云南省保山市隆阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含解析）

云南省保山市隆阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为360° B．菱形的对角线互相垂直 C．互为相反数的两个数之和为0 D．一个口袋里有除颜色外其余均相同的10个红球和1个白球，从中抽出一个白球3．（3分）对于函数，下列说法错误的是（）A．该函数的图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形 D．点A（1，4）在该函数图象上4．（3分）如图，点A，B，C三点在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠AOC的度数为（）A．100° B．120° C．90° D．50°5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…下列说法正确的是（）A．抛物线的对称轴是：y轴 B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是：﹣4 D．抛物线的开口向下6．（3分）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（）A．0.5 B．1 C．3 D．π7．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＜1且k≠18．（3分）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．9．（3分）将抛物线C1：y＝（x﹣3）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x+4）2+3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣310．（3分）如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率分布折线图，符合图中这一结果的实验可能是（）①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”；②在“石头，剪刀，布”的游戏中；③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；④从分别写有A、B、C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片．A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④11．（3分）在艺术课上，王老师带着学生们制作圆锥形的帽子．经测量要制作的帽子底面直径为24cm，将帽子展开得到的扇形的圆心角θ＝120°则制作这种帽子需要的材料面积为（）A．480πcm2 B．360πcm2 C．432πcm2 D．500πcm212．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线（﹣2，0）．下列结论：①abc＜0；②a﹣b＝0；④b2﹣2ac＞0．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）13．（2分）若方程2x2+4x﹣1＝0的两根为m、n，则mn+m+n＝．14．（2分）某市楼盘计划以每平方米14400元的均价对外销售，由于近期国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望．为了加快资金回笼，房地产开发商对价格经过连续两次下调，问：平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，根据题意列方程为．15．（2分）若函数的图象上有三个点（﹣5，y1），（﹣1，y2），（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是．（用“＜”号连接）16．（2分）从2023年1月8日起，我国正式对新冠病毒感染实施“乙类乙管”．旅游业开始复苏，丽江也恢复往日繁华的景象，如图甲，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知⊙O被水面截得的弦AB长为8米．若点C为运行轨道的最低点，且C到水面的距离为2米则筒车的直径等于米．三、解答题（本大题共8小题，共56分）17．（6分）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣16＝0．（2）（x﹣1）（x+3）＝12．18．（6分）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A1B1C1，并写出C1的坐标；（2）求点B在旋转过程中的运动路径长度．19．（7分）疫情期间，数学课不得不转移到线上进行，数学老师为了增加课堂氛围，有一个可以随机生成数字1、2、2、3的软件．（1）若小红使用该软件生成一个随机数字，求这个数字是2的概率；（2）若学生先用该软件生成一个随机数字，记下数字为x．老师再使用该软件生成一个随机数字，记下数字为y（x，y）．规定：若点M（x，y）在反比例函数，则学生胜；若点M在反比例函数，则老师胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？20．（7分）如图8，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（m，5），B两点．（1）求反比例函数的解析式和B的坐标；（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．21．（7分）阅读材料、完成探究．数学活动：测量树的高度．在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下：①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，小华的眼睛G到地面的距离GH＝1.5米；③已知AB⊥BH，ED⊥BH，GH⊥BH，C，D，F，H在同一直线上．（1）∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴，……可得＝；（写比值）（2）利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度AB．22．（7分）昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，若该产品每天的售价增加0.5元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元．（1）求日销量y与x之间的函数关系式；（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点E，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BE＝2，AB＝6，求DC的长．24．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）．（1）若抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）有一个交点的坐标为P（1，1），求m的值；（2）若抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）有且仅有一个交点，设平行于直线l1且经过原点的直线l2与抛物线交于A，B两点，且|xB﹣xA|＝b+1，求：．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意；C．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．2．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为360° B．菱形的对角线互相垂直 C．互为相反数的两个数之和为0 D．一个口袋里有除颜色外其余均相同的10个红球和1个白球，从中抽出一个白球【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、任意画一个三角形，是不可能事件；B、菱形的对角线互相垂直，不符合题意；C、互为相反数的两个数之和为0，不符合题意；D、一个口袋里有除颜色外其余均相同的10个红球和1个白球，是随机事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（3分）对于函数，下列说法错误的是（）A．该函数的图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形 D．点A（1，4）在该函数图象上【分析】根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可．【解答】解：A、函数，图象位于一三象限，不符合题意；B、函数，图象位于一三象限，y随x的增大而减小，符合题意；C、反比例函数，既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意；D、当x＝1时，点（1图象上，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．4．（3分）如图，点A，B，C三点在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠AOC的度数为（）A．100° B．120° C．90° D．50°【分析】设点P是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AP、CP，利用圆内接四边形的性质证明∠P＝∠CBD＝50°，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．【解答】解：设点P是优弧AC（不与A，C重合）上的一点、CP∵∠P+∠ABC＝180°，∠CBD+∠ABC＝180°，∴∠P＝∠CBD＝50°，∴∠AOC＝2∠P＝2×50°＝100°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…下列说法正确的是（）A．抛物线的对称轴是：y轴 B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是：﹣4 D．抛物线的开口向下【分析】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴进而得出答案．【解答】解：由数据可得：当x＝﹣1和3时，对应y的值相等，∴函数的对称轴为：直线x＝＝4，∴顶点为（1，﹣4），∵数据从x＝﹣7到1对应的y值不断减小，∴抛物线开口向上，当x＜1时，函数有最小值﹣8，故选项A，B，D都错误．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键．6．（3分）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（）A．0.5 B．1 C．3 D．π【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD＝60°，得到△COD是等边三角形，得到OC＝CD，根据题意计算即可．【解答】解：连接OC、OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝60°，又OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴OC＝CD，正六边形的周长：圆的直径＝6CD：2CD＝3，故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．7．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＜1且k≠1【分析】由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝8有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即（﹣2）8﹣4k＞0，解得k＜8，故选：B．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．8．（3分）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．【分析】由相似三角形的判定，即可得出答案．【解答】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，故A不符合题意；B、由两角对应相等的两三角形相似，故B不符合题意；C、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故C不符合题意；D、两三角形两边对应成比例，不能判定△ABC与△ADE相似；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．9．（3分）将抛物线C1：y＝（x﹣3）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x+4）2+3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线C1：y＝（x﹣3）3向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C3，则抛物线C2的函数表达式为：y＝（x﹣3﹣4）2+3，即y＝（x﹣4）2+3．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．10．（3分）如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率分布折线图，符合图中这一结果的实验可能是（）①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”；②在“石头，剪刀，布”的游戏中；③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；④从分别写有A、B、C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片．A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P＝0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”的概率为，②在“石头，剪刀，小明随机出的是剪刀的概率为，③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”的概率为，④从分别写有A、B、C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片的概率为，故符合图中这一结果的实验可能是②④．故选：C．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．11．（3分）在艺术课上，王老师带着学生们制作圆锥形的帽子．经测量要制作的帽子底面直径为24cm，将帽子展开得到的扇形的圆心角θ＝120°则制作这种帽子需要的材料面积为（）（）A．480πcm2 B．360πcm2 C．432πcm2 D．500πcm2【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：扇形弧长是：24π（cm），设扇形的半径是rcm，则＝24π，解得：r＝36，∴制作这种帽子需要的材料面积为＝432π（cm2）．故选：C．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线（﹣2，0）．下列结论：①abc＜0；②a﹣b＝0；④b2﹣2ac＞0．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称轴可知a＝b，图象过（1，0）代入二次函数中可得a+b+c＝0，再由图象与x轴有两个交点，从而可判断ax2+bx+c＝0有两个不相同的解．【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，﹣，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由题意可知：﹣＝﹣，∴a﹣b＝4，故②正确；③∵对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为（﹣3．∴与x轴的另一个交点坐标为（1，0），将（7，0）代入y＝ax2+bx+c，∴a+b+c＝7，故③正确；④∵图象与x轴有两个交点，∴ax2+bx+c＝0有两个不相同的解，∴b5﹣2ac＞0故④正确；∴正确结论的个数是6个．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质．二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）13．（2分）若方程2x2+4x﹣1＝0的两根为m、n，则mn+m+n＝﹣．【分析】先利用根与系数的关系得m+n＝﹣＝﹣2，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝﹣＝﹣6，所以m+n+mn＝﹣7﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．14．（2分）某市楼盘计划以每平方米14400元的均价对外销售，由于近期国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望．为了加快资金回笼，房地产开发商对价格经过连续两次下调，问：平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，根据题意列方程为14400（1﹣x）2＝10000．【分析】利用经过两次降价后的均价＝原价×（1﹣平均每次下调的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：14400（1﹣x）2＝10000．故答案为：14400（8﹣x）2＝10000．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（2分）若函数的图象上有三个点（﹣5，y1），（﹣1，y2），（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．（用“＜”号连接）【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的符号及其大小进行判断即可．【解答】解：∵﹣（m2+1）＜7，∴函数的图象在二，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣1＜0，∴6＜y1＜y2，∵4＞0，∴y3＜2，∴y3＜y1＜y3．故答案为：y3＜y1＜y2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．16．（2分）从2023年1月8日起，我国正式对新冠病毒感染实施“乙类乙管”．旅游业开始复苏，丽江也恢复往日繁华的景象，如图甲，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知⊙O被水面截得的弦AB长为8米．若点C为运行轨道的最低点，且C到水面的距离为2米则筒车的直径等于10米．【分析】根据垂径定理、勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OC，交AB于点D，由题意可知，AB＝8m，∴AD＝BD＝AB＝4m，设OA＝xm，则OD＝（x﹣2）m，在Rt△AOD中，∵OD7+AD2＝OA2，即（x﹣3）2+42＝x2，解得x＝5，即圆的半径为6m，所以圆的直径为10m，故答案为：10．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键．三、解答题（本大题共8小题，共56分）17．（6分）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣16＝0．（2）（x﹣1）（x+3）＝12．【分析】（1）利用直接开平方法求解；（2）利用因式分解法求解．【解答】解：（1）2（x﹣1）8﹣16＝0，2（x﹣3）2＝16，（x﹣1）3＝8，，解得，；（2）（x﹣1）（x+4）＝12，x2+2x﹣2＝12，x2+2x﹣15＝8，（x+5）（x﹣3）＝4，x+5＝0或x﹣6＝0，解得x1＝﹣5，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程．18．（6分）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A1B1C1，并写出C1的坐标；（2）求点B在旋转过程中的运动路径长度．【分析】（1）根据题意画出旋转后的三角形即可．（2）根据图形的运动方式，得出前B的运动轨迹即可解决问题．【解答】解：（1）因为图形在旋转时，图形上的每一个点都进行了相同方式的旋转，所以找出点A，B，C绕点O逆时针旋转后的对应点，如图所示，△A1B1C3即为所求作的三角形．点C1的坐标为（﹣3，6）．（2）由勾股定理得，OB＝．又因为点B的运动轨迹是以原点O为圆心，且圆心角为90°的圆弧，所以点B运动的路径长度为：＝＝．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解题的关键．19．（7分）疫情期间，数学课不得不转移到线上进行，数学老师为了增加课堂氛围，有一个可以随机生成数字1、2、2、3的软件．（1）若小红使用该软件生成一个随机数字，求这个数字是2的概率；（2）若学生先用该软件生成一个随机数字，记下数字为x．老师再使用该软件生成一个随机数字，记下数字为y（x，y）．规定：若点M（x，y）在反比例函数，则学生胜；若点M在反比例函数，则老师胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，求出小明胜的概率和小红胜的概率，即可得出结论．【解答】解：（1）小红使用该软件生成一个随机数字，则这个数字是2的概率为；（2）画树状图如图：共有16个等可能的结果，点M（x，点M（x，∴小明胜的概率为，小红胜的概率为，∴小明胜的概率＝小红胜的概率，∴这个游戏公平．【点评】本题考查了公式法求概率，画树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．20．（7分）如图8，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（m，5），B两点．（1）求反比例函数的解析式和B的坐标；（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝x+2的图象经过点A（m，8），∴m+2＝5，解得：m＝8，∴A（3，5），把点A（6，5）代入反比例函数y2＝，得7＝，解得：k＝15，∴反比例函数的解析式为y＝，联立方程组得：，解得：，，∴点B的坐标为（﹣5，﹣4）；（2）由图象可得：当y1＞y2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合是解题的关键．21．（7分）阅读材料、完成探究．数学活动：测量树的高度．在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下：①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，小华的眼睛G到地面的距离GH＝1.5米；③已知AB⊥BH，ED⊥BH，GH⊥BH，C，D，F，H在同一直线上．（1）∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴，……可得＝；（写比值）（2）利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度AB．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，据此代入ED，CB的值即可得到答案；（2）设AB＝x米，BC＝y米，证明△ABF∽△GHF得到，即，再由（1）所求得到，解方程求出y的值，进而求出x的值即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴，，∴，故答案为：；（2）设AB＝x米，BC＝y米，由（1）得，∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，∴△ABF∽△GHF．∴，∴．∴，解得y＝20，∴答：树的高度AB为15m．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题．22．（7分）昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，若该产品每天的售价增加0.5元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元．（1）求日销量y与x之间的函数关系式；（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）由该产品每天的售价增加0.5元，则日销量减少1千克，得每天售价增加1元，则日销量减少2千克，再根据题意即可列出函数关系式；（2）根据题意列出w关于x的函数关系式，通过物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，得到x的取值范围，根据二次函数的性质得到增减性后即可求出最值．【解答】解：（1）由该产品每天的售价增加0.5元，则日销量减少2千克，得每天售价增加1元，则日销量减少2千克，由题意得，y＝30﹣3（x﹣25），整理得y＝﹣2x+80，∴日销量y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80；（2）由题意得，w＝（x﹣20）（﹣7x+80），整理得w＝﹣2x2+120x﹣1600，由物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，可得25≤x≤28，由w＝﹣7x2+120x﹣1600，得对称轴为直线x＝30，∵a＝﹣2＜7，∴当x≤30时，w随着x的增大而增大，∵25≤x≤28，∴当x＝28时，w取得最大值，答：当销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大．【点评】本题考查了一次函数与实际问题，二次函数的最值问题，本题的关键是理解题意列出销售量和利润的函数解析式解题．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点E，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BE＝2，AB＝6，求DC的长．【分析】（1）连接OC，证出∠OCE＝90°，由切线的判定可得出结论；（2）根据圆周角定理和相似三