专题07 函数的应用（二）【原卷版】

专题07函数的应用（二）专题07函数的应用（二）(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点二、函数零点的判定定理条件结论函数y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)f(a)f(b)＜0三、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．四、判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．五、有关函数零点的三个结论(1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．六、指数函数模型的应用f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)对数函数模型的应用f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)函数模型的应用题型01：求函数的零点【典例1】（2023上·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【典例2】（2023上·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期中）已知的零点为1和3，则．【规律方法】函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．题型02：根据函数零点求解析式中的参数【典例3】（2023下·湖南株洲·高一统考期中）已知函数的零点是2，则【典例4】（2022上·广东佛山·高一校联考期中）已知二次函数有两个零点和1，且有最小值.则的解析式为.题型03：根据函数零点判断函数值的符号【典例5】（2021上·河南濮阳·高一统考期末）已知是函数的零点，若，则（

）A． B．C． D．的符号不确定【典例6】（2018上·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知是函数的一个零点，若，，则（

）A． B．C． D．题型04：零点存在性定理的应用【典例7】（2023上·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表x1234y以下说法中错误的是（

）A． B．当时，C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点【典例8】（2023上·山东日照·高一统考期中）已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型05：根据零点所在区间求参数【典例9】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例10】（2022上·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）函数在上存在零点，则的取值范围是．【规律方法】利用零点存在性定理，结合给定区间建立不等式．题型06：根据零点个数求参数范围【典例11】（2023下·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是.【典例12】（2022上·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）已知点的坐标分别为，，若二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，则实数的取值范围是.【规律方法】已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．题型07：根据一次函数零点分布求参数范围【典例13】（2020·高一课时练习）已知函数在区间上存在零点，则（

）A． B． C．或 D．【典例14】（2020上·高一课时练习）若方程的根在内，则的取值范围是．【总结提升】利用零点存在定理构造不等式.题型08：根据二次函数零点分布求参数范围【典例15】（2023上·北京石景山·高一校考期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例16】【多选题】（2023上·山东德州·高一统考期中）已知函数在有两个不同的零点，则可以为（

）A． B．3 C． D．4【总结提升】结合二次函数的开口方向、对称轴、单调性等，利用零点存在定理构造不等式.题型09：根据幂、指数、对数函数零点分布求参数（范围）【典例17】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例18】（2020上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则.【总结提升】注意结合幂函数、指数函数、对数函数的单调性及图像，依据函数零点存在性定理建立不等式.题型10：函数与方程的综合问题【典例19】（2022下·湖南长沙·高一长郡中学校考开学考试）设函数，若关于x的方程有三个不相等的实数解，则实数t的取值范围是．【典例20】（2023上·北京大兴·高一校考期中）已知函数，对于任意正数k，关于x的方程都恰有两个不相等的实数根．（1）请判断是否符合题意：（填“是”或者“否”）；（2）写出a的所有可能取值：．题型11：求函数零点或方程根的个数【典例21】（2023上·北京·高一北京十四中校考期中）函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【典例22】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数，当时，方程的根的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【规律方法】判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．题型12：判断函数零点所在区间【典例23】（2022上·吉林·高一校考期末）函数的零点一定位于下列哪个区间（

）A． B． C． D．【典例24】（2023上·北京西城·高一北师大二附中校考期中）函数的零点所在的区间是（

）A． B．C． D．题型13：比较函数零点的大小【典例25】（2023上·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（

）A． B． C． D．【典例26】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（

）A． B．C． D．题型14：求函数零点的和【典例27】（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（

）A．10 B．18C．22 D．26【典例28】（2023上·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（

）A． B． C． D．0【总结提升】注意应用函数的奇偶性、单调性、周期性，结合函数的图像判断零点的特征.题型15：嵌套函数零点问题【典例29】（2023上·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．13【典例30】（2023上·辽宁大连·高一校联考期中）已知函数，若函数，且函数有5个零点，则实数m的取值范围是．【总结提升】函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．题型16：二分法及其应用【典例31】（2023上·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（

）次函数值的计算．A．2 B．3 C．4 D．5【典例32】（2023上·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点.题型17：指数函数模型的应用【典例33】（2023上·四川成都·高一校考期中）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为7.5h，则该蓄电池的Peukert常数约为（

）（参考数据：，）【典例34】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为（

）A．16小时 B．24小时 C．36小时 D．72小时【总结提升】在函数应用问题考查中，对指数函数、对数函数模型的考查已成为高频热点，既能与现代科技活动、科技成果结合，又能较好的考察学生的运算能力，也能激发学生学习的浓厚兴趣.题型18：对数函数模型的应用【典例35】和小数记录法的数据满足关系式.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.8，则其视力用小数记录法记录的数据约为（

）（参考数据：）【典例36】（2023上·上海徐汇·高一统考期末）香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型19：函数模型的增长差异【典例37】（2023上·高一课时练习）下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B．C． D．【典例38】（2023上·广东惠州·高一惠州一中校考期中）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：建立平台第年1234会员个数（千人）14202943(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③(2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.【总结提升】函数模型的增长规律：(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.一、选择题：1．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2015·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）设x0是函数的零点，若，则的值满足（

）A． B．C． D．的符号不确定3.（2023上·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 C．倍 4.（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高一校考期中）研究发现，X射线放射仪在使用时，其发射器发出的射线强度、接收器探测的射线强度与射线穿透的介质厚度（单位：毫米）满足关系式，其中正实数为该种介质的吸收常数．工作人员在测试某X射线放射仪时，向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板，发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降了90%．现想让接收器探测到的射