北师大版数学八年级下册第三章单元测试题及答案解析

北师大版数学八年级下册第三章测试题

姓名：得分:

一、选择题

1.如图，若4DEF是由AABC经过平移后得到的，则平移的距离是()

A.线段BC的长度B.线段BE的长度C.线段EC的长度D.线段EF的长度

2.如图，在aABC中，NCAB=75。，在同一平面内，将^ABC绕点A旋转到△ABC

A.30°B.35°C.40°D.50°

3.在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是。(0,0),P(4,3),

将线段0P绕点。逆时针旋转90。到01位置，则点，的坐标为()

A.(3,4)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(4,-3)

4.如图，。是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直

角的扇形纸板的圆心放在0点处，并将纸板的圆心绕0旋转，则正方形ABCD

被纸板覆盖部分的面积为()

A.皂2B.—a2C.—a2D.—a

3424

5.关于这一图案，下列说法正确的是()

A.图案乙是由甲绕BC的中点旋转180。得到的

B.图案乙是由甲绕点C旋转108。得到的

C.图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的

D.图案乙是由甲沿直线BC翻转180。得到的

6.如图，ZiABO中，AB±OB,0B=«,AB=1,把△ABO绕点。旋转150。后得

到△AiBiO,则点Ai的坐标为()

A.(-1,-73)B.(-1,-73)或(-2,0)

C.(-1)或(0,-2)D.(-1)

7.下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是()

A.、一/B.C.、------/D.------k

8.在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(-1,-1),B

(1,2),平移线段AB,得到线段AE,已知A的坐标为(3,-1),则点B，的

坐标为()

A.(4,2)B.(5,2)C.(6,2)D.(5,3)

9.如图，将Rt^ABC绕直角顶点C顺时针旋转90。，得到△ABC,连接AA,若

Zl=25°,则NBAA'的度数是()

10.如图，在RtAABC中，NACB=90。,将4ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,

M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM.若BC=2,ZBAC=30°,则线段PM

11.如图，将^ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点力处，此时，点

A的对应点A”恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的()

A.NBCB'=NACA'B.ZACB=2ZB

C.NB'CA=NB'ACD.B'C平分NBB'A'

12.如图示，若4ABC内一点P满足NPAC=NPBA=NPCB,则点P为aABC的布

洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocardpoint)是法国数学家和数学教育家克洛

尔(A.L.Crelle1780-1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的

人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard

1845-1922)重新发现，并用他的名字命名.问题：已知在等腰直角三角形DEF

中，ZEDF=90°,若点Q为4DEF的布洛卡点，DQ=1,则EQ+FQ=()

A.5B.4C.3+V2D.2+V2

二、填空题

13.线段AB沿和它垂直的方向平移到AE,则线段AB和线段AB的位置关系

是•

14.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,BOAD,NB与NC互余，将AB,CD

分别平移到EF和EG的位置，则4EFG为三角形.

15.如图，把RtaABC绕点A逆时针旋转40。，得到Rt^ABC,点C恰好落在边

AB上，连接BB',则NBB，C'=度.

16.在平面直角坐标系中，把点A(2,3)向左平移一个单位得到点/V,则点A

的坐标为.

17.已知：如图，在aAOB中，ZAOB=90°,A0=3cm,BO=4cm.将^AOB绕顶

点0,按顺时针方向旋转到^AiOBi处，此时线段OBi与AB的交点D恰好为AB

的中点，则线段BiD=cm.

三、解答题

18.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，^ABC的

三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(-5,2),C(-2,1).

(1)画出4ABC关于y轴对称图形△AiBiCi；

⑵画出将4ABC绕原点。逆时针方向旋转90。得到的4A2B2c2；

⑶求⑵中线段OA扫过的图形面积.

-先乩*2-能二一2.3.4

I1II(■I(I

19.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是

格点.

⑴将^ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；

(2)将4ABC绕点O按逆时针方向旋转180。得到4A2B2c2，请画出AAzB2c2.

20.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。，

ZB=ZE=30°.

⑴操作发现

如图2,固定△ABC,使△□£(：绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空:

②线段DE与AC的位置关系是；

②设4BDC的面积为Si，AAEC的面积为S2,则Si与S2的数量关系是.

图1国2

(2)猜想论证

当4DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想⑴中Si与S2的数量关系

仍然成立，并尝试分别作出了ABDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小

明的猜想.

⑶拓展探究

已知NABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE〃AB交BC于点E(如

图4).若在射线BA上存在点F,使SADCF=SMDE，请直接写出相应的BF的长.

21.某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直

线上，测得A处与E处的距离为80米，C处与D处的距离为34米，ZC=90°,

ZBAE=30°.(血右1.4,亚=1.7)

⑴求旋转木马E处到出口B处的距离；

(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数).

22.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(1,1),

C(5,1).

⑴把aABC平移后，其中点A移到点Ai(4,5),画出平移后得到的△AiBiCi；

⑵把△AiBiCi绕点Ai按逆时针方向旋转90°,画出旋转后的AA2B2c2.

23.如图，已知ACLBC,垂足为C,AC=4,BC=3«,将线段AC绕点A按逆时

针方向旋转60。，得到线段AD,连接DC,DB.

⑴线段DC=；

⑵求线段DB的长度.

答案与解析

1.如图，若4DEF是由AABC经过平移后得到的，则平移的距离是（)

AD

B

A.线段BC的长度B.线段BE的长度C.线段EC的长度D.线段EF的长度

【考点】Q2：平移的性质.

【专题】选择题

【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解.

【解答】解：观察图形可知：4DEF是由aABC沿BC向右移动BE的长度后得到

的，

，平移距离就是线段BE的长度.

故选B.

【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过

平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

2.如图，在AABC中,ZCAB=75°,在同一平面内，将Z^ABC绕点A旋转到△ABC

的位置，使得CC'〃AB,则NBAB'=()

【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质.

【专题】选择题

【分析】首先证明NACO/ACC；然后运用三角形的内角和定理求出NCAU=30。

即可解决问题.

【解答】解:由题意得：

AC=AC',

，/ACC'=NAC'C；

•.•CC'〃AB,且NBAC=75°,

NACC'=NAC'C=NBAC=75°,

NCAC'=180°-2X75°=30°；

由题意知：NBAB'=NCAC'=30°,

【点评】该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的

性质及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求.

3.在平面直角坐标系中，线段0P的两个端点坐标分别是。(0,0),P(4,3),

将线段OP绕点。逆时针旋转90。到OP，位置，则点，的坐标为()

A.(3,4)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(4,-3)

【考点】R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】选择题

【分析】如图，把线段OP绕点。逆时针旋转90。到OP，位置看作是把RtAOPA

绕点0逆时针旋转90。到RtOPW,再根据旋转的性质得到0\、P7V的长，然后

根据第二象限点的坐标特征确定P'点的坐标.

【解答】解：如图，0A=3,PA=4,

•线段OP绕点。逆时针旋转90。到0P，位置，

；.0A旋转到x轴负半轴0A，的位置，ZP,A,0=ZPAO=90°,P7V=PA=4,

点的坐标为(-3,4).

故选C.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：在直角坐标系中线段的旋转问题转

化为直角三角形的旋转，然后利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据点的坐

标特征确定点的坐标.

4.如图，。是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直

角的扇形纸板的圆心放在。点处，并将纸板的圆心绕。旋转，则正方形ABCD

被纸板覆盖部分的面积为（）

A.-1-a2B.—a2C.—a2D.—a

3424

【考点】R2：旋转的性质.

【专题】选择题

【分析】扇形的半径交AD于E,交CD于F,连结0D,如图，利用正方形的性

质得0口=0（：,/8口=90。，/0。人=/（^：口=45。,再利用等角的余角相等得到NEOD=

ZFOC,于是可证明△ODE^^OCF,得至USMDE=SMCF，所以S阴影部分=5砧℃=正方

4

_12

形ABCD———ao♦

4

【解答】解：扇形的半径交AD于E,交CD于F,连结0D,如图，

•.•四边形ABCD为正方形，

，OD=OC,ZCOD=90°,ZODA=ZOCD=45°,

VZEOF=90°,即NEOD+NDOF=90°,

ZDOF+ZCOF=90°,

/.ZEOD=ZFOC,

itAODE和AOCF中,

rZ0DE=Z0CF

,OD=OC，

ZE0D=ZC0F

.'.△ODE^AOCF,

••SAODE=SAOCF»

AS阴影部分=$岫.=以正方形ABCD=-i-32-

44

故选B.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性

质.

5.关于这一图案，下列说法正确的是（）

A.图案乙是由甲绕BC的中点旋转180。得到的

B.图案乙是由甲绕点C旋转108。得到的

C.图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的

D.图案乙是由甲沿直线BC翻转180。得到的

【考点】Q5：利用平移设计图案.

【专题】选择题

【分析】直接利用旋转的性质得出旋转中心进而得出答案.

【解答】解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180。得到的.

故选:A.

【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出旋转中心是解题关键.

6.如图，4AB。中，AB1OB,OB=V3，AB=1,把△ABO绕点。旋转150。后得

到△AiBiO,则点Ai的坐标为()

o\BX

A.(-1,-^/3)B.(-1,或(-2,0)C.(-1)或(0,-

2)D.(-V3，-1)

【考点】R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】选择题

【分析】需要分类讨论：在把△ABO绕点。顺时针旋转150。和逆时针旋转150°

后得到△AiBiO时点Ai的坐标.

【解答】解：•.,△ABO中，AB1OB,0B=«,AB=1,

，tanNAOB=^=返，

OB3

，ZAOB=30°.

如图1,当^AB。绕点0顺时针旋转150。后得到△AiBi。,贝|NAiOC=150。-ZAOB

-ZBOC=150°-30°-90°=30°,

则易求Ai(-1,-V3)；

如图2,当△ABO绕点0逆时针旋转150。后得到△AiBiO,则/AiOC=150。-ZAOB

-ZBOC=150°-30°-90°=30°,

则易求Ai(-2,0)；

综上所述，点Ai的坐标为（-1,-M）或（-2,0）；

故选B.

【点评】本题考查了坐标与图形变化--旋转.解题时，注意分类讨论，以防错

解.

7.下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形.

【专题】选择题

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻

找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转

180度后两部分重合.

8.在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(-1,-1),B

(1,2),平移线段AB,得到线段AB,已知A的坐标为(3,-1),则点B，的

坐标为()

A.(4,2)B.(5,2)C.(6,2)D.(5,3)

【考点】Q3：坐标与图形变化-平移.

【专题】选择题

【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位，然后

可得力点的坐标.

【解答】解：》(-1,-1)平移后得到点A的坐标为(3,-1),

...向右平移4个单位，

AB(1,2)的对应点坐标为(1+4,2),

即(5,2).

故选:B.

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移

加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.

9.如图，将RtAABC绕直角顶点C顺时针旋转90。，得到△ABC,连接AA，，若

Zl=25°,则NBA/V的度数是()

A.55°B.60°C.65°D.70°

【考点】R2：旋转的性质.

【专题】选择题

【分析】根据旋转的性质可得AC=At,然后判断出^ACA，是等腰直角三角形，根

据等腰直角三角形的性质可得NCAA，=45。，再根据三角形的内角和定理可得结果.

【解答】解：•••RtZ\ABC绕直角顶点C顺时针旋转90。得到△ABC,

.•.AC=A'C,

...△ACA，是等腰直角三角形，

，ZCA'A=45。，ZCA,B,=20°=ZBAC

NBAA'=180°-70°-45°=65°,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关

键.

10.如图，在RtAABC中，NACB=90。,将4ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,

M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM.若BC=2,ZBAC=30°,则线段PM

的最大值是（）

A

【考点】R2：旋转的性质.

【专题】选择题

【分析】如图连接PC.思想求出PC=2,根据PMWPC+CM,可得PMW3,由此

即可解决问题.

【解答】解：如图连接PC.

在RtaABC中，VZA=30°,BC=2,

/.AB=4,

根据旋转不变性可知，AB=AB=4,

.,.A'P=PB',

.•.PC=1A'B’=2,

2

VCM=BM=1,

又「PIVIWPC+CM,即PMW3,

，PM的最大值为3（此时P、C、M共线）.

故选B.

【点评】本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形30度角的性质、直角

三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型.

11.如图，将aABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点夕处，此时，点

A的对应点A，恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）

A.NBCB'=NACA'B.ZACB=2ZB

C.NB'CA=NB'ACD.B'C平分NBB'A'

【考点】R2：旋转的性质.

【专题】选择题

【分析】根据旋转的性质得到NBCB，=NACA:故A正确，根据等腰三角形的性

质得到NB=NBBC,根据三角形的外角的性质得到NACB，=2NB,等量代换得到

NACB=2NB,故B正确;等量代换得到NABC=NBB，C,于是得到Bt平分NBB7V,

故D正确.

【解答】解：根据旋转的性质得，NBCB'和NACA，都是旋转角，则NBCB，=NACA,

故A正确，

VCB=CB',

/.ZB=ZBB'C,

又•.'NA'CB'=NB+NBB'C,

.'.NA'CB'=2NB,

又；ZACB=ZA'CB',

AZACB=2ZB,故B正确；

•：NAEC=NB,

，NABC=NBB，C,

.•.B'C平分NBB'A',故D正确;

故选C.

【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的

识别图形是解题的关键.

12.如图示，若aABC内一点P满足NPAC=NPBA=NPCB,则点P为4ABC的布

洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocardpoint)是法国数学家和数学教育家克洛

尔(A.L.Crelle1780-1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的

人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard

1845-1922)重新发现，并用他的名字命名.问题：已知在等腰直角三角形DEF

中，ZEDF=90°,若点Q为△口讦的布洛卡点，DQ=1,则EQ+FQ=()

【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形.

【专题】选择题

【分析】由△DQFs^FQE,推出典=四=迈■=_；,由此求出EQ、FQ即可解决

FQQEEF^2

问题.

【解答】解：如图，在等腰直角三角形4DEF中，NEDF=90。，DE=DF,Z1=Z2=

N3,

I)

VZ1+ZQEF=Z3+ZDFQ=45°,

，NQEF=NDFQ,VZ2=Z3,

.,.△DQF^AFQE,

»DQ=FQ=DF=1

F^QEEFTT

VDQ=1,

，FQ=b，EQ=2,

.•.EQ+FQ=2+b，

故选D

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解

题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

13.线段AB沿和它垂直的方向平移到AB,则线段AB和线段AE的位置关系

是.

【考点】Q2：平移的性质.

【专题】填空题

【分析】根据平移的性质可知，线段AB沿和它垂直的方向平移到AB,则线段

AB和线段AB平行且相等.

【解答】解：•.•线段AB沿和它垂直的方向平移到AB,

...线段AB和线段AB的位置关系是平行且相等.

故答案为：平行且相等.

【点评】本题考查的是平移的性质，①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会

得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；

②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应

点.连接各组对应点的线段平行且相等.

14.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,BOAD,NB与NC互余，将AB,CD

分别平移到EF和EG的位置，则4EFG为三角形.

【考点】Q2：平移的性质.

【专题】填空题

【分析】利用平移的性质可以知NB+NC=NEFG+NEGF,然后根据三角形内角和

定理在4EFG中求得NFEG=90°.

【解答】解：:•AB,CD分别平移到EF和EG的位置后，ZB的对应角是NEFG,

ZC的对应角是NEGF,

又Y/B与NC互余，

.•.NEFG与NEGF互余，

...在4EFG中，NFEG=90。（三角形内角和定理），

.,.△EFG为RtAEFG,

故答案是：直角.

【点评】本题考查了平移的性质，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，

对应点所连接的线段平行且相等.

15.如图，把Rt^ABC绕点A逆时针旋转40。，得到Rt^ABC,点U恰好落在边

AB上，连接BB',则NBB'C'=度.

【考点】R2：旋转的性质.

【专题】填空题

【分析】根据旋转的性质可得AB=AB-NBAB，=40。，然后根据等腰三角形两底角

相等求出/ABB，，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

【解答】解：；RtAABC绕点A逆时针旋转40。得到RtAABV,

，AB=AB',NBAB'=40°,

在aABB'中，ZABBZ=1(180°-NBAB')=1(180°-40°)=70°,

22

,/NAC'B'=NC=90°,

，BVlAB,

...NBB'C'=90°-NABB'=90°-70°=20°.

故答案为：20.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，

比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三

角形是解题的关键.

16.在平面直角坐标系中，把点A(2,3)向左平移一个单位得到点A,则点A

的坐标为.

【考点】Q3：坐标与图形变化-平移.

【专题】填空题

【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可.

【解答】解：•.•点A(2,3)向左平移1个单位长度，

...点A的横坐标为2-1=1,纵坐标不变，

.•.A的坐标为(1,3).

故答案为:(1,3).

【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右

移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

17.已知:如图，在Z^AOB中,ZAOB=90°,A0=3cm,B0=4cm.将ZXAOB绕顶

点0,按顺时针方向旋转到△AiOBi处，此时线段OBi与AB的交点D恰好为AB

的中点，则线段BiD=cm.

【考点】R2：旋转的性质；KP：直角三角形斜边上的中线.

【专题】填空题

【分析】先在直角^AOB中利用勾股定理求出AB=^0A2+QB2=5cm,再利用直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=1\B=2.5cm.然后根据旋转的性质

2

得至OBi=OB=4cm,那么BiD=OBi-OD=1.5cm.

【解答】解：•.•在4AOB中，NAOB=90°,A0=3cm,BO=4cm,

AB=VoA2+OB2=5cm，

•••点D为AB的中点，

0D=—AB=2.5cm.

2

VWAAOB绕顶点0,按顺时针方向旋转到△A10B1处，

/.0Bi=0B=4cm,

/•BiD=OBi-0D=1.5cm.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理.

18.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，^ABC的

三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(-5,2),C(-2,1).

⑴画出^ABC关于y轴对称图形△AiBiCi；

⑵画出将4ABC绕原点0逆时针方向旋转90。得到的2c2；

⑶求⑵中线段OA扫过的图形面积.

【考点】R8：作图-旋转变换；MO：扇形面积的计算；P7：作图-轴对称变换.

【专题】解答题

【分析】(1)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；

(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形4A2B2c2即可；

⑶利用扇形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：⑴如图，△AiBiCi即为所求；

(2)如图，AA2B2c2即为所求；

⑶.OA='32+§2=5,

2

...线段OA扫过的图形面积=9°兀*5=空二

3604

姝

X

【点评】本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题

的关键.

19.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是

格点.

⑴将4ABC向左平移6个单位长度得到得到△AiBiCi；

（2）将4ABC绕点0按逆时针方向旋转180。得到4A2B2c2，请画出AAzB2c2.

【考点】R8：作图-旋转变换；Q4：作图-平移变换.

【专题】解答题

【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出

△AiBiCi；

（2）将点A、B、（：分别绕点。按逆时针方向旋转180。，得出对应点，即可得出4

A2B2C2.

【解答】解：（1）如图所示:△AiBiCi，即为所求;

⑵如图所示:MB2c2,即为所求.

【点评】此题主要考查了图形的平移和旋转，根据已知得出对应点位置是解题关

键.

20.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。，

ZB=ZE=30°.

⑴操作发现

如图2,固定△ABC,使ADEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空:

③线段DE与AC的位置关系是;

②设4BDC的面积为Si，AAEC的面积为S2,则Si与S2的数量关系是.

国1图2

(2)猜想论证

当ADEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想⑴中Si与S2的数量关系

仍然成立，并尝试分别作出了^BDC和AAEC中BC、CE边上的高，请你证明小

明的猜想.

⑶拓展探究

已知NABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE〃AB交BC于点E(如

图4).若在射线BA上存在点F,使SMCF=SABDE，请直接写出相应的BF的长.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】解答题

【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出aACD是等边三角形，根据

等边三角形的性质可得NACD=60。，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30。角所对的直角边等

于斜边的一半求出AC=L\B,然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点

2

C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等

解答；

（2）根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出NACN=/DCM,然后利用“角角

边"证明4ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后

利用等底等高的三角形的面积相等证明；

⑶过点D作DFi〃BE,求出四边形BEDFi是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DFi，

然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点Fi为所求的点，过点D作DF2_LBD,

求出/FIDF2=60。，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DFi=DFz，再求出/

CDFI=ZCDF2,利用“边角边"证明ACDFI和aCDF2全等，根据全等三角形的面积

相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰4BDE中求出BE的长，即可得解.

【解答】解：⑴①•••△0£（：绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

；.AC=CD,

VZBAC=90°-ZB=90°-30°=60°,

/.△ACD是等边三角形，

，ZACD=60°,

XVZCDE=ZBAC=60°,

/.ZACD=ZCDE,

ADEAC；

②•.•/BuBO。，ZC=90°,

.*.CD=AC=1AB,

2

，BD=AD=AC,

根据等边三角形的性质，4ACD的边AC、AD上的高相等，

AABDC的面积和aAEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

故答案为：DE〃AC；S1=S2;

(2)如图，•.•△口£(：是由aABC绕点C旋转得到，

ABC=CE,AC=CD,

,/ZACN+ZBCN=90°,ZDCM+ZBCN=180°-90°=90°,

，NACN=NDCM,

•..在4ACN和△DCM中，

'/ACN=/DCM

<ZCMD=ZN=90°，

,AC=CD

.♦.△ACN义△DCM(AAS),

，AN=DM,

/.△BDC的面积和4AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),

即S1=S2;

(3)如图，过点D作DFi〃BE,易求四边形BEDFi是菱形，

所以BE=DFi,且BE、DFi上的高相等,

此时SADCFI=SABDE;

过点D作DF2J_BD,

VZABC=60°,FiD〃BE,

.,.ZF2FID=ZABC=60",

VBFI=DFI，ZFiBD=lZABC=30",ZF2DB=90°,

2

/.ZFIDF2=ZABC=60",

...△DF1F2是等边三角形，

.*.DF1=DF2,

VBD=CD,NABC=60。，点D是角平分线上一点，

.,.ZDBC=ZDCB=1X6O°=3O°,

2

，ZCDFi=1800-ZBCD=180°-30°=150°,

ZCDF2=360°-150°-60°=150°,

.,.ZCDFI=ZCDF2,

•..在aCDFi和aCDF2中，

'DF[=DF2

-NCDF]=NCDF2，

LCD=CD

.,.△CDFI^ACDF2(SAS),

.,.点F2也是所求的点，

•.•NABC=60。，点D是角平分线上一点，DE〃AB,

.,.ZDBC=ZBDE=ZABD=1X6O°=3O°,

2

XVBD=4,

，BE="4+cos30°=2+返=liZl,

223_

BF2=BFI+FF2=4近叵

3333

故BF的长为士叵或跟1

(3)题图

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判

定与性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等

底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，⑶要

注意符合条件的点F有两个.

21.某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直

线上，测得A处