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文档简介
第一讲Matlab基础知识
本次课的目的:
熟悉上机环境;了解并掌握Matlab的基本操作,并掌握基本的数学运算。
1.1Matlab概述:
Matlab来源于MatrixLaboratory,它的首创者是在数值代数领域颇具影响的Cleve
Moler博士(也是MathWorks的创始人之一)。Matlab本身是一-种科学计算软件,专门以矩
阵的形式处理数据。它把高性能的计算与可视化集成在一起,同时提供了大量的内置函数,
来提供了一种高级的解释型编程语言一一M语言。同时针对每一类问题开发了工具包
(Toolbox),并且大多都是开放的,这样就使得工程技术人员、科研人员在使用Matlab的同
时可以很容易的对其扩充,这使其更具竞争力。
Matlab历史:1984-2010,不同的版本不断地完善。
Matlab优点:
•编程简单,类似于其他语言,如C
•集成度更高,扩展性更好
•数学问题数值解能力强大
•由Maple内核构成的符号运算工具箱可以继承Maple所有解析解的求解能力
•在数学、工程领域有各种“工具箱”
・强大的系统仿真能力,Simulink建模,在控制界是国际首选的计算机语言
Matlab的功能:
三大基本功能:数值计算、符号计算、图形处理
程序设计与应用程序接口
MATLAB科学计算中的应用
在数值分析中的应用
多项式与插值、数据的曲线拟合
数值微分与数值积分
线性代数
非线性方程求根
微分方程
在最优化问题中的应用
在概率统计中的应用
在偏微分方程解法中的应用
在复变函数中的应用
数学问题的非传统解法
模糊逻辑与模糊推理
神经网络在数据拟合中的应用
遗传算法在最优化求解中的应用
在建模仿真中的应用
Matlab安装:2009a,2009b以前的版本,安装无需激活。2009a-2010b再安装之后需要激
活。
介绍Matlab操作界面
打开Matlab后,有儿个窗口:CommandWindow(命令窗口);Workspace;CommandHistory.
CommandWindow:可以直接输入命令行来实现计算或作图功能。它也可以单独显
示。举个例子:在命令窗口输入
A=[l23;456;789]%(注释符)创建矩阵A
输出A=
123
456
789
(变量名,注释,空格,逗号)
输入A*3
ans=
369
121518
212427
(ans它是answer的缩写。同时在Workspace中会有两个变量:A,ans)
接下来输入a=3.141592回车后输出
a=3.141592
a=
3.141592000000000
输入》formatshort
»a
a=
3.1416
(formatshort命令是数据显示的控制命令,表示小数点后有4位有效数字,
formatlong,表示小数点有15位有效数字,类似的还有一些数据显示格式的控制指令:
formatshorte表示用5位科学计数法表示,formatlonge表示用15位科学计数法表示)
a=3.1416e+000,(c=1.111le-001,),3.141592000000000e+000,
(2)常见的通用操作指令
Matlab提供了一些基本的操作指令,如查看、保存或删除当前工作空间中的变量等。
clc清除CommandWindow,光标回到屏幕的左上角
clear清除Workspace中所有变量
who列出当前Workspace中的变量
whos列出当前Workspace中的变量和信息
deletev文件名,删除磁盘中的指定文件
what列出当前目录下的m文件和mat文件
clearall清除Workspace中所有变量和函数
help查询所列命令的帮助信息
(3)CommandWindow中的标点符号
空格用于变量之间的分隔符及数组行元素之间的分隔符
逗号(,)用于要显示计算结果的命令之间的分隔符;用于变量之间
的分隔符及数组行元素之间的分隔符
冒号(:)用于生成一维数组,还可以表示一维数组的全部元素和多
维数组某一维的全部元素。
分号(
;)用于不显示计算结果命令行的结尾,用于不显示计算结果
命令行之间的分隔符,用于数组元素行之间的分隔符
单
引号(一)表示字符串
百
号
分
(%)表示注释,它后面的命令不执行
号
方
括
([])用于构成向量和矩阵,用于函数输出列表
号
圆
括
(())运算的先后次序,用于函数输入变量列表,引用数组元素
当前目录(currentfolder;CurrentDirectory)
一般默认“Matlab/work”,单击Matlab/bin/win32/matlab.exe则默认为
“Matlab/bin/win32”
Worspa阳工作空间浏览器窗口)
同时提供了保存(save,load等命令)
CommandHistory
它有很多实用的功能,如:单行或多行的复制(选中一copy),单行或多行命令的运行
(EvaluateSelection),双击某•行,执行该行命令,方向
键的使用
Matlab的帮助系统
Matalb提供了数目繁多的命令和函数,要把他们都记录下来,很不现实。可行的办法是先
掌握一般的、基本的内容,然后在实践中不断总结和积累,逐步掌握其他内容。而通过软件
系统本省提供的帮组系统来学习软件的使用时非常有效的方法。其次可以利用网络资源,如
Mathworks公司的主页(),国内也有很多网站有丰富的信息。
帮助命令:
要了解Matlab最简洁的方式是在CommandWindow通过帮助命令对特定的内容进行快速
查询。常用的命令是help.
例如:help回车会出现许多内容,如:
matlab\elfun-Elementarymathfunctions.
matlab\helptools-Helpcommands.
matlab\demos-Examplesanddemonstrations.
simulink\simulink-Simulink
finance\finance-FinancialToolbox
finance\calendar-FinancialToolboxcalendarfunctions.
finance\findemos-FinancialToolboxdemonstration
function.
finance\ftseries-FinancialToolboxTimesSeriesFunctions.
finderiv\finderiv-FinancialDerivativesToolbox
helpelfun回车后就会看见基本初等函数:三角函数(Trigonometric,sincostan
cot,asin,acos,atan,acot,Exponential.exp,log,Iog2,log10,
pow2-Base2powerandscalefloatingpointnumber.
realpow-Powerthatwillerroroutoncomplexresult.
reallog-Naturallogarithmofrealnumber.
realsqrt-Squarerootofnumbergreaterthanorequaltozero.
sqrt-Squareroot.
nthroot-Realn-throotofrealnumbers.
nextpow2
realpow(3,2)
ans=
9
输入helpdemos(会出现各种例子和演示,这是很好的学习方法,缺点需要时间耐心的看
完)
基本初等运算:放在1.2节讲(注意它的特别之处)
1.2Matlab基本知识
实数的运算法则+-*/A;a+b,a-b,a*b,a/b,aAb(取a,b为具体的数计算)
abs(a)为数a的绝对值。
我们要学习常量的表示:数组和矩阵及其运算
数组(array)
1.一维数组的标识、访问与赋值
一维数组本身就是一行向量。如何在Matlab中输入一个数组呢?(或
者表示一个数组呢)看一个例子:
例子:输入向量(1,2,3,4)
在CommadWindow窗口输入:
[1234],然后回车得到
ans=
1234
注意:数组需要用使用方括号,数组的元素用空格隔开,也可以用逗
号隔开上述数组也可以在如下输入:
[1,2,3,4]回车后看到答案是
ans=
1234
若令a=[l234](这是个赋值语句,把数组口234]给变量a).现在想查
询a的第三个元素,可如下操作,在CommandWindow中输入:
a=[l234];a(3)回车得到答案:
ans=
3
若查询数组a的第二到第四个元素
输入a(2:4)回车得到
a(2:4)
ans=
234
除了直接输入外,最常用的用来产生相同增量的向量的方法是利用
算符。例如,在命令窗口输入:
Z=l:5回车后得到
z=
12345
这是增量为1的数组,此为默认状态。也可产生单位增量不是1
的如:
x=0:pi/4:似表示产生-一个0到pi的行向量,单位增量为pi/4)回车
后得到:
x=
00.78541.57082.35623.1416
2.多维数组(矩阵)的输入,标识,访问和赋值
手工输入一个矩阵如:
A=[l23;456;789]回车得到
A=
123
456
789
是一个3乘3阶的矩阵。可以看出,每行元素是用空格来分隔元素,
每行用分号“;”来换行。
利用函数输入一些矩阵常用的如下:
ones(3)
ans=
111
111
111
数组和矩阵的四则运算。
(1)数组的加法a=[l,2],b=[3,4],显然a+b=[4,6]
若a=[l25]b=[3,4],a+b不能相加
(2)数组的乘法、除法
若a=[l2],b=[3,4],输入a*b会出错。
有一种新的运算输入a.*b
ans=38
表示数组的每个对应元素的乘积,做乘积后还是数
组。类似的还有例如a./b
ans=
1/31/2
“.八”如a.八2回车后得到
»a.A2
ans=
14
再输入aJb,回车后得到
»a.Ab
ans=
116
(3)size(),这命令输出数组或矩阵的维数
a=[l23],输入size(a)得到
»size(a)
ans=
13
若输入length(a)得到
length(a)
ans=
3
表示数组的“长度”,若是行向量,就是行数;若是列向量,
就表示是列数
输入a,得到是"
ans=
1
2
3
»length(a)
ans=
3
矩阵的运算.
加减乘分别用.Matlab还提供了除法(看帮助自己
学)Arithmeticoperators.
plus-Plus+
uplus-Unaryplus+
minus-Minus-
uminus-Unaryminus-
mtimes-Matrixmultiply*
times-Arraymultiply.*
mpower-MatrixpowerA
power-Arraypower.A
mldivide-Backslashorleftmatrixdivide\
mrdivide-Slashorrightmatrixdivide/
Idivide-LeftarraydivideA
rdivide-RightarraydivideJ
idivide-Integerdivisionwithroundingoption,
kron-Kroneckertensorproduct
Relationaloperators.
eq_Equal==
ne-Notequal~=
It-Lessthan<
gt-Greaterthan>
le-Lessthanorequal<=
ge-Greaterthanorequal>=
(转置,输入命令A,输出后是矩阵A)
A=
123
456
B=
234
789
»A=B
ans=
000
000
»A~=B
ans=
111
111
类似的可以看到A<B,A>B,A<=B,A>=B
注意:
还有些能够用函数生成的矩阵。如
zeros
如:B=zeros(n)%生成n阶方阵
B=zeros(m,n)%生成m行n列矩阵
zeros(2,2,2)
ans(:,:,l)=
00
00
ans(:,:,2)=
00
00
函数:eye
eye(n),eye(m,n),eye(size(A))生成单位阵
函数:ones
ones(m),ones(m,n),ones(size(A))生成全一阵
注意:输入的时候,m,n一定要带入具体的数
几种矩阵操作:改变它的形式、取出子矩阵、扩充矩阵和旋转矩阵。其中
最重要的算符为“:”,它的作用是取出选定的行和列。
若A=[l,2,3;4,5,6;7,8,9],则A(:,l)表示第一歹U,输出的是列向量。A(l,:)
表示的第一行,输出的是第一行,是一个行向量。
A(:)(自己验证)(输出的是按列的方向拉成长长的1列(向量))
变形函数如下:fliplr,flipudjesh叩e,例子如下:
A=[l23;456],fliplr(A)输出的结果是
A=
123
456
»fliplr(A)
ans=
321
654
flipud(A),
»flipud(A)
ans=
456
123
现在需要对矩阵A增加一行(或一列)该如何做呢?
A=[A;789]
A=[A;789]
A=
123
456
789
再增加一列有
»A=[A(l,:),10;A(2,:),ll;A(3,1),12]
A=
12310
45611
78912
看reshape命令,
reshape(A,2,6)
»reshape(A,2,6)
ans=
1753911
42861012
可以看出reshape命令是将矩阵的元素以列为单位进行重组,把原来的3
乘4阶的矩阵变成了2成6阶的矩阵。且按列展开。
对函数的运算问题
令a=[1,2,3],sin(a)即:
»sin(a)
ans=
0.84150.90930.1411
»sin(A)
ans=
0.84150.90930.1411-0.5440
-0.7568-0.9589-0.2794-1.0000
0.65700.98940.4121-0.5366
(4)矩阵的行列式,矩阵的秩,特征值,特征根,矩阵的逆运算
行列式:det(),如A=[l3;24].det(A).
矩阵的秩:rank(),rank(A)
矩阵的特征值、特征根运算d=eig(A),(d是一个列向量,当A非对称
矩阵的时候,不-一定都是实数)。[V,D]=eig(A),输出的V是特征向量的矩阵
A=
10
0-1
»d=eig(A)
d=
-1
1
»[V,D]=eig(A)
V=
01
10
D=
-10
01
A*V==V*D
ans=
11
11
关于常量我们就讲这么多,下面我们讲变量
第一个问题就是变量名的问题。MATLAB语言的变量命名规则是:
(1)变量名必须是不含空格的单个词;(2)变量名区分大小写;
(3)变量名最多不超过19个字符;(4)变量名必须以字母打头,之后可以
是任意字母、数字或下划线,变量名中不允许使用标点符号。
Matlab保留的常量有如下:
特殊变量取值
ans用于结果的缺省变量名
Pi圆周率
计算机的最小数,当和1相加就产生一个比
eps
1大的数
flops浮点运算数
inf无穷大,如1/0
NaN不定量,如0/0
i,Ji=j=7-1
nargin所用函数的输入变量数目
nargout所用函数的输出变量数目
realmin最小可用正实数
realmax最大可用正实数
对提高matlab编程能力的方法,我想主要有以下三个:
1.查help
2.多上上论坛,搜索帖子、发帖子问人
3.阅读别人、特别是牛人的程序
当然了,正如所有的程序语言一样,”3分课本7分上机”,•定要动手
才行,不能光看。多想、多思考、多尝试,才是正路。
最后,整理一下常用的快捷键(用[]表示)或命令:
1.I.在命令窗LI(CommandWindow)中:
2.I)【上、下健】——切换到之前、之后的命令,可以重复按多次来达到你想要的命令
3.2)clc一一消除命令窗口显示的语句,此命令并不清空当何工作区的变圻,仅仅是把辨幕上显示出来的语句清除掉
4.3)clear——这个才是清空»前1.作区的变量命令,常用语句clearall来完成
5.4)[Tab](转白版友心灯》在maUab@看到的:在command窗门,输入'个命令的前几个字符,然后按lab
键,会弹出前面含这儿个字符的所有命令,找到你要的命令,回车,就可以自动完成。目前讨论结果是:mallab6.5版本中,
如果候选命令超过100个,则不圾示而在matlab7以后版本中,则没有这个限制,均可正常提示
6.5)[Ctrl+C](«£ICtrl+Br^k])-------(转自版友yangjin_ren)在哗Uab程序运行过程中,可能由于程序编写的失误,导致
程序不停的运行.在命令窗口输入“Ctrl+C”可以将运行的程序停下来,而不需要将整个Matlab程序关掉.不过进行此操作的前
提是能够激活切换到命令窗口才行,呵呵。
2.在编辑器(Editor)中:
1.1)【Tab】(或【Cm+]】)一增加缩进(对多行有效)
2.2)【Ctrl”】一一减少缩进(对多行有效)
3.3)[Ctrl+lJ一一自动缩进(即自动排版,对多行有效)
4.4)[Ctrl+R]——注释(对多行有效)
5.5)(Ctrl+T]—去掉注释(对多行有效)
6.6)[Ctrl-B]―括号配对检杳(对版本6.5有效,但版本7.0无效,不知道是取消了还是换「另外的快捷键,请大牛们指点,
其他版本没有测试过)
7.7)[F12]——设置或取消断点
8.8)[F5]—运行程序
第二讲:Matlab绘图------基本操作
可视化图形比单纯的数据更具可读性,所包含的信息量也大,使用图形来呈现实验或运算结
果也更能够增加说服力。
《一》:Matlab二维绘图
首先,想打开一个图形窗口。应用figure即可实现。
»figure
也可以打开多个图形窗口,
»figure(1),figure(2)
画二维图形最常用的命令是plot函数。例如:
»x=-pi:0.01:pi;,y=sin(x);
»plot(x,y)
还可以对图形打给图形加上栅格线:
»girdon
事实上,plot函数画图时可以选择,线型,线的颜色,在节点处的形状。
»x="pi:0.1:pi;y=sin(x);
»plot(x,y;r-d')
其中,你r代表的是红色,-代表的是实线,d代表的在节点上采用的是菱形。这些都需要
用英文状态下的单引号括起来。
还可以表示其他的颜色,如y(黄色),m(紫色),c(青蓝),r(纤色),g(绿色),b(蓝色),
w(白色),k(黑色)。
线型:(表示点线)-.(虚点线)--(虚线)
记号类型.(表示点),。表示圈,x表示叉号,*表示星号,s表示正方形,d表示菱形,
p表示五角形,h表示六角形,v表示向上三角形,人表示向下三角形,〈表示向左三角形,>
表示向右三角形。
注意:线性,记号,颜色都需要用英文状态的单引号括起来。
我们接下来看如何在一个图形窗口中画多个图形。
首先把figure窗口分割成几个部分,用subplot函数来实现。
我们来实现这样的命令:
»subplot(2,1,1)
»plot(x,y,'r-v')
»subplot(2,1,2)
»plot(x,cos(x),'r-*')
可以看到subplot命令分别创建了两个坐标系,(如何看创建儿个坐标系?就是看它的前两
个参数2,1,这表示两行一列共2个坐标系)
下面看如何进行图形标注。
可以用命令来实现,也可以在figure窗口使用它提供的编辑工具来实现。
»plot(x,cos(x),T・*')
»xlabelfx,)
»ylabel(y)
表示对图形添加x轴标记和y轴标记
»title(,cos(x)r)
有时一张图中需要画多条曲线,为便于区分,可对图中的曲线进行标注说明。用legend
函数来实现
»legend('cos(x),)
也可以用text函数来实现,
»text(-l,0.5,'cos(x)')
注意(-1,0.5)表示加标注的位置,在横坐标为-1纵坐标为0.5的位置上加标注。
接下来的问题是如何在同一个窗口画多个图形。有这样几种方法,从简单到复杂的顺序来介
绍:
如,要在同一个窗口画出sin(x),cos(x)曲线,
可以使用holdon命令。
>>clf表示清除图形窗口的内容。
输入如下的命令:
»clf
»x=-pi:0.1:pi
»plot(x,cos(x),k*)
»holdon
»plot(x,sin(x);r-d')
»gridon%表示加格线
第二种方法:用plot函数
»plot(x,cos(x),,r-*,,x,sin(x),,y-d,)
其他的二维绘图命令:
绘制直方图的命令为bar
例如x=[l2345];y=[21357]
»bar(x,y)
怎样让每个直方图有不同的颜色呢?这个需要图形的句柄函数,这里先给出具体
答案。
x=U2345];产[32467]
»bar(x,y)
»b=bar(x,y);
»ch=get(b,'children');
»set(ch,'FaceVertexCData',[O0l;011;111;10l;010])
注意(set,get函数是对图形句柄操作的一组命令,其中children,
,FaceVertexCData'是这两个函数的参数选项)
»A=rand(3,2)%随机生成一个矩阵3-by-2
A=
0.8147236863931790.913375856139019
0.9057919370756190.632359246225410
0.1269868162935060.097540404999410
»bar(A,'group')
这是一个按列画图的图形
接下来看另一个函数fill
x=[l43];y=[7812]
fm(x,y,'r')
表示把由点(1,7)(4,8)(3,12)三个点围城的三角形用红色填充。
离散图形的绘制主要的命令有stem,stair
»t=linspace(-2*pi,2*pi,10);
%generatesarowvectortof10pointslinearlyspacedbetweenandincluding-2*pi
and2*pi.
»h=stem(t,cos(t),'fiH',
»set(get(h,'BaseLine'),'LineStyle',':')
»set(h,'MarkerFaceColor','red')
»title('Thestems')
stem注意这是画离散的图形
stair是画梯形图
stairs
功能:绘制梯形图。
stairs函数与stem函数类似,只是stem函数绘制竖条图,而stairs函数用于
绘制梯形图。例如输入
x=linspace(-2*pi,2*pi,40);
stairs(x,sin(x))
当然还可以画饼图等,具体看帮助或者Matlab书籍。
关于坐标轴有如下命令可以使用:
坐标控制
函数的调用格式为:
axis([xminxmaxyminymaxzminzmax])
axis函数功能丰富,常用的用法还有:
axisequal纵、横坐标轴采用等长刻度
axissquare产生正方形坐标系(缺省为矩形)
axisauto使用缺省设置
axisoff取消坐标轴
axison显示坐标轴
gridon/off命令控制是画还是不画网格线,不带参数的grid命令在两种状态之间
进行切换。
boxon/off命令控制是加还是不加边框线,不带参数的box命令在两种状态之间
进行切换。
现在看绘制三维图形。
直观的看一个例子:画一个球体
»sphere
这是一个画球体的命令,其结果为
画一个xA2/l+yA2/2人2+z八2/3人2=1的这样一个曲面的话,用如下命令:
»[x,y,z]=ellipsoid(0,0,0,1,2,3);%生成数据,0,0,0表示中心,123表示半
径。》surf(x,y,z)%生成曲面的命令。
为了显示三维图形,Matlab提供了丰富的三维绘图函数,包括三维数据的显示、
空间曲线、曲面、分块、填充及视角转换、旋转等功能操作。
1.类似二维图形,可以用plot函数操作。调用的格式是:
»plot3(x,y,z,s),其中s代表线型,颜色,跟二维的一样。
例如:
»t=0:pi/50:10*pi;
»plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t)
»plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t,'r-d')
同时,子图,多图的命令,仍然适合三维图形。holdon;supplot()仍然适用。
2.网格图和曲面图
所谓的网格图是把相邻的数据点连接起来形成的网状曲面。三维网格图形成
的原理为:现在x-y平面上指定一个长方形区域,采用与坐标轴平行的直线
将其分格;计算矩形网格点上的函数值,即z的坐标,从而得到三维空间的
数据点;把这些三维的点,用曲线和曲面连接起来就得到网格图。看如下例
子:
»[x,y,z]=peaks;
»mesh(x,y,z)
%peaks函数是用来生成三维高斯型分布的数据。网格图的不同的线条有不
同向颜色,而且颜色随着高度变化。Hiddenon;hiddenoff这两个命令控制隐
藏效果。
mesh和plot3何起来用可以标记出一些重要的点。看下面这个例子:
»clear%清空变量
»[x,y]=meshgrid([-3:0.2:3]);%meshgrid表示把平面打成格子。
»z=peaks(x,y);
»mesh(x,y,z)
»holdon
»plot3(x,y,z,,x7MarkerSize,,3)
3.曲面图
曲面图示是把网格图的每一小片填充成彩色表面。用到的函数是surf,它与
mesh的用法一样。看个例子:
»[x,y,z]=peaks;
»surf(x,y,z)
常有光照效果的,个函数,»surfl(x,y,z)
这是最基本的对图形的处理,还有好多内容,同学们要自己学习。还可以自
作动画的。
下面我们来学习编程。
首先来学习符号变量。然后学习M文件;
在学习,M语言的几种结构:循环,选择。
符号运算是由matlab符号数学工具箱提供的,是建立在Maple软件基础上的。
我先看一个例子:
我们输入:
»sqrt(5)
»ans=2.2361
这是matalb标准的数值类型。
下面我们看怎样得到符号对象。
»a=sym(5)
a=
5
»b=sqrt(5)
b=
5A(l/2)
现在把b转化成数值型的可以用double(b)来实现。
那如何创建符号表达式呢?可以用sym(),syms()函数。例如:
»a=sym(Elpha)%符号串要用两个英文状态下的单引号来实现。
a=
alpha
用sym来实现符号表达式:
»gr=sym('l+sqrt(5)/2‘)
gr=
5A(l/2)/2+1
现在我想得到Uax"+bx+c,如何实现呢?
»symsabcx%一次生成多个符号变量
»f=sym(,a*xA2+b*x+c,)
f=
a*xA2+b*x+c
有时候输出的符号表达式很复杂,可用函数simplify。函数来化简结果。
下面看一下符号矩阵:
»s=sym(,[abc;def;ghj]()
s=
[a,b,c]
[d,e,f]
[&h,j]
»det(s)
ans=
b*f*g-a*f*h+c*d*h-c*e*g+a*e*j-b*d*j
»eig(s)
ans=
a/3+e/3+j/3+(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+
j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*/g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-
((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)
-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+
(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)+((b*d)/3-
(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(伊h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)/(((((a+e+j)*(a*e-
b*d-c*g+a*j-俨h+e*j))/6-(a+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-
(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-
(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g
+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-
(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)
a/3+e/3+j/3-(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+
j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*/g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-
((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(£*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)
・((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+
(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)/2-((b*d)/3-
(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)/(2*(((((a+e+
j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-
(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-
(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g
+a*j-/h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*#g)/2+(c*d*h)/2-
(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3))-(3A(l/2)*((((((a+e+j)*(a*e-b*d-
c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+
(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+
(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-
f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+
(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-
(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)/(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+
e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+
(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+
j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+
j)A3/27-(a*俨h)/2+(b*P1cg)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-
(b*d*j)/2)A(l/3))*i)/2
a/3+e/3+j/3-(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h
太多了,简化一下:
simplify(ans)
ans=
a/3+e/3+j/3+(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f^h+e*j))/6-(a+e+
j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-
((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)
-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+
(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)+((b*d)/3-
(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)/(((((a+e+j)*(a*e-
b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-
(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-
(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g
+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-
(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3)
a/3+e/3+j/3-(3A(l/2)*(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a
+e+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+
(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+
j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+
j)A3/27-(a*f*h)/2+(b*/g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-
(b*d*j)/2)A(l/3)*i)/2-(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e
+j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*f*g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+
(b*d*j)/2)A2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+
j)A2/9)A3)A(l/2)-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+
j)A3/27-(a*仔h)/2+(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-
(b*d*j)/2)A(l/3)/2-((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+
e+j)A2/9)/(2*(((((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6-(a+e+
j)A3/27+(a*f*h)/2-(b*/g)/2-(c*d*h)/2+(c*e*g)/2-(a*e*j)/2+(b*d*j)/2)A2-
((b*d)/3-(a*e)/3+(c*g)/3-(a*j)/3+(f*h)/3-(e*j)/3+(a+e+j)A2/9)A3)A(l/2)
-((a+e+j)*(a*e-b*d-c*g+a*j-f*h+e*j))/6+(a+e+j)A3/27-(a*f*h)/2+
(b*f*g)/2+(c*d*h)/2-(c*e*g)/2+(a*e*j)/2-(b*d*j)/2)A(l/3))+
(3A(l/2)*((b*d)/3-(a*e)
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