模糊数学20082运算、分解定理

模糊数学Email.1回顾L.A.Zadeh的研究领域是什么？“拂晓”、“中午”、“晚上”2L.A.Zadeh(1921～)

美国自动控制专家，美国工程科学院院士。1921年2月生于苏联巴库。1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。31-3模糊集的运算4模糊集合的运算经典集合有哪些运算？将经典集合的运算推广至模糊集合逐点对隶属度作相应的运算5空模糊集合&相等模糊集合设A、B为论域X上的模糊集定义1：若对任何

x∈X，有μA(x)

=0，则称模糊集A为空集，记为A=φ；定义2：若对任何

x∈X，μA(x)

=μB(x)

，则称模糊集A和B相等，记为A=B；6模糊集合的包含⊆定义3：若对任何

x∈X，μA(x)

≤μB(x)

，则称模糊集A包含于模糊集B，记为A⊆B7模糊集合的并集定义4：两个模糊集合的并集A∪B

的隶属函数定义为μA∪B(x)

=μA(x)

∨μB(x)

8模糊集合的交集定义5：两个模糊集合的交集A∩B的隶属函数定义为μA∩B(x)

=μA(x)

∧μB(x)

9模糊集合的余集定义6：模糊集合A的余集Ac的隶属函数定义为10模糊集合的余集若论域X表示商品集合，模糊集合A表示商品质量好，模糊集合B表示商品质量坏Ac表示什么？Ac=B?商品质量不好，并不代表商品质量坏。模糊集合能够很好的表现这些概念的差异。11Example1论域X={x1

,x2

,

x3

,x4

,,x5}A,B是论域X上的两个模糊子集，A=0.5/x1+0.3/x2+0.4/x3+0.2/x4B=0.2/x1+0.6/x4+1/x5请计算A,B的余集：A∩B，A∪B12Example2模糊集合“年轻”记为Y模糊集合“年老”记为O请大致给出模糊集合Y∩O，Y∪O的隶属函数曲线13模糊集合运算性质（幂等律）A∪A＝?,A∩A=?性质1.幂等律：A∪A=A，A∩A=A14模糊集合运算性质（交换律）性质2.A∪B=B∪AA∩B=B∩A15模糊集合运算性质（结合律）性质3.(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)16模糊集合运算性质（吸收律）性质4.A∩(A∪B)=?AA∪(A∩B)=？A17模糊集合运算性质（分配律）性质5.(A∪B)∩C=？(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=？(A∪C)∩(B∪C)18模糊集合运算性质（0-1律）性质6.A∪Φ＝?,A∩Φ＝?A,ΦU∪A=?,U∩A=?U,A19模糊集合运算性质（还原律）性质7.(Ac)c=?(Ac)c=A20模糊集合运算性质（对偶律）性质8.(A∪B)c=？Ac∩Bc(A∩B)c=？Ac∪Bc21经典集合的其他性质经典集合的运算中，还有“排中律”Ac∪A=U,A∩Ac

=ΦQuestion.

模糊集合运算中，“排中律”是否成立？22排中律不成立排中律不成立表明：模糊集不再具有“非彼即此”的特点，这正是模糊性带来的本质特征23课内作业5道课内作业当堂完成，时间25分钟。上交，算一次成绩。24课内作业1-1（共5道）证明性质5（分配律）(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)25课内作业1-2设X={a,b,c,d,e,f,g}A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/fB=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/gC=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g求A∩B,A∪B,(A∪B)c

∩C,(A∩B)c∪C,(A∩Ac)∪A,(A∩Ac)∪C26课内作业1-3论域X={1,2,…,10}，定义X上的两个模糊集合：[大]=A=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10[小]=B=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5求C=[不大],D=[不小],E=[或大或小],F=[不大也不小]27课内作业1-4设论域X=[0,1]，A是X上的模糊集合，其隶属函数为μA(x)=x，试求A∩Ac和A∪Ac的隶属函数，并做出解释。28课内作业1-5291-3答案301-4答案311-5答案321-4.λ水平截集33模糊集合与经典集合的关系模糊集合是经典集合的扩充模糊集合可以用经典集合来表示34范例[奴隶社会]=1/夏+1/商+0.9/西周+0.7/春秋+0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉如果将隶属度≥0.5的朝代看作真正的奴隶社会，将模糊集合[奴隶社会]转化为经典集合[奴隶社会]0.5

，则

[奴隶社会]0.5=？35λ水平截集的定义定义：设A∈F(X)（F(X)是指X上的所有模糊子集构成的集合），对任意实数λ∈[0,1]，称经典集合

Aλ={x|x∈X，μA(x)≥λ}为A的λ水平截集，或λ-截集，称Aλ={x|x∈X，μA(x)>λ}为A的λ-强截集36Question.模糊集合A的λ-截集Aλ是什么集合？Aλ的特征函数是什么？37λ-截集的特征函数一个模糊集A的水平截集是普通集合，其特征函数为：Aλ的图例38λ－截集（例）设模糊集合A为正态模糊集，即隶属函数为正态函数

A(x)=exp{-(x-a)2/σ2},x∈R,其中a∈R,σ>0Question.对于0<λ≤1,求Aλ.39λ截集的性质1性质1.设A，B为论域X上的模糊集，λ∈[0,1]，若A⊆B，则Aλ⊆Bλ证明：x∈Aλ⇔μA(x)≥λA⊆B⇔∀x∈X,μB(x)≥μA(x)⇒μB(x)≥λ⇔x∈Bλ40λ截集的性质2性质2.设A，B为论域X上的模糊集，λ,μ∈[0,1]，若λ≤μ，则Aλ⊇Aμ证明：x∈Aμ

⇔μA(x)≥μ又已知λ≤μ⇒μA(x)≥λ⇔x∈Aλ41λ截集的性质3性质3.设A，B为论域X上的模糊集，λ∈[0,1]，则有(A∪B)λ=?(A∩B)λ=？Aλ∪BλAλ∩Bλ42证明(A∪B)λ=Aλ∪Bλ证明：x∈(A∪B)λ⇔μA∪B(x)≥λ又因为μA∪B(x)=max{μA(x),μB(x)}⇔μA(x)≥λ或μB(x)≥λ⇔

x∈Aλ或x∈Bλ⇔

x∈Aλ∪Bλ43λ水平截集由性质2（若λ≤μ，则Aλ⊇Aμ)可知：λ越大，则Aλ越小，或者说Aλ包含的元素越少。Question.

什么时候Aλ最小？44模糊集的核与支集λ=1时，Aλ最小，称截集Aλ=1为模糊集A的“核”，若Aλ=1非空，则称A为正规模糊集模糊集A的支集

suppA={x|x∈X,μA(x)>0}核与支集的关系：核Aλ=1中的元素完全隶属于A，随着λ值的下降，Aλ逐渐扩张，最后扩张为A的支集suppA45模糊集与λ的乘积运算A是X上的模糊子集，定义λA仍然表示X上的模糊子集，称为λ与A的“乘积”，其隶属函数规定为：46水平截集Aλ与λ的乘积运算Aλ是U的经典子集，定义λAλ表示U上的模糊子集，称为λ与Aλ的“乘积”，其隶属函数规定为：471-5.分解定理48三大定理分解定理表现定理扩张原理491-5分解定理分解定理是把模糊集合论的问题化为经典集合论的问题来求解模糊集合水平截集经典集合50分解定理Ⅰ分解定理Ⅰ：设A为论域X上的模糊子集，Aλ是A的λ截集，λ

∈[0，1]，则如下分解式成立：A=∪λ∈[0,1]λAλ图形解释51分解定理Ⅰ的证明52分解定理Ⅱ设A=F(X)，则53分解定理Ⅲ设A∈F(X)，令54分解定理Ⅲ的证明（1）55分解定理Ⅲ的证明（2）56分解定理Ⅲ的证明（3）57课上作业58课上作业答案59分解定理－Example1设论域X＝{1,2,3,4,5,6}，A为X上模糊子集A＝0.1/1+0.4/2+0.8/3+1/4+0.8/5+0.4/6根据分解定理，A可分解为:A＝1A1∪0.8A0.8∪0.4A0.4∪0.1A0.1,根据分解定理，λ应该取遍[0,1]上的值。为什么这里只取了四个值？60分解定理：用隶属函数形式设A是论域X的一个模糊子集，μA(x)是A的隶属函数，