中考初中数学复习考点精讲第37讲图形的相似

第37讲图形的相似

【考题导向】

相似多边形的性质是中考考查的热点.

1.相似多边形的相似比（周长比、面积比等）往往与平行线、等分问题、三角形

的等积转化联系起来.

2.相似三角形的识别往往会与特殊三角形、四边形、圆和三角函数等相关知识

联系，与探索性、开放性问题相联系.

3.主要体现数形结合思想、转化的思想.

【考点精练】

考点1：比例线段

【典例】（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，AF,BE相交于点

G,若AE=3ED,DF=CF,则处的值是（）

【同步练】（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是aABC的边AB、AC、BC上的点，若DE

〃BC,EF/7AB,则下列比例式一定成立的是（）

,ADBFEF岖BFEFDE

=DEB=C=D=

'DB-BC-BC-AD-EC.FC-AB'BC

考点2：相似三角形的性质与判定

【典例】（2018•张家界）如图，点P是。0的直径AB延长线上一点，且AB=4,点M为窟上

一个动点（不与A,B重合），射线PM与。0交于点N（不与M重合）

（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；

（2）求证：△PANSAPMB.

【同步练】（2018•株洲）如图，在RtaABM和Rtz^ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,

其中AM=AN.

（1）求证：RtAABM^RtAAND；

（2）线段MN与线段AD相交于T,若AT==AD，求tan/ABM的值.

考点3：相似图像的性质

【典例】如图，矩形切的两边如，切都在坐标轴的正半轴上，⑺=3,另两边与反比例

k

函数尸；(20)的图象分别相交于点E,F,豆DE=2,过点£作傲Lx轴于4过点厂作

FG1EH于G,回答下面的问题:

①该反比例函数的解析式是什么？

②当四边形4附为正方形时，点尸的坐标是多少？

(1)阅读以上内容，请解答其中的问题.

⑵小亮进一步研究四边形版肥的特征后提出问题：''当4Q比时，矩形AEGF与矩形DOHE

能否全等？能否相似？”

针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否

相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由.

【同步练】宽与长的比是夸二（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的

美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形

ABCD,分别取AD,BC的中点E,F,连结EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延

长线与点G；作GHJ_AD,交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

AEDAEDH

考点4：位似图形

【典例】如图，△0AB与AOCD是以点0为位似中心的位似图形,相似比为1：2,Z0CD=90°,

CO=CD,若B（1,0）,则点C的坐标为（1,-1）.

【同步练】（1）（2016承德二中模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点0在坐标原

点，边0A在x轴上，0C在y轴上，如果矩形OA'B'C/与矩形OABC关于点0位似，且矩

形0A'B'C'的面积等于矩形OABC面积的；那么点B'的坐标是（D）

A.（-2,3）B.（2,-3）C.（3,一2）或（一2,3）D.（一2,3）或（2,-3）

（2）（2016沧州八中二模）如图，.△OAB与△OCD是以点。为位似中心的位似图形，相似比

为1：2,Z0CD=90°,CO=CD.若B（l,0）,则点C的坐标为（）

A.(1,2)S.(1,1)C.(g,小)D.(2,1)

考点5：相似三角形的应用

【典例】如图1是一个某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点

C是支杆PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑动时，点D随

之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与BC重合于

竖杆BA,经测量PC=BC=50cm,CD=60cm,设AP=xcm,竖杆BA的最下端B到地面的

距离BO=ycm.

⑴求AB的长;

(2)当NPCB=90°时，求y的值；(参考数据：*七1.414,结果精确到0.1cm,可使用科

学计算器)

(3)当点P运动时，试求出y与x的函数关系式.

图1图2

【同步练】（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测

量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点

B,使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,

使得点E与点C、A共线.

已知：CB1AD,ED1AD,测得BC=lm,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相

关测量信息，求河宽AB.

【真题演练】

1.（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3,则其面积之比是（）

A.料：TB.2：3C.4：9D.8：27

2.（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4

ABC相似的是（）

3.（2018•哈尔滨）如图，在aABC中，点D在BC边上，连接AD,点G在线段AD上，GE

〃BD,且交AB于点E,GF〃AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是（）

_DGCFG_EGDAE_CF

AEADCFAD'ACBD-BEDF

4.（2018•临沂）如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得

AB=1.6m.BC=12.4m,则建筑物CD的高是（）

□

□

□

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

5.（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、

BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）

6.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt^ABC和等腰RtaADE,

CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论：

①△BAEs/\CAD；②MP・MD=MA・ME；③2CBJCP。。!.其中正确的是（）

7.（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个

问题：”今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”

用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的

正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，

求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为一步.

8.（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8,BC=4,CA=6,CD〃AB,BD是NABC的平分线,

BD交AC于点E,求AE的长.

9.（2018•东营）如图，CD是。0的切线，点C在直径AB的延长线上.

(1)求证：ZCAD=ZBDC；

10.（2018•大庆）如图，AB是。0的直径，点E为线段0B上一点（不与0,B重合），作

EC10B,交。。于点C,作直径Q）,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF_LPC于点F,

连接CB.

（1）求证：AC平分/FAB；

(2)求证:BC2=CE«CP；

（3）当AB=4«且岩卷时，求劣弧俞的长度.

AB

D

11.如图①，E是线段BC的中点，分别以B,C为直角顶点的4EAB和aEDC均是等腰直角

三角形，且在BC的同侧.

(DAE和ED的数量关系为；

AE和ED的位置关系为；

(2)在图①中，以点E为位似中心，作4EGF与aEAB位似，H是BC所在直线上的一点，连

接GH,HD,分别得到图②和图③.

①在图②中，点F在BE上，AEGF与aEAB的相似比是1：2,H是EC的中点，求证：GH=

HD,GH±HD.

②在图③中，点F在BE的延长线上，AEGF与aEAB的相似比是k：1,若BC=2,请直接写

出CH的长为多少时，恰好使得GH-HD且GH_LHD.(用含k的代数式表示)

【拓展研究】

（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E

作EHLDF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.

（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点H作MN〃CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN

上一点，求aPDC周长的最小值.

第37讲图形的相似（解析版）

【考题导向】

相似多边形的性质是中考考查的热点.

1.相似多边形的相似比（周长比、面积比等）往往与平行线、等分问题、三角形

的等积转化联系起来.

2.相似三角形的识别往往会与特殊三角形、四边形、圆和三角函数等相关知识

联系，与探索性、开放性问题相联系.

3.主要体现数形结合思想、转化的思想.

【考点精练】

考点1：比例线段

【典例】（2018•泸州）如图，正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上，AF,BE相交于点

G,若AE=3ED,DF=CF,则处的值是（）

【分析】如图作，FN〃AD,交AB于N,交BE于M.设DE=a,则AE=3a,利用平行线分线段

成比例定理解决问题即可；

【解答】解：如图作，FN〃AD,交AB于N,交BE于M.

•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,VFN/7AD,

，四边形ANFD是平行四边形,

VZD=90°,

・・・四边形ANFD是解析式，

'/AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,

VAN=BN,MN/7AE,

ABM=ME,

3

AMN=—a,

2

R

AFM=—a,

2

VAE^FM,

.AGAE畚6

GFFMya5

故选：C.

【同步练】（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是AABC的边AB、AC、BC上的点，若DE

〃BC,EF〃AB,则下列比例式一定成立的是（）

DBBCBCADECFCABBC

【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论.

【解答】解：：DE〃BC,

,AD_AE

；DE〃BC,

,.△ADE^AABC,

.AD_AE_DE

'AB~AC~BC）

；EF〃AB,

.AE_BF

-CF=CF'

；EF〃AB,

,.△CEF^ACAB,

.CE_CF_EF

'AC^CB"AB'

VDE/7BC,EF〃AB,

四边形BDEF是平行四边形，

；.DE=BF,EF=BD,

.AD_AEAE_DEAD_AE_BFCE_CF_BD

,,EF^CE'CE^CF'AB=AC^BC'AE=CB=AB'

.•.笆■上正确，

ECFC

故选：C.

【点评】1.判断四个数（或四条线段）是否成比例的方法有两种：一是按大小排列好，判断

前两个数（或两条线段）的比和后两个数（或两条线段）的比是否相等；二是查看是否有两数

（或两条线段）的积等于其余两数（或两条线段）的积.

2.有关比例的问题，解题时要充分利用比例的基本性质进行变形或求值，转化为积的形式

就可以转化为方程问题.要重视对变形结果的检验，即检验变形后是否仍然满足“两内项之

积等于两外项之积”.

考点2：相似三角形的性质与判定

【典例】（2018•张家界）如图，点P是。0的直径AB延长线上一点，且AB=4,点M为众上

一个动点（不与A,B重合），射线PM与。0交于点N（不与M重合）

（1）当M在什么位置时，的面积最大，并求出这个最大值；

（2）求证：APAN^APMB.

【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三

角形面积最大值即可；

（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证.

【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM_LAB,

VOM=—AB=—X4=2,

22

S，w»=—AB•OM--X4X2=4；

A22

(2)VZPMB=ZPAN,ZP=ZP,

•,.△PAN^APMB.

【同步练】(2018•株洲)如图，在Rt^ABM和RtZ\ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,

其中AM=AN.

(1)求证：RtAABM^RtAAND；

(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=，AD，求tanNABM的值.

【分析】(1)利用HL证明即可;

(2)想办法证明△DNTs^AMT,可得二二DT由4丁=上短),推出幽工，在Rt^ABM中,

DNAT4DN3

AM_AM_1

tanZABM=

前而7

【解答】解：(1)VAD=AB,AM=AN,ZAMB=ZAND=90"

ARtAABM^RtAAND(HL).

(2)由RtAABM^RtAAND易得：ZDAN-ZBAM,DN=BM

/ZBAM+ZDAM=90°；ZDAN+ZADN=90°

ZDM'f=ZAND

\ND//AM

".△DNT^AAMT

.AM_DT

,DN^AT

>"AT="^AD，

.AM

'DN^?

."RtAABM

AMAM_1

tanZABM=

【点评】判定两个三角形相似的基本思路：1.条件中若有平行线，或能作出相关的平行线,

可采用相似三角形的基本定理；2.条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比

例；3.条件中若有两边对应成比例，可判断夹角相等；4.条件中若有一对直角，可考虑再

找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；5.若无内角相等，就考虑三组对应边是否成

比例.

考点3：相似图像的性质

【典例】如图，矩形48划的两边如，切都在坐标轴的正半轴上，⑺=3,另两边与反比例

函数尸：(A#0)的图象分别相交于点£F,且以=2,过点£作以/_Lx轴于Z4过点厂作

FGLEH于G,回答下面的问题：

AEDAEDH

①该反比例函数的解析式是什么？

②当四边形力笈声为正方形时，点尸的坐标是多少？

(1)阅读以上内容，请解答其中的问题.

(2)小亮进一步研究四边形力附■的特征后提出问题：“当时，矩形AEGF与矩形DO//E

能否全等？能否相似？”

针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否

相似？若能相似，求出相似比：若不能相似，试说明理由.

解：⑴①•••0D=3,DE=2,；.E(2,3),由反比例函数y=§,可得k=xy=6,...该反比例

函数的解析式是y=:②设正方形AEGF的边长为a,则BF=3—a,0B=2+a,.,.F(2+a,

3—a),(2+a)(3—a)=6,解得8=0(舍去)，az=l,...点F的坐标为(3,2)

FAOD33Q

⑵两个矩形不可能全等.当m=而=£时，两个矩形相似，EA=-EG,设EG=x,则EA*x,

DUDEZNN

333

0B=2+~x,FB=3—x,AF(2+TX,3—X),(2+-x)(3—x)=6,解得x1=0(舍去)，

5

rcFG3C

xz=w，；加6=可，.•.矩形AEGF与矩形DOHE的相似比为而=5=£

ooDeZo

【同步练】宽与长的比是夸二（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的

美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形

ABCD,分别取AD,BC的中点E,F,连结EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延

长线与点G；作GHJ_AD,交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

AEDAEDH

解：由作图方法可知DF=y^）CF,所以CG=（4一1）CF,且GH=Cg2CF,.嗡=—

=咛2.•.矩形4CG〃是黄金矩形，故选D.

【点评】1.相似多边形的判断主要是按定义，先判断角是否对应相等，再判断对应边是否

成比例.

2.应用相似多边形的性质时，一是注意对应边、对应角的对应关系；二是在求面积时，注

意面积比是相似比的平方.

考点4：位似图形

【典例】如图，AOAB与aOCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比为1:2,Z0CD=90°,

CO=CD,若B（1,0）,则点C的坐标为（1,-1）.

【分析】连接BC,由三角形OAB与三角形OCD为位似图形且相似比为1：2,根据B的坐

标确定出D坐标，进而得到B为0D中点，利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，

确定出BC与0B的长，再利用三线合一性质得到CB垂直于0D,即可确定出C坐标.

【解答】：连接BC,

•••△OAB与AOCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比为1：2,且B（与0）,即0B=L

.,.0D=2,即B为0D中点，

VOC=DC.

ACB10D,

在RtZ\OCD中，CB为斜边上的中线，

•,.CB=OB=BD=1,

则C坐标为（1,-1）,

【同步练】（1）（2016承德二中模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点0在坐标原

点，边0A在x轴上，0C在y轴上，如果矩形0A'B'CJ与矩形OABC关于点0位似，且矩

形0A'B'C'的面积等于矩形OABC面积的;，那么点B'的坐标是（

A.(—2,3)B.(2,一3)C.(3,—2)或(-2,3)D.(—2,3)或(2,—3)

【解析】在第一.象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形0A'B'C’.

【答案】D

（2）（2016沧州八中二模）如图，aOAB与AOCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比

为1：2,N0CD=90°,CO=CD.若B(l,0),则点C的坐标为()

A.(1,2)B.(1,1)C.(木,y[2)D.(2,1)

【解答】B

【点评】1.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法，

可以把一个多边形放大或缩小.2.位似图形所有对应点的连线相交于位似中心.

考点5：相似三角形的应用

【典例】如图1是一个某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点

C是支杆PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑动时，点D随

之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与BC重合于

竖杆BA,经测量PC=BC=50cm,CD=60cm,设AP=xcm,竖杆BA的最下端B到地面的

距离B0=ycm.

⑴求AB的长；

(2)当NPCB=90°时，求y的值；(参考数据：*七1.414,结果精确到0.1cm,可使用科

学计算器)

(3)当点P运动时，试求出y与x的函数关系式.

解：(1)由题意PC=BC=50cm,...AB=PC+BC=100cm

⑵过点C作CELPB于E,VZPCB=90°,PC=BC=50cm,

，/CPB=NCBP=45°,；.PE=50cos45°=25季，

VCE1PB,P01D0,APCE^APDO,

嚅喘即鬻=焉,.••…危

，y=BO=55娟一25镜义2=5镜=7.l(cm)

(3)由(2)可知，在运动过程中始终有△PCEs/iPDO,

100—x

.PE_PC.250.__J_

，'PO=PD，，，100-x+y=110,一元x+l0

【同步练】(2018•陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测

量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点

B,使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,

使得点E与点C、A共线.

已知：CB±AD,ED1AD,测得BC=lm,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相

关测量信息，求河宽AB.

【分析】由BC〃DE,可得空-空，构建方程即可解决问题.

DEAD

【解答】解：；BC〃DE,

.,.△ABC^AADE,

.BC_AB

"DEAD'

.1_―

••IT「AB+8.5'

.*.AB=17（m）,

经检验：AB=17是分式方程的解，

答：河宽AB的长为17米.

【点评】应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为有相似三

角形的数学问题,然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解.

【真题演练】

1.（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3,则其面积之比是（）

A.1^3B.2：3C.4：9D.8：27

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【解答】解：•••两三角形的相似比是2：3,

...其面积之比是4：9,

故选：C.

2.（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4

ABC相似的是（）

AC

【分析】根据正方形的性质求出NACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.

【解答】解：由正方形的性质可知，ZACB=180°-45°=135°,

A、C、D图形中的钝角都不等于135°,

由勾股定理得，BC=«,AC=2,

对应的图形B中的边长分别为1和加，

ST

.•.图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，

故选：B.

3.（2018•哈尔滨）如图，在AABC中，点D在BC边上，连接AD,点G在线段AD上，GE

〃BD,且交AB于点E,GF〃AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是（）

BDFC

DFDGFG岖旦

、组=AGB=C

'AE-AD'CF-AD'AC-而'BE-DF

【分析】由GE〃BD、GF〃AC可得出△AEGSAABD、ADFG^ADCA,根据相似三角形的性质

即可找出绘=黑=基，此题得解.

BEDGDF

【解答】解：VGE/7BD,GF〃AC,

.,.△AEG<^AABD,ADFG^ADCA,

.AEAGDG=DF

*'ABAD'DADC*

.AEAG_CF

，-BEDGDF'

故选:D.

4.（2018・临沂）如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得

AB=1.6m.BC=12.4m,则建筑物CD的高是（）

D

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

【分析】先证明...△ABESZ\ACD,则利用相似三角形的性质得，J;2“二警，然后利用

1.6+12.4CD

比例性质求出CD即可.

【解答】解：；EB〃CD,

.,.△ABE^AACD,

.AB_BE1.6_1.2

,,AC-CD，1.6+12.4"cT'

.,.CD=10.5（米）.

故选：B.

5.（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD#BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、

BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）

A.5B.4C.3巡D.2巡

【分析】先求出AC,进而判断出△ADFs^CAB,即可设DF=x,AD=Jgx,利用勾股定理求

出BD,再判断出△DEFSADBA,得出比例式建立方程即可得出结论.

【解答】解:如图，在RtZXABC中,AB=5,BC=10,

.*.AC=5旄

过点D作DF1AC于F,

/.ZAFD=ZCBA,

VAD#BC,

.'.ZDAF=ZACB,

.,.△ADF^ACAB,

.DFAD

ABAC

.DF_AD

,,TW

设DF=x，则AD二&x,

在R©BD中，BD=7AB2+AD2=A/5X2+25,

VZDEF=ZDBA,ZDFE=ZDAB=90°,

.,.△DEF^ADBA,

•・•_DE—DF,

BDAD

.3—一x

•”5，+25保

Ax=2,

AD=^y^x=25/"^,

6.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰RtAABC和等腰Rt^ADE,

CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论：

①△BAEs/XCAD；②MP・MD=MA・ME；③2cB%CP・CM.其中正确的是（）

【分析】（1）由等腰Rt^ABC和等腰RtZXADE三边份数关系可证;

（2）通过等积式倒推可知，证明△PAMS/^EMD即可；

（3）2cB2转化为AC2,证明△ACPS^MCA,问题可证.

【解答】解：由己知：AOAD-

.ACAD

"'AB^AE

,/ZBAC=ZEAD

，ZBAE=ZCAD

A△BAEACAI）

所以①正确

,/△BAE^ACAD

，ZBEA=ZCDA

"?ZPME=ZAMD

.,.△PME^AAMD

.HP_ME

"MA=MD

.,.MP»MD=MA»ME

所以②正确

VZBEA=ZCDA

ZPME=ZAMD

；.P、E、D、A四点共圆

.,.ZAPD=ZEAD=90°

,/ZCAE=180°-ZBAC-ZEAD=90°

.♦.△CAPs/XCMA

/.AC2=CP*CM

,/AC=V2AB

,,.2CB2=CP<M

所以③正确

故选：A.

7.（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个

问题：”今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”

用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的

正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，

求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步.

G

【分析】证明△CDKS^DAH,利用相似三角形的性质得黑=罂，然后利用比例性质可

10015

求出CK的长.

【解答】解:DH=100,DK=100,A1I=15,

VAHZ/DK,

AZCDK=ZA,

而NCKD二NAHD,

AACDK^ADAII,

.CK_DK即CK_100

DHAH10015

.a—2000

3

答：KC的长为空上步.

故答案为怨Q.

FG

C

8.（2018•江西）如图，在AABC中，AB=8,BC=4,CA=6,CD//AB,BD是/ABC的平分线,

BD交AC于点E,求AE的长.

【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出ND二NCBD,求出BC=CD=4,证△AEBs/XCED,

得出比例式，求出AE=2CE,即可得出答案.

【解答】解：YBD为NABC的平分线,

AZABD=ZCBD,

VAB/7CD,

AZD=ZABD,

AZD=ZCBD,

・・・BC=CD,

・・・BC=4,

.,.CD=4,

VAB/7CD,

AAABE^ACDE,

,ABAE

CDCE，

・8_AE

••~-~,，

4CE

.*.AE=2CE,

VAC=6=AE+CE,

；.AE=4.

9.(2018•东营)如图，CD是。0的切线，点C在直径AB的延长线上.

(1)求证：ZCAD=ZBDC；

【分析】(1)连接0D,由0B=0D可得出N0BD=N0DB,根据切线的性质及直径所对的圆周

角等于180°,利用等角的余角相等，即可证出/CA1ANBDC；

(2)由/C=/C、ZCAD=ZCDB可得出△CDBs/\CAD,根据相似三角形的性质结合BD=?AD、

AC=3,即可求出CD的氏.

【解答】（1）证明：连接0D,如图所示.

VOB=OD,

AZOBD=ZODB.

；CD是。0的切线，0D是。。的半径,

,,.Z0DB+ZBDC=90".

：AB是。。的直径，

Z.ZADB=90°,

.*.Z0BD+ZCAD=90o,

.\ZCAD=ZBDC.

(2)解:VZC=ZC,ZCAD=ZCDB,

.".△CDB^ACAD,

.BD_CD

•'而AC'

9

VBD=—AD,

3

BD-2

AD3，

CD

一_2

Ac3，

又•；AC=3,

.•.CD=2.

10.（2018•大庆）如图，AB是。0的直径，点E为线段0B上一点（不与0,B重合），作

EC10B,交。0于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF1PC于点F,

连接CB.

（1）求证：AC平分NFAB；

（2）求证:BC2=CE«CP；

（3）当AB=4T且吟=,时，求劣弧俞的长度.

c

r__

【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可；

(2)只要证明△CBEs/\CPB,可得《殳=奥解决问题；

CPCB

(3)作BMJ_PF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性

质求出BM,求出tan/BCM的值即可解决问题；

【解答】(1)证明：•••AB是直径，

.,.ZACB=90°,

.*.ZBCP+ZACF=90°,ZACE+ZBCE=90°,

ZBCP=ZBCE,

ZACF=ZACE,即AC平分NFAB.

(2)证明：VOC=OB,

，ZOCB=ZOBC,

；PF是。。的切线,CE1AB,

.,.ZOCP=ZCEB=90°,

.".ZPCB+Z0CB=90°,ZBCE+Z0BC=90°,

；./BCE=/BCP,

VCD是直径，

.•.ZCBD=ZCBP=90°,

.,.△CBE^ACPB,

•.•C_B■_一CE，

CPCB

・・・BC、CE,CP；

(3)解：作BMJLPF于M.则CE=CM=CF,设CE=C\仁CF=3a,PC=4a,PM=a,

VZMCB+ZP=90°,NP+NPBM=90°,

JNMCB=NPBM,

:CD是直径,BM±PC,

・・・NCMB二NBMP二90°，

.BM_CM

**PM丽’

Z.BM-=CM*PM=3a2,

•*-BM—,

.+ZPCMBMV3

・・tan/BCM=--

CM3

/.ZBCM-300,

AZ0CB=Z0BC=ZB0C=60°,NBOD=1200

120»7r>2V3_W3

BD的长二1803-

11.如图①，E是线段BC的中点，分别以B,C为直角顶点的AEAB和4EDC均是等腰直角

三角形，且在BC的同侧.

AE和ED的