专题5、手拉手相似

终生学习，成就孩子，成就自己。手拉手相似模型【知识要点】1、手拉手相似中的相似三角形的证明和求‘第三边夹角’。请证明图中的相似三角形；若△ABC和△ADE为相似的等腰三角形：若△ABC和△ADE为相似的普通三角形：2、手拉手相似模型总结：有等腰三角形的手拉手会产生一组新全等三角形；普通的三角形手拉手会产生一组新相似三角形。手拉手之歌：【例题讲解】类型一、手拉手产生全等三角形【例题1】如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：（1）AG与CE是否相等？（2）AG与CE之间的夹角为多少度？【例题2】如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点H．求证：（1）AE＝DC；（2）∠AHD＝60°；（3）连接HB，HB平分∠AHC．【例题3】．【例题4】如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间的等量关系，并证明．类型二、手拉手产生相似三角形【例题1】（襄阳中考）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则CF：EF=（）【训练1】（2020秋•成都期末27题）1、问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试运用：如图（2），在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度；拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝．求AD的长．【课堂总结】2.3.【强化训练】1、（川大附中考试27题）（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．求：①AC：BD的值；②∠AMB的度数．（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断AC：BD的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OCD点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝2，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．2、（22年新都模拟）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，把△ADE绕点A旋转，点P为射线BD与CE的交点．（1）如图1，当点D在线段CE上时，求证：BD＝CD＋AD；（2）若AB＝2，AD＝1，①如图2，当点E在BA延长线上时，求PC的长；②在旋转过程中，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值．【综合应用】1、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD=6，CF=8，求AD的长．2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.应用：在探究的条件下，若AB=2，CD=1，则△DCE的周长为.拓展：(1)如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.(2)如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.3、如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α.⑴如图1，当α=60°时，∠BCE=；⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；（3）如图3，当α=120°时，则∠BCE=.【真题再现】1．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．（武侯区模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、AB上，且CD＝AE，BD与CE相交于点P．（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）如图2，将△CPD沿直线CP翻折得到对应的△CPM，过C作CG∥AB，交射线PM于点G，PG与BC相交于点F，连接BG．ⅰ）试判断四边形ABGC的形状，并说明理由；ⅱ）若四边形ABGC的面积为6根号3，PF＝1，求CE的长．【课后练习】1、在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角