-2)

h

。=2时，4=g.

②当2

\nbyb-2)

-----------,b#2

b"-r

2,b=2

nbn(b-2)9L只需证出岑+D*

(2)当匕H2时，(欲证b"-2")

h"—?n

(2n+l+bn+l)-~—=(2n+,+b"+i)(&"-'+2bL2++2”T)

h-2

=2n+,b"-'+2"+2b"-2++22"+b2"+2b2n-'++2n-'b"+l

222+**”++2)

b"2"2'i2

>2"b"(2+2++2)=2〃2方=〃-2"+方

nbn(b-2)b,,+l,

Cl--------------<----r+1.

"b"-2"2"n+'

hn+}

8=2时,a,=2=J+l.

当"2n+1

凡

综上所述2"+1

13.(湖北理19)

已知数列｛""｝的前〃项和为S",且满足:0=4(。/0),a“+i=r£("£N*,

(I)求数列｛“"｝的通项公式；

(H)若存在Z6N*,使得*+i,0,&+2成等差数列，是判断：对于任意的加6N*,

且〃，22,飙+i,am,而+2是否成等差数列，并证明你的结论.

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般

的思想。(满分13分)

解：(I)由已知《用="〃，可得。"+2=rS“+|,两式相减可得

4+2-4，+尸一⑸角-S“)=”用’

即可+2=(〃+1)勺+1，

又出=必=肛所以『0时，

数列｛"/为：a,0,0,-；

当rwO/H.l时，由已知a/0,所以工0

_展=r+l(〃eN")

于是由4+2=(,+1)4+”可得4+i,

，4+成等比数列，

.,.当n22时-a=r(r+D”2a.

f1t

a.n=l,

ci=<

综上，数列伍"｝的通项公式为n"[r(r+iy-2a,n>2

(II)对于任意的根eN",且”22,4“+1,%„,。,“+2成等差数列，证明如下：

am—<

当r=0时，由⑴知，

二对于任意的加eN*,且加之2,a,„+l,am,am+2成等差数列，

当r，0,广力-1时，

Sjt+2=&+%++®+2'Sk+1+4+]•

若存在k€N*,使得1+i，，，S*+2成等差数列,

则%+S#+2=2Sk,

1,*2sA+2%+]+%+2=2sle,即以+2=-2%[,

由(I)知，的，〃3，'品，的公比〃+1=-2,于是

对于任意的mcN*,且加之2,册+i=-2am，从而4”+2=4《〃，

4+1+am+2=2am，即册+1，am，4+2成等差数列,

综上，对于任意的meN*,且加之2,4卅,%,劣+2成等差数列。

14.(辽宁理17)

已知等差数列｛an｝满足a2=0,a6+a8=-10

(I)求数列｛an｝的通项公式；

闺

(II)求数列口J的前n项和.

解：

4+"=0,

V

(I)设等差数列伍"的公差为d,由已知条件可得〔2弓+12"=-10,

《4=L

解得I"一"一1L

故数列｛%｝的通项公式为“”=2-〃.............5分

⑺设数列帝的前〃项和为s,，即i+争+含脚口

aa怎

-------_-----\----.1------2----r.+

2242"

所以，当〃>1时,

12—n

n

F-

e;〃

blI'61•

所以2

综上,数列帝的前〃W...................12分

15.(全国大纲理20)

_J______

设数列｛风｝满足6=°且1-%+i1一。，，

(I)求｛%｝的通项公式；

记S“=£a，证明：s“<L

(H)设7〃*=|

解：

--一

(I)由题设1-4+11-4

广｝

即1一°"是公差为1的等差数列。

1,,,1

------=1,故-----=n.

又1-41-4

a„=1」.

所以〃

(II)由(D得

b"

7n

J〃+1-&

J"+l・G

11

8分

A-l«.-1Vkyjk+\y/n+\12分

16.（山东理20）

等比数列｛4｝中，4'%'的分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且4，%