陕西延安市2023年高三第六次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足z=（2+i）（l-i）（i是虚数单位），则|z|=（）

A.叵B.V10C.@D.V5

22

2.正AABC的边长为2,将它沿8C边上的高翻折，使点8与点。间的距离为百，此时四面体A-3CD的外

接球表面积为（）

10万13万

A.----B.47rC.---D.7%

33

22

3.已知4、尸2分别是双曲线。：:一会=1（。>0/>0）的左、右焦点，过尸2作双曲线C的一条渐近线的垂线，分

别交两条渐近线于点A、B,过点3作x轴的垂线，垂足恰为"，则双曲线。的离心率为（）

A.2B.6C.2>/3D.逐

4.2021年部分省市将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、

政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

11

A.—B.—

84

11

C.—D.—

62

5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业

岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

3兀.I11

6.已知单位向量Q,〃的夹角为,若向量小=2Q，n=4a-Ab＞且相，几，则（）

A.2B.2C.4D.6

7.天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天

干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序

相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份

的天干或地支相同的概率为（）

29485

A.—B.—C.—D.—

19959519

8.已知函数/（幻=，则/”正（)

10.已知AM,&V分别为圆«：(x+l?+y2=i与Q：(x-2)2+y2=4的直径，则A8WN的取值范围为()

A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]

11.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数

都可以表示为两个素数的和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同

的数，其和等于16的概率为()

1212

A.—B.—C.—D・—

21211515

12.设“2.71828…为自然对数的底数，函数/(x)=e*—若/⑷=1,贝iJ/(—a)=()

A.-1B.1C.3D.-3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛。“｝满足q+24+3%+…+=2",则.

14.一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为.

2x-y+2>0

15.实数X，〉'满足｛》一>+1<0,则z=2x+y的最大值为.

x+^-2<0

16.在的二项展开式中，x的系数为.(用数值作答)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=oxe*(aeR,。。0),g(x)=x+lnx+l.

(I)讨论f(x)的单调性；

(U)若对任意的x〉0,F(x)2g(x)恒成立，求实数。的取值范围.

18.(12分)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采

用并联安装，再与一级过滤器串联安装.

.__________.々级过滤

二级过滤器,一＞/

11

----7级过滤器

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级漉芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要

更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用

过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为

此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤

器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.

表1：一级滤芯更换频数分布表

一级滤芯更换的个数89

频数6040

以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率

代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；

（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；

（3）记相，〃分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若加+〃=19,且加€{8,9},

以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定〃?，"的值.

19.（12分）某企业现有A.B两套设备生产某种产品，现从4,8两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作

为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在［20,40）内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从4

设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从8设备抽取的样本频数分布表.

图1：A设备生产的样本频率分布直方图

表1：8设备生产的样本频数分布表

质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

(1)请估计48设备生产的产品质量指标的平均值;

(2)企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在［25,30)内的定为一等品，每件利润240

元；质量指标值落在［20,25)或［30,35)内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120

元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件

相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A,5两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调

整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？

20.(12分)已知函数/(x)-l)Tnx(meR).

(1)若根=1,求证：/(x)>0.

(2)讨论函数/(%)的极值;

(3)是否存在实数〃2,使得不等式/.(x)〉，-一［在—)上恒成立？若存在，求出加的最小值；若不存在，请

xe

说明理由.

21.(12分)已知椭圆C：£+,=l(0<b<a)的离心率为乎,且经过点(1，亭)

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(0,2)的直线/与椭圆C交于不同两点A、B,以。4、08为邻边的平行四边形。AM8的顶点"在椭圆C

上，求直线/的方程.

22.(10分)已知函数g(x)="—(a—1)/—其中e为自然对数的底数.

(1)若函数/(x)=g'(x)在区间［0,1］上是单调函数，试求"的取值范围；

(2)若函数g(x)在区间［0,1］上恰有3个零点，且g⑴=0,求〃的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

利用复数乘法运算化简z,由此求得|z|.

【详解】

依题意z=2+i-2i-i2=3-i,所以|z|=^32+(-1)2=厢.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.

2.D

【解析】

如图所示，设AO的中点为。2，MCD的外接圆的圆心为。-四面体A-BCD的外接球的球心为。，连接

OO\,OO&OD,利用正弦定理可得。a=1,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形。O?。。为平行四边形,

最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.

【详解】

如图所示，设AO的中点为。2，AfiCZ)外接圆的圆心为。।,四面体A-3CQ的外接球的球心为。，连接

OOt,OO2,OD,则OQ_L平面BCD,OO21AD.

2—31

因为CD=BD=1,BC=M,故cosNBDC=-'=——,

2x1x12

因为NBOCe(0,»),故NBQC=、-.

拒

由正弦定理可得2°&=一1彳=2,故0a=i,又因为AO=G，故。0五.

sin—2

因为AZ>_LOB,A£>_LCD,Q5cCO=。，故AD_L平面BC。，所以。Q〃A。，

因为45，平面BCD,。。<=平面8。。，故A。，。。一故。。2〃。。，

所以四边形。为平行四边形，所以001=。。2=#，

所以。。=<跖=也，故外接球的半径为也，外接球的表面积为4〃x2=7%.

V4224

故选：D.

【点睛】

本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变

量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一

定的难度.

3.B

【解析】

1,2

设点3位于第二象限，可求得点5的坐标，再由直线与直线y=—九垂直，转化为两直线斜率之积为-1可得出勺

aa-

的值，进而可求得双曲线C的离心率.

【详解】

h卜(、(be\

设点3位于第二象限，由于3耳，》轴，则点3的横坐标为4=-，，纵坐标为力=-上4=空，即点8-G—,

aa\aJ

hb2

由题意可知，直线BQ与直线y=-x垂直,a2,

a~b

22

因此，双曲线的离心率为e=£a+b

a2

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出。、b,。的等量关系，考查计算能力，属于中等题.

4.B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有C；C：=12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有C；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率P=F=—,

124

故选B.

5.D

【解析】

根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假.

【详解】

在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,所以是正确的；

在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：

56%x39.6%=22.176%>20%,互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%,所以是正确的；

在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：

13.7%x39.6%=9.52%>3%,互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；

在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判断互联网

行业中从事技术岗位的人数9()后比80后多.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

6.C

【解析】

根据m_L〃列方程，由此求得4的值，进而求得向.

【详解】

由于m所以/篦•〃=(),即

2a•（4。-几人）=8。-2Aa•〃=8—22•cos=8+>/22=0,

解得力一*=-4近.

所以〃=4。+4>&?

所以

4同『=Ji6a>+32后•1+32/;=+32&cos手=如8-32=4.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.

7.B

【解析】

利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数，结合组合数的计算即可出求得概率.

【详解】

20个年份中天干相同的有10组(每组2个)，地支相同的年份有8组(每组2个)，从这20个年份中任取2个年份,

10+89

则这2个年份的天干或地支相同的概率P=

"cT95,

故选:B.

【点睛】

本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查学生分析问题的能力，难度较易.

8.C

【解析】

结合分段函数的解析式冼求出/(-2)，进而可求出/[/(-2)].

【详解】

由题意可得了(-2)=32=9,则/[/(一2)]=f(9)=log2(9-l)=3.

故选:C.

【点睛】

本题考查了求函数的值，考查了分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

9.A

【解析】

本题采用排除法：

由/[一与)=一，[T)排除选项D；

根据特殊值/J>°排除选项C；

由x〉0,且x无限接近于0时，〃力<0排除选项独

【详解】

2x_o~x

对于选项D由题意可得，令函数〃x)=y：/

：AICOS大

对于选项B：当尤>0,且A-无限接近于0时,W-COSX接近于一1<0,2、一2r>0,此时“X)<0.故选项B排除；

故选项:A

【点睛】

本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;

属于中档题.

10.A

【解析】

由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得

ABMN=^OtO2+(AO,+O,B)]■[o,O2-(AO,+O,B)j=9-1AO,+O*『，结合+02M的范围即可求解

【详解】

如图，

AB."N=(AQ+OR+。2孙(MQ+OR+02N)=[。《+(核+。/)]{。。2~{AO\+。2用

=|。02|2—卜。|+0292=9—,。1+02q2其中,。+028同2—1,2+1]=[1,3],所以

/4B-/W7VG[9-32,9-12]=[O,8].

故选：A

【点睛】

本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题

11.B

【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事

件的概率公式可求.

【详解】

解：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个，从中随机选取两个不同的数共有C；=21,

其和等于16的结果(3,13),(5,11)共2种等可能的结果，

2

故概率P=7T.

21

故选：B.

【点睛】

古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础

题.

12.D

【解析】

利用/(a)与〃一。)的关系，求得/(一。)的直

【详解】

依题意/(a)=e"-e-"-1=l,e"=2,

所以/(—a)=e~a—ea—\=—(e"—e"j—1=—2—1=—3

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2,〃=1

13.4=(2"T

----，川22

.n

【解析】

项和转化可得叫.=2"-2"~'=2"-'(〃N2),讨论〃=1是否满足，分段表示即得解

【详解】

当〃=1时，由已知，可得4=2i=2,

***q+2a)+3%+.・•+=2",①

n-1

故a1+2a2+3a3+...+(«-1)=2(H>2),②

由①-②得叫=2"-21=2-1

显然当〃=1时不满足上式，

2,〃=1

----，九22

、n

2,〃=1

n]

故答案为：an=\2~

----，〃22

、n

【点睛】

本题考查了利用s“求明,考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.

一27兀

14.--

4

【解析】

一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均

等于长方体的体对角线的长，长方体的体对角线的长为户再乒=3,所以容器体积的最小值为兀x(|)2x3=?.

_5

15.一・

2

【解析】

画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.

【详解】

解：作出可行域，如图所示，

则当直线z=2x+y过点C时直线的截距最大，z取最大值.

x+y-2=0213

由《；同理B(0,2),A(-l,0),

x-y+1=0222

2

z

c=ZB=2,ZA=-2

.・"'=2取最大值.

本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以

对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数

求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.

16.-40

【解析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项(+1=625-，(—1)'30-3"再令得L3即可得出x项的系数

【详解】

(2/—口的二项展开式的通项公式为小=6(2/广'(一］)=£25-(―

r=0,1,2,3,4,5,

令10—3厂=1,厂=3,

所以(2/—皆的二项展开式中x项的系数为C^22-(-l)3=-40.

故答案为：-40.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)见解析(II)a>\

【解析】

(I)求导得到尸(x)=a(x+l)e’，讨论a>0和。<0两种情况，得到答案.

x+lnx+1〜、x+lnx+14•,、-(x+l)(x+lnx)人,、,„,

(H)变换得到。之'设,n网x)=一求尸(x)=一而一'令0(x)=x+lnx’故奴zx)

xex

在(0,+8)单调递增，存在不€(：,“使得0(/)=0,F(x)nux=F(x0),计算得到答案.

【详解】

(I)/'(x)=a(x+l)e*("0),

当a>0时，/(x)在(一℃,一1)单调递减，在(-L+o。)单调递增;

当。<0时，Ax)在(YO,-D单调递增，在(-1,+°。)单调递减.

x+lnx+1

(II)/(x)>^(x)(x〉0),即ar/2x+lnx+l(x>0),a>(x>0).

xex

x+lnx+1

令/(%)=(x>0),

xex

1+-xex-(x+l)e，(x+Inx+1)

则F'(x)=X=-a+i)a+m幻.

2x2ev

jx+]

令8(x)=x+lnx,<^'(x)=1+-=-——，故0(x)在(0,+oo)单调递增，

XX

注意至(]0(1)=：一1<0,。⑴=1>0,

于是存在eI""'1)使得。(毛)=%+In=。，

可知尸(X)在(0,天)单调递增，在(%,+8)单调递减.

••.F(初一(%)="。+叱。+1=1.

元00

综上知，a>\.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.

52

18.(1)0.024；(2)分布列见解析，EX=—;(3)m=8,〃=11

【解析】

(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过

滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条

形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值为8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及数学期望；

(3)由加+〃=19,且加«8,9},可知若加=8,则“=11,或若加=9,贝!]“=10,再分别计算两种情况下的所

需总费用的期望值比较大小即可.

【详解】

(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过滤

器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数

恰好为16”为事件A，

因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,所以

尸(A)=0.6x0.2x0.2=0.024.

(2)由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,由题意X的可能取

值为8,9,10,11,12,

从而尸(x=8)=0.2X0.2=0.04,P(X=9)=2X0.2*0.4=0.16,

P(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0.4=0.32,P(X=11)=2x0.4x0.4=0.32,

P(X=12)=0.4x0.4=0.16.

所以X的分布列为

X89101112

P0.040.160.320.320.16

EX=8x0.04+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4(个).

或用分数表示也可以为

X89101112

14884

P

2525252525

142Q45?

£X=8x—+9x—+10x—+llx—+12x—=—（个）.

25252525255

（3）解法一：记y表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）

因为根+〃=19,且me{8,9},

1°若m=S,则〃=11,

EY}=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352(:元);

2°若〃2=9,则右=10,

=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368(元).

因为后年＜七匕，故选择方案：加=8,“=11.

解法二：记〃，&分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）

1°若加=8,则〃=11,

〃看的分布列为

小12801680

P0.60.4

08801080

P0.840.16

该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为

坳+碣=1280x0.6+1680x0.4+880x0.84+1080x0.16=2352(%)；

2°若利.=9,贝!]〃=10,

多的分布列为

80010001200

P0.520.320.16

Er)2+£^2=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368(元).

因为<Erj2+E&

所以选择方案：加=8,"=11.

【点睛】

此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.

19.(1)xA=30.2,xB=29；(2)8设备

【解析】

(1)平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；

(2)要注意指标值落在[20,40)内的产品才视为合格品，列出4、〃设备利润分布列，算出期望即可作出决策.

【详解】

(D4设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数41640121810

=0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+0.12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.

B设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

XB

频数2184814162

豆=17.5x0.02+22.5x0.18+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.

(2)A设备生产一件产品的利润记为X,B设备生产一件产品的利润记为Y,

X240180120

20149

P

434343

Y240180120

j_j_

P

236

E(X).(240x20+180x14+120x9)=195.35

£(/)=240x1+180xi+120x1=200

236

E(X)<E")

若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B设备的生产规模.

【点睛】

本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.

20.(1)证明见解析；(2)见解析；(3)存在，1.

【解析】

(1)m=\,求出/'(X)单调区间，进而求出，(冷血》。，即可证明结论；

(2)对r(x)20(或/'(x)K0)是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出/(x)>0,/(x)<0

的解，即可求出结论；

(3)令〃(x)=，--g,xe(l,+8),可证//(%)>0,%€(1,”)恒成立，而/(1)=0,由(2)得，mKOJ(x)在(1,48)

为减函数，0<相<1,/(幻在上单调递减，在(L”)都存在./Xx)<0,不满足/(x)>g(x),当m2/时,

设F(x)='/〃(x2—])—]nx—_L+_*,且尸(1)=0,只需求出产(x)在(1,+w)单调递增时m的取值范围即可.

2、7xe

【详解】

(1)?/?=1,/(x)=^(x2-l)-lnx(x>0),

f(x)=--+x=^-,当X€(O,1)时，r(x)<0,

XX

当X€(l,+oo)时，f'(x)>0,：./(x)niin=/(I)=0,故f(x)N0.

(2)由题知，x>(),f\x-)=--+mx=mX~,

XX

2[

①当加<0时，f'(x)="n"<0,

X

所以/(幻在(0,+8)上单调递减，没有极值；

2]]

②当机>()时，/⑴」"=(),得x=『，

x7m

/V)<0；/'(x)>0,

所以/(x)在((),，=、

上单调递减，在,+8上单调递增.

\7nn)7

故/(x)在x=)处取得极小值/

=—lnm+———m,无极大值.

7m222

(3)不妨令〃(x)=±1--1i-=a-"一”一；X

xexxe

设“(x)=e*T-x,xw(L+oo),〃'(x)=e*T-1>0在(l,+o。)恒成立,

u(x)在[1,+oo)单调递增，w(x)>w(l)=0,

,•.e'T-xNO在(1,一)恒成立，

所以，当xe(l,+<x>)时，/?(%)>0,

由(2)知，当M<O,x>l时，f(x)在(1,4w)上单调递减,

/(x)〈/⑴=0恒成立;

所以不等式小)1一贵在(…)上恒成立，只能心0.

，=>1,由(1)知/(X)在

当0＜小＜1时,上单调递减,

7m

所以/＜/(1)=0,不满足题意.

当机21时，设/(乃二卜4/一］)一皿工一工+―^,

因为〃221,%>1,所以2x,e*।>1,0<——<1,—1<.....-<0,

X，一x~一元+1

Fr(x)=-----Fmx+—7------>——+X+--1

xxex~xXT

>0>

所以F(x)在(1,+«))上单调递增,

又F(l)=0,所以xw(l,+8)时，b(x)>0恒成立,

即/(x)-h(x)>0恒成立，

故存在加之/,使得不等式/(幻＞，-一L在(1,+A＞上恒成立,

xe

此时机的最小值是1.

【点睛】

本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻

辑推理、数学计算能力，属于较难题.

21.(1)—+y2=1(2)y=±x+2

42

【解析】

(1)根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程，由此求得进而求得椭圆的方程.

(2)设出直线/的方程，联立直线/的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何

意义得到OM=04+08,由此求得M点的坐标，将A的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线/的斜率，由

此求得直线/的方程.

【详解】

(1)由椭圆的离心率为立，点(I,走)在椭圆上，所以£=@,±+2=1,且储一

22ala1Ab1

2

解得/=4万=1,所以椭圆。的方程为r土+y2=i.

4-

(2)显然直线/的斜率存在，设直线/的斜率为左，则直线/的方程为>=区+2,设