高考数学试题分类汇编函数

2009年高考数学试题分类汇编一一函数

一、选择题

1.(2009年广东卷文)若函数y=/(x)是函数y=#(a>0,且aHD的反函数，且/(2)=1,

则/(幻=

A.log.B.二C.log,XD.2X~2

r2

【答案】A

【解析】函数y=a'(a>0,且。/1)的反函数是/(%)=1。8“/又〃2)=1,即108(,2=1,

所以,a=2,故f(x)=log2x，选A.

2.(2009年广东卷文)函数/(x)=(x-3)ev的单调递增区间是

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(l,4)D.(2,+OO)

【答案】D

【解析】f'(x)=(x-3Yex+(x—3)(e')'=(x—2)短,令:(x)>0,解得x>2,故选D

3.(2009全国卷I理)已知直线y=x+l与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为(B)

(A)l(B)2(C)-l(D)-2

,1

解:设切点「(无0，%)，则%=Xo+l,%=ln(Xo+a),又\x=------=1

xQ+a

二.%。+a=1二.％=0,无0=—l:.a=2.故答案选B

4.(2009全国卷I理)函数/(x)的定义域为R,若/(x+D与/(x-1)都是奇函数，则(D)

(A)/(X)是偶函数(B)/(尤)是奇函数

(C)/(X)=/(X+2)(D"(X+3)是奇函数

解：/0+1)与/(x-l)都是奇函数，.•./(-x+l)=—/(x+l),/(-x—l)=—/(x—1),

函数/(x)关于点(1,0),及点(一1,0)对称，函数/(x)是周期T=2口一(一1)]=4的周期函

数x—1+4)=1+4),/(—x+3)=—/(x+3),即/(x+3)是奇函数。故选D

5.(2009浙江理)对于正实数a,记为满足下述条件的函数/(x)构成的集合：Vx1,x2e/?

且/>玉，有

一a(%2—%)</(%2)一)(%)<。(工2一西)•下列结论中正确的是()

A.若/(x)eMai，g(x)eMa2，则f(x>g(x)Ga\a2

g(x)eM,且g(x)H。，贝|」乃?€加.

B.若/(x)eM.,a2

g(x)忘

C.若/(x)e拉.，gO)€纥2，则/(X)+g。)C此l+a2

D./(x)eMal,g(x)eMa2,且a>%，则/(x)-g(x)eMal_a2

答案：c

【解析】对于一(赴一%)</(%,)—/(%)<&(々一王)，即有

a—a</(%)一/(”)<a,令

X2-Xj

—(X\)=k,有一a<z<a,不妨设/(幻€儿&,g(x)w"a2，即

有

X2-Xj

-4<kf<av-a2<h<a],因此有一囚-afkf+&<a+pc,因此有

/(x)+g(x)wa\+a2,

6.(2009浙江文)若函数/(X)=/+，4€R),则下列结论正确的是()

X

A.V«e/?,/(x)在(0,+8)上是增函数

B.VaeR,7(x)在(0,+oo)上是减函数

C.maeR,/(x)是偶函数

D.3aeR,/(x)是奇函数

C【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查

结合函数的性质进行了交汇设问.

【解析】对于。=0时有是一个偶函数

x+3

7.(2009北京文)为了得到函数y=lg—j相的图像，只需把函数y=lgx的图像上所有的点

()

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.

A.y=lg(x+3)+l=lglO(x+3)，

B.y=]g(x-3)+l=lglO(x-3),

C.y=lg(x+3)-l=lg^jy,

D.y=lg(x-3)-l=lg;y^.

故应选C.

8.（2009北京理）为了得到函数丁二炮x+片3的图像，只需把函数y=lgx的图像上所有的点

()

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.

A.y=lg(x+3)+l=lgl0(x+3),

B.y=lg(x-3)+l=lgl0(x-3),

C.y=lg(x+3)-l=lg^jy,

D.y=lg(x-3)-l=lg^^.

故应选c.

9.(2009山东卷理)函数y=的图像大致为().

e-e

【解析】：函数有意义，需使e'-e-'工0,其定义域为{x|xw0},排除C,D,又因为

ex+e~xe+\2

y=---==1+，所以当x>0时函数为减函数，故选A.

e'-e'ex-}e'-1

答案:A.

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在

于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

10.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=F°g2(l-x)'x4°,则f(2009)

f(x-l)-f(x-2),x>0

的值为()

A.-lB.0C.lD.2

【解析】：由己知得/(-I)=log22=1,/(0)=0"⑴=/(0)

f(2)=f(l)-f(O)=-1,f(3)=f(2)-/(I)=-1-(-1)=0,

f(4)=/(3)-/(2)=0-(-l)=l,/(5)=/(4)-/(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f(2009)=f(5)=1,故选C.

答案:C.

【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

11.(2009山东卷文)函数》=纪二二的图像大致为().

e-e

【解析】：函数有意义，需使其定义域为{X|XH0},排除C,D,又因为

ex+e~xe2x4-12

y=-—-=一一=1+——，所以当x>0时函数为减函数，故选A.

e—ee—1e—1

答案:A.

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质,本题的难点在

于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

JQQ(4—x)%<0

12.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)〃2'.—，则f(3)

VU-D-/(x-2),x>0

的值为()

A.-lB.-2C.lD.2

【解析】：由己知得/(—1)=log25J(0)=log24=2,/(I)=/(O)-/(-1)=2-log25,

/(2)=/(D-/(O)=-log,5，/⑶=/(2)-/(I)=-log25-(2-log25)=-2,故选B.

答案:B.

【命题立意】：本题考查对数函数的运算以及推理过程.

13.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x),满足/(X-4)=一/(幻,且在区间［0,2］上

是增函数，贝义).

A./(-25)</(11)</(80)B./(80)</(ll)</(-25)

C./(ll)</(80)</(-25)D./(-25)</(80)</(ll)

【解析】:因为/(x)满足/(x—4)=—/(x),所以/(x—8)=/(x),所以函数是以8为周期的周

期函数，则/(—25)=/(—1),/(80)=/(0),/(11)=/(3),又因为/。)在R上是奇函数，

/(0)=0,得/(80)=/(0)=0,/(-25)=/(-I)=-/(I)，而由/(/4片—/(.得

八11)=八3)=—/(—3)=—/(I—4)=/(I)，又因为/(%)在区间［0,2］上是增函数，所以

/(D>/(0)=0,所以一/(I)<0,BP/(-25)</(80)</(11),故选D.

答案:D.

【命题立意】：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，运用化归的数学思想和

数形结合的思想解答问题.

14.(2009全国卷II文)函数(x<0)的反函数是

(A)y=x2(x>0)(B)y=—)C(x>0)

(B)y=x2(x<0)(D)y=—x2(x<0)

答案：B

解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数xWO可知AC错,原函数y»0可知D错，选

B.

15.(2009全国卷H文)函数y=y=10g、2二的图像

'2+x

(A)关于原点对称(B)关于主线>=-》对称

(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称

答案：A

解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(-2,2)关于原点对称，又f(-x)=-f(x),

故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

16.(2009全国卷H文)设a=lge,b=(lge)2,c=lgj^则

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a

答案：B

解析：本题考查对数函数的增减性，由l>lge>0,知a>b,又c=；lge,作商比较知c>b,选B。

17.(2009广东卷理)若函数y=/(x)是函数)'=优(。>0,且的反函数，其图像经

过点(J£,a),则f(x)=

12

A.log,XB.log,XC.—D.A：

22*

【解析】/(x)=log„x,代入(G,a),解得。=工，所以/(x)=log〕x,选B.

25

18.(2009广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)

行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为叫和v乙(如图2所示).那么对于图中给定的功和小下

列判断中一定正确的是

A.在4时刻，甲车在乙车前面

B.6时刻后，甲车在乙车后面

C.在“时刻，两车的位置相同

图2

【解析】由图像可知，曲线/比V乙在o〜f。、o〜乙与X轴所围成图形面积大，则在0、4时

刻，甲车均在乙车前面，选A.

a<b,函数y=(尤一a)2(x—>)的图像可能是

7-\1

［解析］:/=(x-a)(3x-2a-b),由y，=0得==々,X=\当工=。时，y取极大

值0,当兀=等2时y取极小值且极小值为负。故选C。

或当x<0时)<0,当x>。时，y>0i^C

20.(2009安徽卷理)己知函数/(x)在R上满足/(x)=2/(2—X)-V+8x—8,则曲线

>=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程是

(A)y=2x—l(B)y=x(C)y=3x—2(D)y=—2x+3

［解析］:由f(x)=2/(2一x)—％2+8%-8得/(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,

即2/(x)—/(2—幻=f+4x—4,・・・/(x)=f.・.r(x)=2x,・••切线方程为

y—i=2(x—1),即2x-y-l=0选A

21.(2009安徽卷文)设。＜瓦函数丁=(入一0)25一份的图像可能是

【解析】可得x=a,x=b为y=(1-4)2。-。)=0的两个零解.

当x<a时，则x<bf(x)<0

当a<x<b时，则f(x)<0,当x>匕时，则/(x)〉0.选C。

【答案】C

22.(2009江西卷文)函数y=一~二二的定义域为

X

A.[-4,1]B.L-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)(0,1]

答案：D

Xw0

【解析】由1,得-44x<0或0<x41,故选D.

-X2-3X+4>0

23.(2009江西卷文)已知函数/(无)是(YO,+8)上的偶函数，若对于xNO,都有

/(x+2)=f(x,且当xe[0,2)时，/(x)=log2(x+l),则/(—2008)+/(2009)的值为

A.-2B.-1C.1D.2

答案：C

[解析1/(—2008)+/(2009)=/(0)+/(I)=log；+log；=1,故选C.

24.(2009江西卷文)如图所示，一质点P(x,y)在x0y平面上沿曲线运动，速度大小不变，

其在x轴上的投影点。(兑0)的运动速度V=V⑺的图象大致为

O]~~Q(x,0)*

答案：B

【解析】由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正

到0、到负数，再到0,到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0,

故O错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C

是错误的，故选8.

25.(2009江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线y^xs^y=ax2+-x-9都相切，则a

4

等于

A.—1或-‘25B.-1或2上1C.—7乙或-2‘5D.7或7

6444644

答案：A

【解析】设过(1,0)的直线与y=V相切于点(玉”与3),所以切线方程为y—%3=3%2Q—%)

3

即y=3/2%-2/3,又(1,0)在切线上，则无o=O或/=—万，

•15?5

当天^=0时，由、=0与>=ax~+x—9相切可得。——,

3?727»15

当X。=—时，由>=—x----与y=4x—9相切可得Q=-1,所以选A.

2444

26.(2009江西卷理)函数丁=二迫±2^的定义域为

U—3」+4

A.(-4,-1)B.M,1)C.(-1,1)D.(-1,1]

答案：c

.fx+1>0[x>-l

【解析】由<=>s=>-1<X<1.故选C

-x-3x+4>0[-4<x<1

27.(2009江西卷理)设函数/(x)=g(x)+f,曲线y=g(x)在点(l,g(D)处的切线方程为

y=2x+1,则曲线y=/(x)在点(1,/(1))处切线的斜率为

“1C1

A.4B.---C.2D.---

42

答案：A

【解析】由已知g'⑴=2,而f'(x)=g'(x)+2x,所以/'⑴=g'⑴+2x1=4故选A

28.(2009江西卷理)设函数/(%)=,族+3"(■条0的定义域为D,若所有点

(s,/(Q)6任「构成一个正方形区域，则a的值为

A.—2B.-4C.—8D.不能确定

答案：B

【解析】|%_赴1=<1ax(x)，隆|=2衣，a=_4,选B

29.(2009天津卷文)设a=log121=logi3,。=(一)03,则

322

Aa<b<cBa<c<bCb<c<aDb<a<c

【答案】B

【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到。<0,0<c<l,而人=log23>l,

因此选Bo

【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。

*9

30.(2009天津卷文)设函数/=-4*+6，*2°则不等式/(幻>/(])的解集是()

、x+6,x<0

A(—3,1)D(3,+oo)B(—3,1)D(2,+00)

C(-1,1)53,+8)D(-8,—3)51,3)

【答案】A

【解析】由已知，函数先增后减再增

当xNO,7*)22〃1)=3令/(幻=3,

解得x=l,x=3。

当x<0,x+6=3,x=—3

故/(x)>/(l)=3,解得一3<x<l处>3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

31.(2009天津卷文)设函数f(x)在R上的导函数为f，(x),且2f(x)+xf(x)>x2,x下面的不等式在R

内恒成立的是

A/(x)>0B/(x)<0C/(x)>XD/(x)<X

【答案】A

【解析】由已知，首先令X=(),排除B,D。然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查

了分析问题和解决问题的能力。

32.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数y=匕竺(xeR,且xN-上)的反函数是

1+4Xa

A、y=-—(xG7?,一~-)B、y-+aX(xG7?,)

\+axa\-axa

l+xr~i1—XI—.

C^y=-------D、y-----------------------(XER,且xw-l)

a(\-x)a(l+x)

【答案】D

【解析】由原函数是y=三里(》wR,且x工一，)，从中解得x=J，(yeR,且yw-1)

\+axa〃(1+y)

即原函数的反函数是％=上2—。€凡且y7-1)，故选择D

a(l+y)J

32.(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数R(。。若球的体积以均匀速度c增长，则球的

表面积的增长速度与球半径

A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2c

C.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2c

9.【答案】D

【解析】由题意可知球的体积为VQ)=g乃收⑺，则，=丫'(力=4万后(。衣。)，由此可得

一=4兀R⑴，而球的表面积为5。)=4万收⑺,

R⑴R⑺

所以喋=S⑺=4乃店⑺=8%R(f)R'(f),

r\r\

即v表=8%RQ)R(f)=2x4乃R(t)R'«)=——^/?'(/)=—,故选D

R⑴R⑺RQ)

33.(2009四川卷文)函数y=29(xe&的反函数是

A.y=1+log2x(x>0)B.y-log2(x—1)(JC>1)

C.y=—1+log2x(x>0)D.y-log2(x+l)(x>—1)

【答案】C

【解析】由y=2旬=x+l=log2y=x=-l+log2y,又因原函数的值域是y>0,

.,.其反函数是y=-1+log,x(x>0)

34.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实

数x都有

#(%+1)=(1+%)/(%),则“)的值是

15

A.0B.—C.1D.一

22

【答案】A

14.Y1

【解析】若X关0,则有/(x+l)=-取x=—不，则有：

x2

1-1

/(1)=/(-1+1)^/(-1)==-/(1)(V/(x)是偶函数，则

~2

吟=吗))

1+二1+—

于是,W)=“+1)=T吗4吗=X+D/芋］吗=5错)=0

22

35.(2009全国卷H理)曲线>=名”在点(1,1)处的切线方程为

A.x—y—2=0B.x+y-2=0C.x+4y—5=0D.x—4y—5=0

,.2%—1—2%

解：y

LI-i=(21)29-LX_」i-L(21)2X」

故切线方程为丁-1=一(无一1),即1+丁-2=0故选民

36.(2009全国卷H理)设a=log3；r,Z?=k)g2百,c=log3，则

A.a>h>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>0a

解：log3V2<log2A/2<log2^3：.h>c

log2®<log22=log33<log3%：.a>b:.a>b>c,故选A.

37.(2009湖南卷文)log?、历的值为[D]

A.—\/2B.sfiC.----D.

22

r111

2

解：由log,v2=log,2=—log22=万,易知D正确.

38.(2009湖南卷文)若函数y=/(x)的号幽黎在区间［a,加上是增函数,

则函数y=/(x)在区间［a,切上的图象可能是［A］

A.B.C.D.

解：因为函数y=/(x)的号争掣y=7'(x)在区间值向上是增函数，即在区间期向上

各点处的斜率上是递增的，由图易知选A.注意C中y'=Z为常数噢.

39.(2009湖南卷文)设函数y=/(x)在(-8,+8)内有定义，对于给定的正数K,定义函数

取函数八»=2%。当K=；时，函数人(幻的单调递增区间为[C]

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-oo,-1)D.(1,+00)

解：函数/(x)=2刊=§)忖，作图易知/(x)<K=g=>xe(—oo,—l][1,+8),

故在(-8,-1)上是单调递增的，选C.

40.(2009福建卷理)下列函数/(x)中，满足“对任意/，(0,+8),当为<9时，

都有/(%)>/(工2)

的是

1

A.f(x)=-B.f(x)=(x-\)20C"(x)=eD/(x)=ln(x+l)

x

【答案】：A

[解析]依题意可得函数应在XW(0,+00)上单调递减，故由选项可得A正确。

41.(2009福建卷理)函数/(幻=办+法+。(。¥0)的图象关于直线》=一2对称。据此可

2a

推测，对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程加+叭x)+〃=0的解

集都不可能是

A.{152}B{1,4}C{1,2,3,4}D{1,4,16,64}

【答案】：D

［解析］本题用特例法解决简洁快速，对方程/4/(x)］2+硬。)+P=0中见〃,P分别赋值求出

/(x)代入/(x)=0求出检验即得.

42.(2009辽宁卷文)已知函数/(x)满足：x24,则/(x)=(；尸；当x<4时/(x)=/(x+l),

则/(2+log23)=

1113

(A)—(B)——(C)一(D)一

241288

【解析】V3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)

且3+log23>4

/(2+log?3)=f(3+log23)

11111

313

/\XzYX/x

--!3+--(-Iog2=-t-l

V2/8x278\2z

43.(2009辽宁卷文)已知偶函数/(X)在区间［0,+8)单调增加，则满足了(2x-l)</(§)的

x取值范围是

121212(D)[；,|)

(A)(—,—)(B)[―,—)(C)(—,—)

333323

【解析】由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(|x|)

得f(12x-11)Vf(；),再根据f(x)的单调性

112

得—一解得一Vx<一

333

【答案】A

44.(2009辽宁卷理)若占满足2x+2*=5,/满足2x+21og2(x—1)=5,斗+工2=

、57

(A)-(B)3(C)-(D)4

22

【解析】由题意2占+2*=5①

2三+2唾2(占-1)=5②

所以2"=5-24小=log2(5-2xj

即2.=2log2(5-2x,)

令2xi=7-2t,代入上式得7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-l)

，5—2t=2log2(t—1)与②式比较得t=X2于是2xi=7-2X2

【答案】C

45.(2009宁夏海南卷理)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值

设f(x)=min{,x+2,10-x}(x>0),则f(x)的最大值为

(A)4(B)5(C)6(D)7

解析：选C

46.(2009陕西卷文)函数/(x)=，2x-4(x24)的反函数为

(A)/-'(X)=1X2+4(X>0)(B)/-'(X)=^X2+4(X>2)

(C)/-1(X)=1X2+2(X>0)(D)f-'(x)=^x2+2(x>2)

答案：D.解析:令原式y=/(%)=,2%—4(、22)则丁2=2犬-4,即x==二+2

22

故/T(x)=gf+2(xN2)故选D.

47.(2009陕西卷文)定义在R匕的偶函数/(九)满足：对任意的玉,七e[0,+oo)(x,x2),有

，C<0.则

(A)/(3)</(-2)</(I)(B)/(l)</(-2)</(3)

(C)/(—2)</(1)</(3)(D"⑶</⑴</(-2)

答案:A.

解析：由(x,—%)(y(w)—/(与))>o等价，于/⑴二a〉。则y(x)在

与与W(-QO,0](X]W9)上单调递胤又/(X)是偶函数，故/(X)在X]，W€(0,+00](王W泡)

单调递减.且满足neN*时,f(-2)=/(2),3>2>1>0，得/(3)</(-2)</(I)，故选A.

48.(2009陕西卷文)设曲线y=下用(〃€%*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标

为X”,则xl-x2--xn的值为

11n

(A)一(B)--(C)--(D)l

n〃+1n+1

答案:B

解析：对y=V+i(〃cN*)求导得y=(〃+l)x",令x=l得在点(1,1)处的切线的斜率

%=〃+1,在点

(1.1)处的切线方程为^一1=然七-1)=("+1)(七一1),不妨设)；=0,X"=-^T则

123〃一1n1j…

x.•--x„=—x—x—X...X-------x-------=--------,故选B.

।-"234〃〃+1〃+1

49.（2009陕西卷理）定义在R上的偶函数/（九）满足：对任意

的5,We(—8,。］(%ww)，有(W一为)(/(工2)一f(xi))>0・

则当〃eN"时，有

(A)/(-«)</(n-l)</(n+l)(B)/(n-l)<f(-n)</(n+l)

(C)(C)/(«+1)</(一〃)</(n-l)(D)/(n+l)</(n-l)</(一〃)

答案：C

解析：Xy,X2G(-OO,0］(X1^x2)=>(x2-%1)(/(%2)->0

O%2>不时'f(X2)>八为)O/(元)在(一8,0］为增函数

/(X)为偶函数n/(x)在(0，+8］为减函数

而n+l>n〉nT>0,/(〃+1)</(n)</(n-1)=>/(n+1)<f(—n)</(n-1)

50.(2009四川卷文)函数y=2'T(xeR)的反函数是

A.y=1+log2x(x>0)B.y=log2(x-l)(x>l)

C.y=—1+log2x(x>0)D.y=log2(x+l)(%>—1)

【答案】c

【解析】由y=2'=>x+l=log2y=>x=-l+log2丁，又因原函数的值域是y>0，

其反函数是y=-1+log2x(x>0)

51.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集Fi上的不恒为零的偶函数，且对任意实

数尤都有

#(%+1)=(1+%)/(%),则吗)的值是

15

A.0B.-C.1D.-

22

【答案】A

14-V一!!则有：

【解析】若X#0,则有/(X+l)=—±f(x),取》=

X2

1-1

)=/(/(()是偶函数，则

/(2)=八2+1)=」八22)=2■)(/X

~2

乃)=吗))

由此得0

于是'片)=〃|+1)=H/(I)=|吗=鸿+D=I十吗=5尺)=。

22

52.(2009全国卷I文)已知函数/(x)的反函数为g(x)=l+21gx(x>0),则/(l)+g(l)=

(A)0(B)1(C)2(D)4

【解析】本小题考查反函数，基础题。

解：由题令l+21gx=l得X=l,即/(1)=1,又g(l)=L所以/(l)+g(l)=2,故

选择Co

宫(xwR,且X—J的反函数是

53.(2009湖北卷文)函数y=

A.y=1；犬(xGR,Wg)B.y=~(xe.R,JLr声一^)

C.y=1+"(xGR,QJC01)D・y=———(xeR,#-1)

2(1—x)2(1+x)

【答案】D

【解析】可反解得『=1一」故/•一】(无)1-”且可得原函数中yCR、yW-l所以

2(1+J)2(14-X)

11—x

f~\x)-------且xWR、xH-1选D

2(1+x)

54.(2009湖南卷理)若log2aV0,(1)*>1,贝lj(D)

A.a>l,b>0B.a>l,b<0C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】：D

【解析】由logz^vO得0<。(，由得6<0,所以选D项。

X

55.(2009湖南卷理)如图1,当参数;1=4时，连续函数y=——(x>0)的图像分别对应曲

1+Ax

线G和。2,则[B]

A0</l1<2B0</1<4*j

C4<4<。DAJC^CO

【答案】：B(0---------；

【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在

(0,+oo)是连续的，可知参数4>o,4>0,即排除c,D项，又取x=i,知对应函数值

X——j,y——/，由图可知y<%,所以4>4，即选B项。

J1+42

56.(2009湖南卷理)设函数y=/(X)在(-8,+8)内有定义。对于给定的正数K,定义函数

£(*)=<

KJ(x)>K

取函数/(x)=2—x—eT。若对任意的xe(+oo,-oo),恒有人(x)=/(x),则

A.K的最大值为2B.K的最小值为2

C.K的最大值为1D.K的最小值为1[D1

【答案】：D

【解析】由/'(x)=l-e-*=0,知x=0,所以xe(-oo,0)时，f'(%)>0,当时,

/(x)<0,所以f⑴1rax=/(0)=1,即f(x)的值域是y,1],而要使fk(x)=f(x)在R上

恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时£(x)=.f(x)。故选D项。

57.(2009天津卷理)设函数/(x)=；x-lnx(x>O)4iJy=/(x)

A在区间(』,1),(1,e)内均有零点。B在区间(4,1),(1,e)内均无零点。

ee

C在区间d,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。

e

D在区间d,l)内无零点，在区间(l,e)内有零点。

e

【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。

11r-3

解析：由题得/、(》)=-----=------,令/、(x)>0得”>3；令/、(x)vO得0vxv3；

3x3x

广(工)=0得x=3,故知函数/(%)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,+8)为增函数，在

点x=3处有极小值l—ln3<0；又/(l)=，，/(e)=：-l<(),/(，)=」-+1>0,故选

33e3e

择Do

X2+4xy>0

58.(2009天津卷理)己知函数/(x)=('1一若/(2-。2)>/(欧则实数。的

4x—x2,x<0

取值范围是

A(*~oo,—1)LJ(2,+oo)B(—1,2)C(—2,1)D(—oo,—2)D(l,+oo)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

解析：由题知/(X)在K上是增函数，由题得2-。2>。，解得故选择C。

a+log2x(当x>2时)

59.(2009四川卷理)已知函数/'(X)=1X2_4在点x=2处连续，则常数a的

(当D

x—2

值是

A.2B.3C.4D.5

【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。

解析：由题得。+1。始2=2+2=。=3,故选择B。

Y2—4

解析2：本题考查分段函数的连续性.由lim/a)=lim-——=lim(x+2)=4,

x->2x->2x—2A—>2

/,(2)=a+log/=a+l,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知/(2)=limf(x)=4,

XT2

可得a=3.故选B.

60.(2009四川