广东省汕头市潮阳区重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

潮阳区重点中学2023年第一学期高二年级数学科期中考试题（满分150分）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．2.复数在复平面上的对应点落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人．现从全校学生中按比例分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（）A.18 B.20 C.22 D.304．为空间任意一点，若，若四点共面，则（

）A． B． C． D．5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知直线和直线，若，则的值（

）A．1或 B．或 C．1 D．7．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（）A．或B．或C．D．8．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（

）．

A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．满足下列条件的直线与，其中的是（

）A．的倾斜角为，的斜率为B．的斜率为，经过点，C．经过点，，经过点，D．的方向向量为，的方向向量为10．已知空间向量，，下列结论正确的是（

）A．B．，夹角的余弦值为C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数D．在上的投影向量为11．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（

）A．B．C．D．12．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（

）A．直线平面 B．C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，若，则______．14．已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为．15．已知为奇函数，当时，；当，的解析式为________．16．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离是________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，且，求△ABC的周长．18.（12分）从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间;（2）设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;（3）若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.19．（12分）直线过点.(1)若直线与直线平行，求直线的方程；(2)若点到直线的距离为1，求直线的方程.20.（12分）已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，．（1）用，，表示及求；（2）求异面直线与所成角的余弦值．21.（12分）如图，在三棱柱中，侧面，都是正方形，∠ABC为直角，，M，N分别为，AC的中点.（1）求证：平面；（2）求直线AB与平面AMN所成角的正弦值.22．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD＝2，(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．答案解析第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵全集，集合∴，又∴.故选：C.2.复数在复平面上的对应点落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由题可知，所以复数对应的点为在第四象限，故选:D.3.某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人．现从全校学生中按比例分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（）A.18 B.20 C.22 D.30【答案】B【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义域计算方法，即可求解.【详解】由分层抽样的定义可知，从全校学生中用分层抽样的方法抽取人进行调查，则抽取高二年级的学生人数为.故选：B.4．为空间任意一点，若，若四点共面，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由A，B，C，P四点共面的充要条件得到，用向量的差整理成与O共起点的向量表示式，结合已知由空间向量的基本定理列出方程组，解出即可.【详解】若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对，使，所以，整理得：，又由题知，由空间向量的基本定理知：解得所以.故选：C.5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】，因此将函数的图象向右平移个单位．故选：D．6．已知直线和直线，若，则的值（

）A．1或 B．或 C．1 D．【答案】D【分析】利用两直线平行列方程即可求解.【详解】因为直线和直线，且，所以，解得：或.当时，，，与重合，不合题意，舍去；当时，，，即，所以符合题意.故选：D7．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（）A．或B．或C．D．【答案】A【分析】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案.【详解】解：直线方程为转化为，所以直线过定点，且与线段相交，如图所示，则直线的斜率是，直线的斜率是，则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或故选：A．8．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（

）．

A． B． C． D．【答案】D【详解】平面,平面,平面,因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.

则设平面的法向量为，则，令，则设点到平面的距离为，则故直线到平面的距离为.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．满足下列条件的直线与，其中的是（

）A．的倾斜角为，的斜率为B．的斜率为，经过点，C．经过点，，经过点，D．的方向向量为，的方向向量为【答案】BCD【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D.【详解】对A，，，，所以A不正确；对B，，，故B正确；对C，，，，故C正确；对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.故选：BCD10．已知空间向量，，下列结论正确的是（

）A．B．，夹角的余弦值为C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数D．在上的投影向量为【答案】BCD【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.【详解】对于A，，，故A错误；对于B，因为，，所以，，，设与的夹角为，则，故B正确；对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选:BCD．11．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．当直线的截距不为0时，设直线的方程为，则，解得或，当时，可得直线的方程为，即；若时，可得则直线的方程为，即．故选：BCD.12．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（

）A．直线平面 B．C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断AB，根据等体积法判断C，由向量法求球心及半径判断D.【详解】如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，可得，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；因为，即，所以，故B正确；，故C错误；设球心坐标为，则，由可得，解得，由可得，解得，再由可得，解得，所以，所以，故D正确.故选：ABD第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量，，因为，可得，解得.故答案为：.14．已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为．【答案】【分析】直线与直线联立得，再由点斜式可求得直线方程.【详解】联立，解得：．所以与l3垂直的直线方程为：，整理得：．故答案为：15．已知为奇函数，当时，；当，的解析式为．故答案为：.16．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离是________．【答案】【分析】如图建立空间直角坐标系，用向量法进行求解即可【详解】如图示，以为原点，为轴建立坐标系，则,所以,所以在上的投影为，所以点点到直线的距离是，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，且，求△ABC的周长．解:（1）由及正弦定理得…………2分因为，故．…………4分又∵为锐角三角形，所以．…………5分（2）由余弦定理，…………7分∵，得∴…………9分∴的周长为．…………10分18.（12分）从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间;（2）设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;（3）若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.解:（1）由题知,样本空间为;…………4分（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,故;…………8分（3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,故.…………12分19．（12分）直线过点.(1)若直线与直线平行，求直线的方程；(2)若点到直线的距离为1，求直线的方程.解:（1）设直线方程为…………2分将代入得，…………3分所求直线方程是…………4分（2）若直线的斜率不存在，…………5分则过的直线为，到的距离为1，满足题意；…………6分若直线的斜率存在，设斜率为，…………7分则的方程为.…………8分由到直线的距离为1，可得.…………9分解得，…………10分所以直线方程为，即.…………11分综上得所求的直线方程为或.…………12分20.（12分）已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，．（1）用，，表示及求；（2）求异面直线与所成角的余弦值．解:（1），…………2分，…………5分.…………6分（2），…………7分.…………9分又，，设异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角的余弦值是.…………12分21.（12分）如图，在三棱柱中，侧面，都是正方形，∠ABC为直角，，M，N分别为，AC的中点.（1）求证：平面；（2）求直线AB与平面AMN所成角的正弦值.证明：（1）连接，在中，因为是，的中点，所以∥，又平面，平面所以平面.…………4分（条件不全扣1分）解：（2）在三棱柱中，因为侧面都是正方形所以又为直角，所以.所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，…………6分如图所示，则，，，…………7分设直线与平面所成的角为设平面的法向量为，因为，，…………8分所以，令，则，…………10分所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.