预备知识-Matlab基础知识

第一讲Matlab基础知识

本次课的目的：

熟悉上机环境；了解并掌握Matlab的基本操作，并掌握基本的数学运算。

1.1Matlab概述：

Matlab来源于MatrixLaboratory,它的首创者是在数值代数领域颇具影响的Cleve

Moler博士(也是MathWorks的创始人之一)。Matlab本身是一-种科学计算软件，专门以矩

阵的形式处理数据。它把高性能的计算与可视化集成在一起，同时提供了大量的内置函数，

来提供了一种高级的解释型编程语言一一M语言。同时针对每一类问题开发了工具包

(Toolbox),并且大多都是开放的，这样就使得工程技术人员、科研人员在使用Matlab的同

时可以很容易的对其扩充，这使其更具竞争力。

Matlab历史：1984-2010,不同的版本不断地完善。

Matlab优点：

•编程简单，类似于其他语言，如C

•集成度更高，扩展性更好

•数学问题数值解能力强大

•由Maple内核构成的符号运算工具箱可以继承Maple所有解析解的求解能力

•在数学、工程领域有各种“工具箱”

・强大的系统仿真能力，Simulink建模，在控制界是国际首选的计算机语言

Matlab的功能:

三大基本功能：数值计算、符号计算、图形处理

程序设计与应用程序接口

MATLAB科学计算中的应用

在数值分析中的应用

多项式与插值、数据的曲线拟合

数值微分与数值积分

线性代数

非线性方程求根

微分方程

在最优化问题中的应用

在概率统计中的应用

在偏微分方程解法中的应用

在复变函数中的应用

数学问题的非传统解法

模糊逻辑与模糊推理

神经网络在数据拟合中的应用

遗传算法在最优化求解中的应用

在建模仿真中的应用

Matlab安装：2009a,2009b以前的版本，安装无需激活。2009a-2010b再安装之后需要激

活。

介绍Matlab操作界面

打开Matlab后，有儿个窗口：CommandWindow（命令窗口）；Workspace;CommandHistory.

CommandWindow:可以直接输入命令行来实现计算或作图功能。它也可以单独显

示。举个例子：在命令窗口输入

A=[l23;456;789]%（注释符）创建矩阵A

输出A=

123

456

789

（变量名，注释，空格，逗号）

输入A*3

ans=

369

121518

212427

（ans它是answer的缩写。同时在Workspace中会有两个变量:A,ans）

接下来输入a=3.141592回车后输出

a=3.141592

a=

3.141592000000000

输入》formatshort

»a

a=

3.1416

（formatshort命令是数据显示的控制命令，表示小数点后有4位有效数字，

formatlong,表示小数点有15位有效数字，类似的还有一些数据显示格式的控制指令：

formatshorte表示用5位科学计数法表示，formatlonge表示用15位科学计数法表示）

a=3.1416e+000,（c=1.111le-001,）,3.141592000000000e+000,

(2)常见的通用操作指令

Matlab提供了一些基本的操作指令，如查看、保存或删除当前工作空间中的变量等。

clc清除CommandWindow,光标回到屏幕的左上角

clear清除Workspace中所有变量

who列出当前Workspace中的变量

whos列出当前Workspace中的变量和信息

deletev文件名,删除磁盘中的指定文件

what列出当前目录下的m文件和mat文件

clearall清除Workspace中所有变量和函数

help查询所列命令的帮助信息

(3)CommandWindow中的标点符号

空格用于变量之间的分隔符及数组行元素之间的分隔符

逗号(，)用于要显示计算结果的命令之间的分隔符；用于变量之间

的分隔符及数组行元素之间的分隔符

冒号(：)用于生成一维数组，还可以表示一维数组的全部元素和多

维数组某一维的全部元素。

分号(

;)用于不显示计算结果命令行的结尾，用于不显示计算结果

命令行之间的分隔符，用于数组元素行之间的分隔符

单

引号(一)表示字符串

百

号

分

(%)表示注释，它后面的命令不执行

号

方

括

([])用于构成向量和矩阵，用于函数输出列表

号

圆

括

(())运算的先后次序，用于函数输入变量列表，引用数组元素

当前目录(currentfolder;CurrentDirectory)

一般默认“Matlab/work”,单击Matlab/bin/win32/matlab.exe则默认为

“Matlab/bin/win32”

Worspa阳工作空间浏览器窗口)

同时提供了保存(save,load等命令)

CommandHistory

它有很多实用的功能，如：单行或多行的复制(选中一copy),单行或多行命令的运行

(EvaluateSelection),双击某•行,执行该行命令,方向

键的使用

Matlab的帮助系统

Matalb提供了数目繁多的命令和函数，要把他们都记录下来，很不现实。可行的办法是先

掌握一般的、基本的内容，然后在实践中不断总结和积累，逐步掌握其他内容。而通过软件

系统本省提供的帮组系统来学习软件的使用时非常有效的方法。其次可以利用网络资源，如

Mathworks公司的主页(),国内也有很多网站有丰富的信息。

帮助命令:

要了解Matlab最简洁的方式是在CommandWindow通过帮助命令对特定的内容进行快速

查询。常用的命令是help.

例如：help回车会出现许多内容,如：

matlab\elfun-Elementarymathfunctions.

matlab\helptools-Helpcommands.

matlab\demos-Examplesanddemonstrations.

simulink\simulink-Simulink

finance\finance-FinancialToolbox

finance\calendar-FinancialToolboxcalendarfunctions.

finance\findemos-FinancialToolboxdemonstration

function.

finance\ftseries-FinancialToolboxTimesSeriesFunctions.

finderiv\finderiv-FinancialDerivativesToolbox

helpelfun回车后就会看见基本初等函数：三角函数（Trigonometric,sincostan

cot,asin,acos,atan,acot,Exponential.exp,log,Iog2,log10,

pow2-Base2powerandscalefloatingpointnumber.

realpow-Powerthatwillerroroutoncomplexresult.

reallog-Naturallogarithmofrealnumber.

realsqrt-Squarerootofnumbergreaterthanorequaltozero.

sqrt-Squareroot.

nthroot-Realn-throotofrealnumbers.

nextpow2

realpow（3,2）

ans=

9

输入helpdemos（会出现各种例子和演示，这是很好的学习方法，缺点需要时间耐心的看

完）

基本初等运算：放在1.2节讲（注意它的特别之处）

1.2Matlab基本知识

实数的运算法则+-*/A;a+b,a-b,a*b,a/b,aAb（取a,b为具体的数计算）

abs（a）为数a的绝对值。

我们要学习常量的表示：数组和矩阵及其运算

数组（array）

1.一维数组的标识、访问与赋值

一维数组本身就是一行向量。如何在Matlab中输入一个数组呢？（或

者表示一个数组呢）看一个例子：

例子：输入向量（1，2,3,4）

在CommadWindow窗口输入：

[1234],然后回车得到

ans=

1234

注意：数组需要用使用方括号，数组的元素用空格隔开，也可以用逗

号隔开上述数组也可以在如下输入：

[1,2,3,4]回车后看到答案是

ans=

1234

若令a=[l234]（这是个赋值语句，把数组口234]给变量a）.现在想查

询a的第三个元素，可如下操作，在CommandWindow中输入：

a=[l234];a（3）回车得到答案：

ans=

3

若查询数组a的第二到第四个元素

输入a(2:4)回车得到

a(2:4)

ans=

234

除了直接输入外，最常用的用来产生相同增量的向量的方法是利用

算符。例如，在命令窗口输入：

Z=l:5回车后得到

z=

12345

这是增量为1的数组，此为默认状态。也可产生单位增量不是1

的如：

x=0:pi/4:似表示产生-一个0到pi的行向量，单位增量为pi/4)回车

后得到：

x=

00.78541.57082.35623.1416

2.多维数组(矩阵)的输入，标识，访问和赋值

手工输入一个矩阵如：

A=[l23;456;789]回车得到

A=

123

456

789

是一个3乘3阶的矩阵。可以看出，每行元素是用空格来分隔元素,

每行用分号“；”来换行。

利用函数输入一些矩阵常用的如下：

ones(3)

ans=

111

111

111

数组和矩阵的四则运算。

(1)数组的加法a=[l,2],b=[3,4],显然a+b=[4,6]

若a=[l25]b=[3,4],a+b不能相加

(2)数组的乘法、除法

若a=[l2],b=[3,4],输入a*b会出错。

有一种新的运算输入a.*b

ans=38

表示数组的每个对应元素的乘积，做乘积后还是数

组。类似的还有例如a./b

ans=

1/31/2

“.八”如a.八2回车后得到

»a.A2

ans=

14

再输入aJb,回车后得到

»a.Ab

ans=

116

(3)size(),这命令输出数组或矩阵的维数

a=[l23],输入size(a)得到

»size(a)

ans=

13

若输入length(a)得到

length(a)

ans=

3

表示数组的“长度”，若是行向量，就是行数；若是列向量,

就表示是列数

输入a，得到是"

ans=

1

2

3

»length(a)

ans=

3

矩阵的运算.

加减乘分别用.Matlab还提供了除法(看帮助自己

学)Arithmeticoperators.

plus-Plus+

uplus-Unaryplus+

minus-Minus-

uminus-Unaryminus-

mtimes-Matrixmultiply*

times-Arraymultiply.*

mpower-MatrixpowerA

power-Arraypower.A

mldivide-Backslashorleftmatrixdivide\

mrdivide-Slashorrightmatrixdivide/

Idivide-LeftarraydivideA

rdivide-RightarraydivideJ

idivide-Integerdivisionwithroundingoption,

kron-Kroneckertensorproduct

Relationaloperators.

eq_Equal==

ne-Notequal~=

It-Lessthan<

gt-Greaterthan>

le-Lessthanorequal<=

ge-Greaterthanorequal>=

(转置，输入命令A，输出后是矩阵A)

A=

123

456

B=

234

789

»A=B

ans=

000

000

»A~=B

ans=

111

111

类似的可以看到A<B,A>B,A<=B,A>=B

注意：

还有些能够用函数生成的矩阵。如

zeros

如：B=zeros(n)%生成n阶方阵

B=zeros(m,n)%生成m行n列矩阵

zeros(2,2,2)

ans(:,:,l)=

00

00

ans(:,:,2)=

00

00

函数：eye

eye(n),eye(m,n),eye(size(A))生成单位阵

函数：ones

ones(m),ones(m,n),ones(size(A))生成全一阵

注意：输入的时候，m,n一定要带入具体的数

几种矩阵操作：改变它的形式、取出子矩阵、扩充矩阵和旋转矩阵。其中

最重要的算符为“：”，它的作用是取出选定的行和列。

若A=[l,2,3;4,5,6;7,8,9],则A(:,l)表示第一歹U，输出的是列向量。A(l,:)

表示的第一行，输出的是第一行，是一个行向量。

A(:)(自己验证)(输出的是按列的方向拉成长长的1列(向量))

变形函数如下：fliplr,flipudjesh叩e,例子如下：

A=[l23;456],fliplr(A)输出的结果是

A=

123

456

»fliplr(A)

ans=

321

654

flipud(A),

»flipud(A)

ans=

456

123

现在需要对矩阵A增加一行(或一列)该如何做呢？

A=[A;789]

A=[A;789]

A=

123

456

789

再增加一列有

»A=[A(l,:),10;A(2,:),ll；A(3,1),12]

A=

12310

45611

78912

看reshape命令，

reshape(A,2,6)

»reshape(A,2,6)

ans=

1753911

42861012

可以看出reshape命令是将矩阵的元素以列为单位进行重组，把原来的3

乘4阶的矩阵变成了2成6阶的矩阵。且按列展开。

对函数的运算问题

令a=[1,2,3],sin(a)即:

»sin(a)

ans=

0.84150.90930.1411

»sin(A)

ans=

0.84150.90930.1411-0.5440

-0.7568-0.9589-0.2794-1.0000

0.65700.98940.4121-0.5366

(4)矩阵的行列式，矩阵的秩,特征值，特征根，矩阵的逆运算

行列式：det(),如A=[l3;24].det(A).

矩阵的秩：rank(),rank(A)

矩阵的特征值、特征根运算d=eig(A),(d是一个列向量，当A非对称

矩阵的时候，不-一定都是实数)。[V,D]=eig(A),输出的V是特征向量的矩阵

A=

10

0-1

»d=eig(A)

d=

-1

1

»[V,D]=eig(A)

V=

01

10

D=

-10

01

A*V==V*D

ans=

11

11

关于常量我们就讲这么多，下面我们讲变量

第一个问题就是变量名的问题。MATLAB语言的变量命名规则是：

（1）变量名必须是不含空格的单个词；（2）变量名区分大小写；

（3）变量名最多不超过19个字符；（4）变量名必须以字母打头，之后可以

是任意字母、数字或下划线，变量名中不允许使用标点符号。

Matlab保留的常量有如下：

特殊变量取值

ans用于结果的缺省变量名

Pi圆周率

计算机的最小数，当和1相加就产生一个比

eps

1大的数

flops浮点运算数

inf无穷大，如1/0

NaN不定量，如0/0

i，Ji=j=7-1

nargin所用函数的输入变量数目

nargout所用函数的输出变量数目

realmin最小可用正实数

realmax最大可用正实数

对提高matlab编程能力的方法，我想主要有以下三个:

1.查help

2.多上上论坛，搜索帖子、发帖子问人

3.阅读别人、特别是牛人的程序

当然了，正如所有的程序语言一样，”3分课本7分上机”，•定要动手

才行，不能光看。多想、多思考、多尝试，才是正路。

最后，整理一下常用的快捷键(用[]表示)或命令：

1.I.在命令窗LI(CommandWindow)中：

2.I)【上、下健】——切换到之前、之后的命令，可以重复按多次来达到你想要的命令

3.2)clc一一消除命令窗口显示的语句，此命令并不清空当何工作区的变圻，仅仅是把辨幕上显示出来的语句清除掉

4.3)clear——这个才是清空»前1.作区的变量命令，常用语句clearall来完成

5.4)[Tab](转白版友心灯》在maUab@看到的：在command窗门，输入'个命令的前几个字符，然后按lab

键，会弹出前面含这儿个字符的所有命令，找到你要的命令，回车，就可以自动完成。目前讨论结果是：mallab6.5版本中,

如果候选命令超过100个,则不圾示而在matlab7以后版本中，则没有这个限制，均可正常提示

6.5)[Ctrl+C](«£ICtrl+Br^k])-------(转自版友yangjin_ren)在哗Uab程序运行过程中,可能由于程序编写的失误,导致

程序不停的运行.在命令窗口输入“Ctrl+C”可以将运行的程序停下来，而不需要将整个Matlab程序关掉.不过进行此操作的前

提是能够激活切换到命令窗口才行，呵呵。

2.在编辑器(Editor)中:

1.1)【Tab】(或【Cm+]】)一增加缩进(对多行有效)

2.2)【Ctrl”】一一减少缩进(对多行有效)

3.3)[Ctrl+lJ一一自动缩进(即自动排版，对多行有效)

4.4)[Ctrl+R]——注释(对多行有效)

5.5)(Ctrl+T]—去掉注释(对多行有效)

6.6)[Ctrl-B]―括号配对检杳(对版本6.5有效，但版本7.0无效，不知道是取消了还是换「另外的快捷键，请大牛们指点，

其他版本没有测试过)

7.7)[F12]——设置或取消断点

8.8)[F5]—运行程序

第二讲：Matlab绘图------基本操作

可视化图形比单纯的数据更具可读性，所包含的信息量也大，使用图形来呈现实验或运算结

果也更能够增加说服力。

《一》：Matlab二维绘图

首先，想打开一个图形窗口。应用figure即可实现。

»figure

也可以打开多个图形窗口，

»figure(1),figure(2)

画二维图形最常用的命令是plot函数。例如：

»x=-pi:0.01:pi;,y=sin(x);

»plot(x,y)

还可以对图形打给图形加上栅格线：

»girdon

事实上，plot函数画图时可以选择，线型，线的颜色，在节点处的形状。

»x="pi:0.1:pi;y=sin(x);

»plot(x,y；r-d')

其中，你r代表的是红色，-代表的是实线，d代表的在节点上采用的是菱形。这些都需要

用英文状态下的单引号括起来。

还可以表示其他的颜色，如y(黄色)，m(紫色)，c(青蓝)，r(纤色)，g(绿色)，b(蓝色),

w(白色)，k(黑色)。

线型：(表示点线)-.(虚点线)--(虚线)

记号类型.(表示点)，。表示圈，x表示叉号，*表示星号，s表示正方形，d表示菱形，

p表示五角形，h表示六角形，v表示向上三角形，人表示向下三角形，〈表示向左三角形，>

表示向右三角形。

注意：线性，记号，颜色都需要用英文状态的单引号括起来。

我们接下来看如何在一个图形窗口中画多个图形。

首先把figure窗口分割成几个部分，用subplot函数来实现。

我们来实现这样的命令：

»subplot(2,1,1)

»plot(x,y,'r-v')

»subplot(2,1,2)

»plot(x,cos(x),'r-*')

可以看到subplot命令分别创建了两个坐标系，(如何看创建儿个坐标系？就是看它的前两

个参数2,1,这表示两行一列共2个坐标系)

下面看如何进行图形标注。

可以用命令来实现，也可以在figure窗口使用它提供的编辑工具来实现。

»plot(x,cos(x),T・*')

»xlabelfx,)

»ylabel(y)

表示对图形添加x轴标记和y轴标记

»title(,cos(x)r)

有时一张图中需要画多条曲线，为便于区分，可对图中的曲线进行标注说明。用legend

函数来实现

»legend('cos(x),)

也可以用text函数来实现，

»text(-l,0.5,'cos(x)')

注意(-1,0.5)表示加标注的位置，在横坐标为-1纵坐标为0.5的位置上加标注。

接下来的问题是如何在同一个窗口画多个图形。有这样几种方法，从简单到复杂的顺序来介

绍：

如,要在同一个窗口画出sin(x),cos(x)曲线，

可以使用holdon命令。

>>clf表示清除图形窗口的内容。

输入如下的命令：

»clf

»x=-pi:0.1:pi

»plot(x,cos(x),k*)

»holdon

»plot(x,sin(x)；r-d')

»gridon%表示加格线

第二种方法：用plot函数

»plot(x,cos(x),,r-*,,x,sin(x),,y-d,)

其他的二维绘图命令：

绘制直方图的命令为bar

例如x=[l2345];y=[21357]

»bar(x,y)

怎样让每个直方图有不同的颜色呢？这个需要图形的句柄函数，这里先给出具体

答案。

x=U2345];产[32467]

»bar(x,y)

»b=bar(x,y);

»ch=get(b,'children');

»set(ch,'FaceVertexCData',[O0l;011;111;10l;010])

注意(set,get函数是对图形句柄操作的一组命令，其中children,

,FaceVertexCData'是这两个函数的参数选项)

»A=rand(3,2)%随机生成一个矩阵3-by-2

A=

0.8147236863931790.913375856139019

0.9057919370756190.632359246225410

0.1269868162935060.097540404999410

»bar(A,'group')

这是一个按列画图的图形

接下来看另一个函数fill

x=[l43];y=[7812]

fm(x,y,'r')

表示把由点(1,7)(4,8)(3,12)三个点围城的三角形用红色填充。

离散图形的绘制主要的命令有stem,stair

»t=linspace(-2*pi,2*pi,10);

%generatesarowvectortof10pointslinearlyspacedbetweenandincluding-2*pi

and2*pi.

»h=stem(t,cos(t),'fiH',

»set(get(h,'BaseLine'),'LineStyle',':')

»set(h,'MarkerFaceColor','red')

»title('Thestems')

stem注意这是画离散的图形

stair是画梯形图

stairs

功能：绘制梯形图。

stairs函数与stem函数类似，只是stem函数绘制竖条图，而stairs函数用于

绘制梯形图。例如输入

x=linspace(-2*pi,2*pi,40);

stairs(x,sin(x))

当然还可以画饼图等，具体看帮助或者Matlab书籍。

关于坐标轴有如下命令可以使用：

坐标控制

函数的调用格式为：

axis([xminxmaxyminymaxzminzmax])

axis函数功能丰富，常用的用法还有：

axisequal纵、横坐标轴采用等长刻度

axissquare产生正方形坐标系(缺省为矩形)

axisauto使用缺省设置

axisoff取消坐标轴

axison显示坐标轴

gridon/off命令控制是画还是不画网格线，不带参数的grid命令在两种状态之间

进行切换。

boxon/off命令控制是加还是不加边框线，不带参数的box命令在两种状态之间

进行切换。

现在看绘制三维图形。

直观的看一个例子：画一个球体

»sphere

这是一个画球体的命令，其结果为

画一个xA2/l+yA2/2人2+z八2/3人2=1的这样一个曲面的话，用如下命令：

»[x,y,z]=ellipsoid(0,0,0,1,2,3);%生成数据,0,0,0表示中心,123表示半

径。》surf(x,y,z)%生成曲面的命令。

为了显示三维图形，Matlab提供了丰富的三维绘图函数，包括三维数据的显示、

空间曲线、曲面、分块、填充及视角转换、旋转等功能操作。

1.类似二维图形，可以用plot函数操作。调用的格式是：

»plot3(x,y,z,s),其中s代表线型，颜色，跟二维的一样。

例如：

»t=0:pi/50:10*pi;

»plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t)

»plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t,'r-d')

同时，子图，多图的命令，仍然适合三维图形。holdon;supplot()仍然适用。

2.网格图和曲面图

所谓的网格图是把相邻的数据点连接起来形成的网状曲面。三维网格图形成

的原理为：现在x-y平面上指定一个长方形区域，采用与坐标轴平行的直线

将其分格；计算矩形网格点上的函数值，即z的坐标，从而得到三维空间的

数据点；把这些三维的点，用曲线和曲面连接起来就得到网格图。看如下例

子：

»[x,y,z]=peaks;

»mesh(x,y,z)

%peaks函数是用来生成三维高斯型分布的数据。网格图的不同的线条有不

同向颜色，而且颜色随着高度变化。Hiddenon;hiddenoff这两个命令控制隐

藏效果。

mesh和plot3何起来用可以标记出一些重要的点。看下面这个例子：

»clear%清空变量

»[x,y]=meshgrid([-3:0.2:3]);%meshgrid表示把平面打成格子。

»z=peaks(x,y);

»mesh(x,y,z)

»holdon

»plot3(x,y,z,,x7MarkerSize,,3)

3.曲面图

曲面图示是把网格图的每一小片填充成彩色表面。用到的函数是surf,它与

mesh的用法一样。看个例子：

»[x,y,z]=peaks;

»surf(x,y,z)

常有光照效果的,个函数，»surfl(x,y,z)

这是最基本的对图形的处理，还有好多内容，同学们要自己学习。还可以自

作动画的。

下面我们来学习编程。

首先来学习符号变量。然后学习M文件;

在学习，M语言的几种结构：循环，选择。

符号运算是由matlab符号数学工具箱提供的，是建立在Maple软件基础上的。

我先看一个例子：

我们输入：

»sqrt(5)

»ans=2.2361

这是matalb标准的数值类型。

下面我们看怎样得到符号对象。

»a=sym(5)

a=

5

»b=sqrt(5)

b=

5A(l/2)

现在把b转化成数值型的可以用double(b)来实现。

那如何创建符号表达式呢？可以用sym(),syms()函数。例如：

»a=sym(Elpha)%符号串要用两个英文状态下的单引号来实现。

a=

alpha

用sym来实现符号表达式：

»gr=sym('l+sqrt(5)/2‘)

gr=

5A(l/2)/2+1

现在我想得到Uax"+bx+c,如何实现呢？

»symsabcx%一次生成多个符号变量

»f=sym(,a*xA2+b*x+c,)

f=

a*xA2+b*x+c

有时候输出的符号表达式很复杂，可用函数simplify。函数来化简结果。

下面看一下符号矩阵：

»s=sym(,[abc;def;ghj]()

s=

[a,b,c]

[d,e,f]

[&h,j]

»det(s)

ans=

b*f*g-a*f*h+c*d*h-c*e*g+a*e*j-b*d*j

»eig(s)

ans=

a/3+e/3+j/3+(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+

j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*/g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-

((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)

-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+

(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)+((b*d)/3-

(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(伊h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)/(((((a+e+j)*(a*e-

b*d-c*g+a*j-俨h+e*j))/6-(a+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-

(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-

(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g

+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-

(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)

a/3+e/3+j/3-(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+

j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*/g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-

((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(£*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)

・((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+

(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)/2-((b*d)/3-

(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)/(2*(((((a+e+

j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-

(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-

(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g

+a*j-/h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*#g)/2+(c*d*h)/2-

(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3))-(3A(l/2)*((((((a+e+j)*(a*e-b*d-

c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+

(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+

(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-

f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+

(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-

(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)/(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+

e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+

(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+

j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+

j)A3/27-(a*俨h)/2+(b*P1cg)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-

(b*d*j)/2)A(l/3))*i)/2

a/3+e/3+j/3-(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h

太多了，简化一下：

simplify(ans)

ans=

a/3+e/3+j/3+(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f^h+e*j))/6-(a+e+

j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-

((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)

-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+

(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)+((b*d)/3-

(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)/(((((a+e+j)*(a*e-

b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-

(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-

(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g

+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-

(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)

a/3+e/3+j/3-(3A(l/2)*(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a

+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+

(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+

j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+

j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*/g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-

(b*d*j)/2)A(l/3)*i)/2-(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e

+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+

(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+

j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+

j)A3/27-(a*仔h)/2+(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-

(b*d*j)/2)A(l/3)/2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+

e+j)A2/9)/(2*(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+

j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*/g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-

((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)

-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+

(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3))+

(3A(l/2)*((b*d)/3-(a*e)