六稳态误差分析

Sunday,February11,20241第六节稳态误差分析Sunday,February11,20242

控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统的设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。

对于一个实际的控制系统，由于系统的结构、输入作用的类型(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度)不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为原理性稳态误差。

此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。这类由于非线性因素所引起的系统稳态误差称为附加稳态误差或结构性稳态误差。本节只讨论原理性稳态误差（简称稳态误差），不讨论结构性稳态误差。Sunday,February11,20243

可以说控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，是尽量减少系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一允许值。显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。有时，把在阶跃函数作用下没有稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有稳态误差的系统，称为有差系统。Sunday,February11,20244一、控制系统的误差:假设反馈控制系统的典型结构图如右图所示。定义:参考输入信号与被控量输出信号间的差为控制系统的误差信号。记做，即：

但是系统的参考输入信号与被控量输出信号有时为不同量纲或量程的物理量，在这种情况下，系统的误差不能直接用它们之间的差值来表示，应该将和转换为相同量纲或量程后方能进行相减。假设将转换为与相同的量纲或量程的转换系数为，则系统的误差有下列两种定义方式：从输入端定义：从输出端定义：Sunday,February11,20245

当和的量纲相同时，即在单位反馈的情况下，转换系数。在一般情况下，转换系数与系统反馈通路传递函数相等。则系统误差可以定义为：

系统误差这两种定义的本质是相同的，只是表现形式不同，两者之间的关系为：系统误差信号的时域表达式为：Sunday,February11,20246系统误差：输出量的希望值和实际值之差。即系统偏差：系统的输入和主反馈信号之差。即系统稳态误差：当t→∞时的系统误差，用表示。即误差及稳态误差的定义系统稳态偏差：当t→∞时的系统偏差，用表示。即式中：E(s)为偏差的S域表达式-+-+Sunday,February11,20247-+定义为偏差。对于图偏差等于误差，对于图，偏差不等于误差。偏差和误差之间存在一定的关系：-+我们用偏差代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。注意：只有稳定的系统，才可计算稳态误差。

由于根据终值定理算出的稳态误差是误差信号稳态分量ess(t)在t趋于无穷时的数值，故有时称为终值误差，它不能反映ess(t)随时间t的变化规律，具有一定的局限性。Sunday,February11,20248[例]如图所示系统为一调速系统，输入电压范围0~5V，对应输出转速范围0~5000rpm，检测装置选择量程转速为0~5000rpm（对应输出电压0~5V）的线性转速传感器。则每一个给定的输入电压都将对应一个确定的希望输出转速，这时，用以说明输入电压与输出转速之间比例关系的系数便是转换系数。在某一时刻，输入电压，理想的输出转速应是，若实际转速为，则其误差为 (从输入端定义），或为（从输出端定义）。

在本课以后的叙述中，均采用从输入端定义系统的误差，则如图系统的误差信号为：Sunday,February11,20249二、控制系统的稳态误差：定义：误差信号在时间趋于无穷大时的数值定义为系统的稳态误差，记为。即：

由系统误差的讨论和稳态误差的定义，可知稳态误差不仅和系统的特性（系统的类型和结构）有关，而且和系统的输入(参考输入和扰动输入)信号的特性有关。由系统的类型、结构或输入信号形式所产生的稳态误差称为原理性稳态误差，而由非线性因素所引起的稳态误差称为附加稳态误差。本节不涉及附加稳态误差的计算，只讨论原理性稳态误差。需要指出的是，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。因此，在计算系统的稳态误差之前，必须判断系统是稳定的。对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。Sunday,February11,202410

对于稳定的系统，稳态误差可以借助拉氏变换的终值定理方便的计算出：

使用上式的条件是有理函数在右半平面和虚轴上必需解析，即的全部极点都必需分布在左半平面（包括坐标原点）。

由于根据终值定理算出的稳态误差是误差信号在t趋于无穷时的数值，故有时称为终值误差，它不能反映稳态误差随时间t的变化规律，具有一定的局限性。Sunday,February11,202411稳态误差的计算－－误差传递函数的计算-

给定作用下的误差传递函数三、稳态误差的计算：-+Sunday,February11,202412

扰动作用下的误差传递函数+

给定和扰动同时作用下的误差表达式-+稳态误差的计算－－误差传递函数的计算Sunday,February11,202413稳态误差的计算

对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差

终值定理要求有理函数的所有极点都在s平面的左半开平面（包括原点）。-+Sunday,February11,202414稳态误差的计算[例]

系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？-解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义，所以先判稳：系统特征方程为由劳斯判据知稳定的条件为：由稳定的条件知：不能满足的要求Sunday,February11,202415三、给定输入值作用下系统的误差及分析

这时，不考虑扰动的影响。由图b，可以写出随动系统的误差为（见右图）：-当t趋于无穷大时的误差称为稳态误差。根据终值定理有：式中，为开环传递函数。显然，与输入和开环传递函数有关。给定输入时的稳态误差表达式-+Sunday,February11,202416开环传递函数的形式

给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的开环增益k有关；与积分环节的个数有关。假设开环传递函数的形式如下：式中：开环放大系数，积分环节的个数；开环传递函数去掉积分和比例环节剩余部分。Sunday,February11,202417开环系统的型系统的无差度阶数（开环传递函数的型）

通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数，并将系统按无差度阶数进行分类。当，无积分环节，称为0型系统当，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统当，有二个积分环节，称为Ⅱ型系统

………………当时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制等系统外，Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。

之所以按照积分环节个数对系统进行分类，是由于反映了系统跟踪参考输入的能力，另外，可以根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在稳态误差及稳态误差的大小。Sunday,February11,202418

稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限值的称为有差系统。在单位阶跃作用下，的系统为有差系统，的系统为无差系统。单位阶跃函数输入时的稳态误差式中：称为静态位置误差系数；当输入为时（单位阶跃函数）

的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪阶跃输入的能力。Sunday,February11,202419

当输入为时（单位斜坡函数）式中：称为静态速度误差系数；单位斜坡函数输入时的稳态误差

的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪斜坡输入的能力。根据计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的误差。Sunday,February11,202420

当输入为时（单位加速度函数）式中：称为静态加速度误差系数；单位加速度函数输入时的稳态误差

的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪抛物线输入的能力。根据计算的稳态误差是系统在跟踪加速度阶跃输入时位置上的误差。Sunday,February11,202421

当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即有：Sunday,February11,202422典型输入作用下的稳态误差上表中，k为开环放大系数（开环传递函数写成时间常数形式时的开环增益）Sunday,February11,202423小结给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。与时间常数形式的开环增益k有关；对有差系统，k↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。所以Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。

由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。Sunday,February11,202424典型一阶系统的稳态误差-开环传递函数为：Sunday,February11,202425典型二阶系统的稳态误差：-Sunday,February11,202426二阶系统引入速度反馈控制时的稳态误差：---Sunday,February11,202427二阶系统引入比例微分控制时的稳态误差：-Sunday,February11,202428二阶系统引入比例积分控制时的稳态误差：Sunday,February11,202429

稳态误差比较：典型二阶系统引入速度反馈环节后，跟踪阶跃信号和加速度信号时与原系统有相同的稳态误差，而跟踪斜坡信号时的稳态误差比原系统要大。典型二阶系统引入比例微分环节后不改变原系统的稳态误差。引入比例积分环节后将减小原系统的稳态误差。原二阶系统速度反馈比例微分比例积分Sunday,February11,202430二、扰动输入作用下系统的误差分析

通常，给定输入作用产生的误差称为系统的给定误差，扰动作用产生的误差为扰动误差。

时产生的成为扰动误差。（如下图）-+可见，不仅与有关，还与有关（扰动点到输出点之间的那部分前向通道传递函数）。Sunday,February11,202431[例子]：考虑下面两个系统。-+图a和图b的开环传递函数是一样的。对于给定输入，其稳态误差是一样的（假设输入为阶跃信号）。扰动误差与积分环节的关系-+但对于扰动作用，由于扰动点不同，扰动前向通道不同，其扰动误差是不一样的。Sunday,February11,202432

若在扰动作用点和偏差点之间增加一个积分环节（串联或并联），可减小或消除稳态误差。

对于给定输入和扰动作用同时存在的系统，系统的总稳态误差等于给定误差和扰动误差的迭加（误差点定义在同一点）。扰动误差与积分环节的关系-+-+Sunday,February11,202433扰动误差与积分环节的关系

[例]：系统结构图如图所示。当时，求系统的稳态误差；若要求稳态误差为零，如何改变系统结构。解：该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差

但该系统对于扰动输入为单位阶跃函数时的稳态误差并不等于零。-+系统总的稳态误差为：Sunday,February11,202434若想使稳态误差为零，则要求G1中有积分环节，令扰动误差与积分环节的关系此时-+由于此时系统的稳定性遭到破坏，成为结构不稳定系统，直接加一个积分环节是不可行的。若要使系统稳定，还必须在原G1中引入比例+微分环节-+当K1>0，K2>0，τ>0时系统稳定对不对？Sunday,February11,202435扰动误差与积分环节的关系由此可见当用时，才能在保证稳定的前提下使系统在阶跃扰动作用下的稳态误差为零。这个环节称为比例+积分环节或比例+积分控制器(PI控制器)。这个环节称为比例+积分+微分环节或比例+积分+微分控制器（PID控制器）。所谓比例+积分(PI)或比例+积分+微分(PID)控制器的作用就是在保证闭环系统稳定及动态特性的前提下提高系统的控制精度。Sunday,February11,202436稳态误差的例子||例3-9[例3-9]速度控制系统的结构图如下图所示。给定输入和扰动作用均为单位斜坡函数。求系统的稳态误差。-+[解]：Sunday,February11,202437稳态误差的例子||例3-93、总的稳态误差为：2、-+Sunday,February11,202438

为了减少给定误差，可以增加前向通道上的积分环节个数或增大系统的开环放大系数。

为了减小扰动误差，可以增加偏差点到扰动作用点之间积分环节个数或放大系数。

放大系数不能任意放大，积分环节也不能太多（一般少于2个），否则系统将会不稳定。[结论]：Sunday,February11,202439[复合控制系统]：在控制系统中引入与给定作用和扰动作用有关的附加控制可构成复合控制，可进一步减小给定误差和扰动误差。图(a)的误差：

顺馈控制系统：图(a)图(b)在图(a)的基础上加上环节，就构成了顺馈控制系统。三、复合控制系统的误差分析复合控制系统Sunday,February11,202440再来计算图(b)的误差函数。等效结构图：复合控制系统Sunday,February11,202441若满足则，即无输入稳态误差，输出完全复现输入。该式称为给定作用实现完全不变性的条件。

前馈控制系统（按扰动作用的完全不变性条件设计）--+令，由于是单位反馈系统，所以误差。未加前馈时，前馈控制系统Sunday,February11,202442加入前馈后，有：显然，

这个条件就是对扰动作用实现完全不变性的条件。但在实际的系统中，有时是难以实现的。可以采取近似的补偿，以减小扰动稳态误差。前馈控制系统--+Sunday,February11,202443复合系统稳态误差例子[例3-10]如下图所示的复合系统。顺馈补偿环节。试求位置误差和速度误差。并讨论位置误差、速度误差与的关系。[解]：闭环传递函数为：误差为：无顺馈时，

位置误差：有顺馈时，Sunday,February11,202444复合系统稳态误差例子续

速度误差：分析：

当时，没有顺馈补偿，速度误差等于。当时，还有速度误差，但比补偿前要小。当时，速度误差为零，实现了完全补偿。当时，速度误差为负，过度补偿。表示输出量大于要求值。Sunday,February11,202445七、动态误差系数

前面讨论的误差系数都称为静态误差系数，它们分别针对输入为阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数而言的。其特点是对于一个给定系统只有一个系数为有限值，其它系数不是零就是无穷大。因而，通过静态误差系数求得的稳态误差或是零，或是有限非零值，或是无穷大，而不反映误差与时间的关系。

下面介绍的动态误差系数法，可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差与时间的关系，因此动态误差系数又称广义误差系数。现只考虑给定作用与偏差之间的误差传递函数考虑到t→∞时的情况，也就是s→0的情况。将误差传递函数在s=0的邻域内展开成泰勒级数Sunday,February11,202446其中：于是……这个