导数的应用与相关定理

汇报人:XX2024-01-26导数的应用与相关定理目录CONTENCT导数的基本概念与性质导数在函数单调性中的应用导数在函数极值中的应用导数在曲线形状描述中的应用相关定理及其证明01导数的基本概念与性质导数的定义导数的几何意义导数的定义及几何意义设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。可导与连续的关系可导必连续如果函数在某点可导，则该函数在该点必定连续。连续不一定可导即使函数在某点连续，也不一定在该点可导。例如，函数$y=|x|$在$x=0$处连续但不可导。加法法则$(u+v)'=u'+v'$减法法则$(u-v)'=u'-v'$乘法法则$(uv)'=u'v+uv'$除法法则$left(frac{u}{v}right)'=frac{u'v-uv'}{v^2}$（其中$vneq0$）导数的四则运算法则02导数在函数单调性中的应用根据函数单调性的定义，通过比较函数值的大小关系来判断函数的单调性。定义法通过求导并判断导数的正负来判断函数的单调性。导数法函数单调性的判定方法求导判断导数的正负确定单调区间首先求出函数的导数。通过导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调增加；如果导数小于0，则函数在该区间内单调减少。根据导数的正负，确定函数在各个区间内的单调性。利用导数研究函数单调性例题1判断函数$f(x)=x^3-3x^2+4$在区间$(-infty,+infty)$内的单调性。解首先求出函数的导数$f'(x)=3x^2-6x$，然后判断导数的正负。当$x<0$或$x>2$时，$f'(x)>0$，因此函数在$(-infty,0)$和$(2,+infty)$内单调增加；当$0<x<2$时，$f'(x)<0$，因此函数在$(0,2)$内单调减少。例题2判断函数$g(x)=sinx+cosx$在区间$[0,pi]$内的单调性。解首先求出函数的导数$g'(x)=cosx-sinx$，然后判断导数的正负。当$0leqx<frac{pi}{4}$时，$g'(x)>0$，因此函数在$[0,frac{pi}{4}]$内单调增加；当$frac{pi}{4}<xleqpi$时，$g'(x)<0$，因此函数在$(frac{pi}{4},pi]$内单调减少。典型例题分析03导数在函数极值中的应用设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义。如果对于去心邻域$dot{U}(x_0)$内的任一$x$，有$f(x)<f(x_0)$（或$f(x)>f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值）。极值点处函数值异于附近函数值；极值点处导数为零或不存在；极值点处函数单调性改变。函数极值的定义及性质函数极值的性质函数极值的定义首先求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$。求导数解方程判断单调性计算极值令$f'(x)=0$，解出所有可能的极值点$x_1,x_2,ldots,x_n$。在每个极值点的左右两侧分别判断函数的单调性，从而确定该点是极大值点还是极小值点。将极值点代入原函数，求出对应的函数值，即为函数的极大值或极小值。利用导数求函数极值的方法例题1求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$的极值。首先求出导数$f'(x)=3x^2-6x$，然后令$f'(x)=0$解得$x=0$或$x=2$。接着判断单调性，发现$f(x)$在$(-infty,0)$上递增，在$(0,2)$上递减，在$(2,+infty)$上递增，因此$x=0$是极大值点，$x=2$是极小值点。最后代入原函数求出极值，得极大值为$f(0)=4$，极小值为$f(2)=0$。求函数$f(x)=(x-1)^2(x-3)$的极值。首先求出导数$f'(x)=3x^2-10x+9$，然后令$f'(x)=0$解得$x=1$或$x=3$。接着判断单调性，发现$f(x)$在$(-infty,1)$上递增，在$(1,3)$上递减，在$(3,+infty)$上递增，因此$x=1$是极大值点，$x=3$是极小值点。最后代入原函数求出极值，得极大值为$f(1)=4$，极小值为$f(3)=0$。解题思路例题2解题思路典型例题分析04导数在曲线形状描述中的应用80%80%100%曲线的凹凸性与拐点通过二阶导数的正负来判断曲线的凹凸性，若在某区间内二阶导数大于0，则曲线在该区间内为凹；若小于0，则为凸。拐点是曲线凹凸性发生改变的点，即二阶导数在该点处改变符号。若函数在某点的左右两侧二阶导数异号，则该点为拐点。凹凸性的定义拐点的定义拐点的判定单调性的判定极值的判定曲线形状的判定利用导数研究曲线形状若函数在某点的左右两侧一阶导数异号，则该点为函数的极值点。进一步地，若在该点处二阶导数大于0，则为极小值点；若小于0，则为极大值点。结合一阶导数和二阶导数的信息，可以判断曲线的形状，如上升、下降、凹、凸等。通过一阶导数的正负来判断函数的单调性，若在某区间内一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；若小于0，则单调递减。求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$的单调区间和极值点。例题1判断函数$g(x)=x^4-4x^3+6x^2$的凹凸性并找出拐点。例题2分析函数$h(x)=sin(x)+cos(x)$在$[0,2pi]$区间内的曲线形状。例题3典型例题分析05相关定理及其证明费马引理：设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$x_0$为$f(x)$的极值点，则$f'(x_0)=0$。证明假设$x_0$为$f(x)$的极大值点，则存在$delta>0$，当$xin(x_0-delta,x_0)$时，$f(x)leqf(x_0)$；当$xin(x_0,x_0+delta)$时，$f(x)leqf(x_0)$。根据导数的定义，有$lim_{{xtox_0^-}}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}geq0$和$lim_{{xtox_0^+}}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}leq0$。由于$f(x)$在$x_0$处可导，故左右导数相等，即$f'(x_0)=0$。0102030405费马引理及其证明0102030405罗尔定理：如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。证明由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，根据闭区间上连续函数的性质，$f(x)$在$[a,b]$上存在最大值和最小值。因为$f(a)=f(b)$，所以最大值和最小值至少有一个在$(a,b)$内取得。设最大值或最小值在点$cin(a,b)$处取得，根据费马引理，有$f'(c)=0$。罗尔定理及其证明010405060302拉格朗日中值定理：如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。证明构造辅助函数$g(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$。易证$g(a)=g(b)$，且$g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。根据罗尔定理，存在一点$cin(a,b)$，使得$g'(c)=0$。计算得$g'(c)=f'(c)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，故$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理及其证明柯西中值定理及其证明柯西中值定理：如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且对于所有$x\in(a,b)$，有$g'(x)eq0$，则存在一点$c\in(a,b)$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。010203证明构造辅助函数$F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(