《高等数学》同济六版教学课件第1章函数与极限

《高等数学》同济六版教学课件第1章函数与极限目录函数极限函数的连续性导数与微分函数的单调性与极值CONTENTS01函数CHAPTER函数的定义与性质总结词理解函数的基本定义，掌握函数的性质是学习高等数学的基础。详细描述函数是数学中描述两个数集之间关系的一种工具，通常表示为y=f(x)。函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等，这些性质对于后续的学习非常重要。了解并掌握函数的多种表示方法是深入理解函数的关键。总结词函数的表示方法有多种，如解析法、表格法、图象法等。这些方法各有优缺点，可以帮助我们更好地理解函数的特性。例如，图象法可以直观地展示函数的形态和变化趋势，解析法则可以明确地表达函数的关系式。详细描述函数的表示方法总结词掌握函数的运算性质是进行数学分析和解决实际问题的必要条件。详细描述函数的运算性质包括加法、减法、乘法、除法等运算的规则和性质。例如，函数的加法满足交换律和结合律，乘法满足分配律等。这些性质在后续的学习中会经常用到，如求导数、积分等都需要用到这些运算性质。函数的运算性质02极限CHAPTER极限的定义极限是描述函数在某一点附近的变化趋势的一种数学概念。对于函数$f(x)$，如果当$x$趋近于某个值$a$时，$f(x)$的值趋近于一个确定的常数$L$，则称$L$为$f(x)$在点$a$处的极限。极限的性质极限具有唯一性、有界性、局部保号性、局部不等式性质等性质。这些性质在解决极限问题时具有重要的作用。极限的定义与性质极限的四则运算性质对于两个函数的和、差、积、商的极限，如果存在，则分别等于各自极限的和、差、积、商。极限的复合运算性质对于复合函数的极限，如果内层函数的极限存在，则外层函数的极限也存在，且等于内层函数极限与外层函数在极限点的函数值的乘积。极限的常数倍性质对于常数倍的函数，其极限等于常数与原函数极限的乘积。极限的运算性质当一个变量趋近于0时，该变量可以视为无穷小量。在极限运算中，无穷小量可以用来化简复杂的表达式。无穷小量当一个变量趋近于无穷大时，该变量可以视为无穷大量。在解决极限问题时，有时需要利用无穷大量的性质来化简问题。无穷大量无穷小量与无穷大量03函数的连续性CHAPTER连续性的定义与性质连续性的定义是函数在某点附近的变化趋势，连续性具有一些重要性质，如极限性质和可微性等。总结词连续性的定义是函数在某一点或某一区间内没有间断，即函数在该点或该区间内的极限值等于函数值。连续性具有一些重要的性质，如极限性质和可微性等。极限性质表明，如果函数在某点的极限存在，则该函数在该点连续。可微性则表明，如果函数在某点可微，则该函数在该点连续。详细描述连续函数具有一些重要的运算性质，如加减乘除和复合函数的连续性等。总结词连续函数具有一些重要的运算性质。首先，两个连续函数的和、差、积和商仍然是连续函数。其次，复合函数在一定条件下也是连续的。这些性质对于理解函数的极限和可微性非常重要，也是高等数学中处理函数的重要工具。详细描述连续函数的运算性质函数的间断点是指函数在该点不连续的点，间断点可以分为第一类间断点和第二类间断点两类。总结词函数的间断点是指函数在该点不连续的点。根据函数在间断点处的左右极限是否存在和是否相等，可以将间断点分为第一类间断点和第二类间断点两类。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，它们的左右极限存在但不相等；第二类间断点包括无穷间断点和震荡间断点，它们的左右极限不存在或相等。了解函数的间断点及其分类对于理解函数的连续性和可微性非常重要。详细描述函数的间断点及其分类04导数与微分CHAPTER导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数值的斜率。导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质。导数的定义与性质导数的性质导数的定义对于两个函数的商，其导数可以通过商的公式来计算。商的导数对于幂函数，其导数可以通过幂的导数公式来计算。幂的导数对于复合函数，其导数可以通过链式法则来计算。复合函数的导数导数的运算性质微分是函数在某一点附近的小增量，是函数改变量的线性部分。微分的定义微分具有线性性、可加性和可乘性等性质。微分的性质微分是导数的几何解释，即当切线的斜率为0时，切线就是函数的切线。微分与导数的关系微分的定义与性质05函数的单调性与极值CHAPTERVS单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则称该函数在该区间内具有单调性。性质单调性是函数的局部性质，它只与函数在某区间内的导数符号有关。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；反之，如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。定义单调性的定义与性质极值是指函数在某个点处的一阶导数由正变负或由负变正的点。也就是说，极值点是函数在其附近变化速率最大的点。极值点处的函数值是局部最大或最小的，但它不是整体最大或最小的。极值点处的一阶导数为零，但二阶导数可能为正或负。此外，极值点处的函数值必须大于或小于其邻近点的函数值。定义性质极值的定义与性质最值的定义函数的最值是指在整个定义域内的最大值和最小值。对于连续函数，最值点处的一阶导数为零；对于离