垂线（分层作业）

第五章相交线与平行线

.2垂线分层作业

4翱过翘

1.如图，图中直角的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】根据直角的定义进行求解即可.

【详解】解：由题意得，图中的直角有NCEDZAED,ZADC,ZADB,N54C一共五个,

故选D.

【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟知垂线的定义是解题的关键.

2.如图，OALOB,OC1OD,若Nl=50°,则N2的度数是（）

【答案】C

［分析］先求出Z.BOC,即可求出Z2.

【详解】解：OA1OB,OCLOD,

.­.ZAOB^ZCOD=9Q°.

NBOC=NAOB-=90°-50°=40°,

NXNCOD-4OC=90°-40°=50°.

故选：c.

【点睛】本题主要考查直角的概念以及角度的计算，比较简单.

3.如图，在纸片上有一直线/，点4在直线/上，过点4作直线/的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90。刻度

线的直线。即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以4为端点的两条射线重合，折痕。即为所求，下列

判断正确的是()

A.只有嘉嘉对B.只有淇淇对

C.两人都对D.两人都不对

【答案】C

【分析】根据垂直的定义即可解答.

【详解】解：嘉嘉利用量角器画90。角，可以画垂线，方法正确；

淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线/,方法正确，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键.

4.如图，直线AB,相交于点。，ZDOF=90,OF平分NAOE,若NBOE>=32,则/EOF的度数为

()

C.58D.64

【答案】C

【分析】根据垂直定义得到N48+N800=90。，求出乙4。尸的度数，利用角平分线的定义求出NEO尸即

可.

【详解】解：:/。。尸=90。，

，ZAOF+ZBOD=90°,

'：ZBOD=32°,

.•.乙40尸=90°-32°=58°,

,/OF平分/AOE,

二NE。尸=24。尸=58°,

故选：C.

【点睛】此题考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，正确理解图形中各角度的关系是解题的关键.

5.如图，直线AB,C。相交于点。，射线0M平分NAOC,0N10M,若NAOM=35。，则/CON的度数为

()

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】C

【分析】根据角平分线的定义，得出NMOC=35。，再根据题意，得出/MON=90。，然后再根据角的关系,

计算即可得出NCCW的度数.

【详解】解：•.,射线平分NAOC，/AOM=35。，

二ZMOC=35°,

"CONCOM,

NMON=90。,

：.NCON=/MON-NMOC=90°-35°=55°.

故选：C

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系.

6.如图，为了解决村民饮水困难，需要在河边建立取水点，下面四个点中哪个最方便作为取水点()

A.A点B.B点C.C点D.。点

【答案】B

【分析】根据“垂线段最短”可得结论.

【详解】解：根据“垂线段最短”可知要在河边建立取水点，点B作为取水点最方便，

故选：B

【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键.

7.如图，垂足是点。，AC=8,BC=6,8=4,点E是线段A8上的一个动点（包括端点）,

连接CE,那么CE的长为整数值的线段有（）

A.3条B.8条C.7条D.5条

【答案】D

【分析】根据垂线段最短解答即可.

【详解】解：他，AC=8,BC=5,8=4,且点E是线段AB上的一个动点（包括端点）,

二CE长的范围是44CE48,

的长为整数值的线段有4、5、6、7,8,共5条，

故选：D.

【点睛】本题考查垂线段最短.理解和掌握垂线段最短是解题的关键.

8.如图，直线A8,相交于点O,EOLCD,垂足为0,若Nl=50。，则N2的度数为（）

E

【答案】B

【分析】应用垂线性质可得NEOZ>90。，由N1+N8OK90。，即可算出N80D的度数，再根据对顶角的性

质即可得出答案.

【详解】解：：EO，C£>,

二Z£00=90°,

VZ1+ZBOD=90°,

/.ZB0D=Z£0D-Zl=90o-50°=40°,

Z2=ZBOD=40°.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了垂线及对顶角，熟练掌握垂线及对顶角的性质进行求解是解决本题的关键.

9.已知O4_LOC,NAO8与2A0C的度数之比为3:5,则23OC等于—.

【答案】36。或144。

【分析】根据垂直定义知NAOC-90。，由ZAQ8:N4OC=3:5,可求/A0B,根据/A03与/A0C的位置

关系，分类求解.

【详解】解：OA1.OC,

.•.ZAOC=90。，

,ZAOB-ZAOC=3.5,即NAO&90°=3：5,

ZAOfi=54°.

分两种情况：

①当在ZAOC内时，如图，

oo

ZBOC=ZAOC-ZAOB=90°-54=36:

②当OB在/AOC外时，如图，

ZBOC=ZAOC+ZAO«=90o+54o=144°.

故答案是：36。或144。.

【点睛】本题考查垂直定义，角的和差运算，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解.

10.如图，点B,C在直线/上，且8c=5cm,ABC的面积为20cm，若尸是直线/上任意一点，连接AP,

则线段AP的最小长度为cm.

【答案】8

【分析】根据点到直线的垂线段最短，再由面积求出高，即为4P的最小值，由题知，过点A作BC的垂线,

即为所求，此时，该垂线也是三角形的高.

【详解】解：过点A作8C的垂线AR根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，

二垂线段即为”的最小值，

,/8c=5cm,AABC的面积为2()cm2,

/.-xBCxAP=20,

2

：.AP=S,

故答案为：8.

A

【点睛】本题考查三角形的面积公式，垂线段最短的性质，属于基础题.

3

11.已知/A的两边与28的两边分别垂直，且/A比的;倍少40。，则乙4=

【答案】80。或92°

【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因NA比NB的|■倍少40。，设是x

度，利用方程即可解决问题.

【详解】解：设是x度，根据题意，得

①两个角相等时，如图1：

ZB=ZA=x°,

3

x=—x-40,

2

解得,x=80,

故NA=80。，

图1

②两个角互补时，如图2：

3

x+—x-40=180,

2

所以x=88,

-x88°-40°=92°

2

综上所述：NA的度数为：80。或92。.

故答案为：80。或92。.

【点睛】本题考查垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题.关键是得到/A与N8的关系.

12.如图，直线AB,S相交于点0,若OEJ.AB,且NCOE:NBQD=7:2,则NAOE的度数是

【答案】54。##54度

【分析】设NCOE=7X,N3OD=2X,则NAOC=2x,可得//必'=5x,再由OEL他，可得5x=90。，可

求出x,即可求解.

【详解】解：TSL^COE=1X,ZBOD=2X,则ZAOC=2X,

ZAOE=lx-2x=5x,

OE±AB,

：.NAOE=NBO£=90。，

二5x=90°,即x=18。，

/。0£=90。一々0£)=90。一2*18°=54°.

故答案为:54°

【点睛】本题主要考查了垂直的性质，对顶角的性质，熟练掌握垂直的性质，对顶角的性质进行求解是解

决本题的关键.

13.如图，直线AB与直线8相交于点0,(?£；，四，垂足为。，NEOD=gNAOC,则N88的度数为

【答案】60°##60度

【分析】根据对顶角相等可得N8O£)=N4OC,djQE_LAB,可得N30E=NEOD+N3OD=9O。，由

ZEOD=-ZAOC,即可求解.

【详解】解：；OE_LAB，

/.ZBOE=ZEOD+/BOD=90°,

ZBOD=ZAOC,ZEOD=-ZAOC,

2

NBOD=90°--NBOD,

2

解得N8OD=60。.

故答案为：60°.

【点睛】本题考查了垂直的定义，时顶角相等，儿何图形角度的计算，数形结合是解题的关键.

14.如图，点P是直线/外一点，过点P作尸OJJ于点。，点A是直线/上任意一点，连接以，若PO=3,

则小的长可能是（写出一个即可）.

【答案】4

【分析】直接利用垂线段最短即可得出答案.

【详解】解：•••点P是直线/外一点，过点P作PO_L/于点。，点A是直线/上任意一点PO=3,

.\3<AP,

,以可以为4,

故答案为4（答案不唯一）.

【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确得出AP的取值范围是解题的关键.

15.如图，直线A8和CO相交于。点，OE±CD,ZEOF=142°,NBOD：NBOF=1:3,求NAO尸的度数.

【答案】ZAOF=\02°

【分析】根据OE_L8，得出NEO£>=90。，根据NEOF=142。，可得ZDOF=52。,根据角的倍分关系，可

得N80b的度数，根据N80F与N40户是邻补角，可得答案.

【详解】解：；OE_LC£）,

二Z£OD=90°,

NEOF=142。,

ZDOF=142°-90°=52°,

ZBOD：ZBOF=\：3,

：.ZBOD=-ZDOF=26°,

2

ZBOF=NBOD+ZDOF=78°,

ZAOF+Z.BOF=\SO0,

：.ZAOF=180°-NBOF=180°-78°=102°.

ZAOF=\02°.

【点睛】本题考查垂直的性质、角的和差、角的倍分关系、邻补角的性质等知识，是基础考点，掌握相关

知识是解题关键.

16.如图，。是直线AB上一点，ABOC=3ZAOC,OC平分N4QD

⑴求/AOC的度数.

（2）试猜想0D与AB的位置关系，并说明理由.

【答案】（D/AOC的度数为45°

（2）OD±AB,理由见解析

【分析】（1）设N40C=x,根据题意得/BOC=3x,再根据平角的定义进而求解即可;

（2）根据角平分线的定义即可得到解答.

【详解】（1）解：设/AOC=x,

N5OC=3ZAOC,

,ZBOC=3x,

:直线AB.

/.x+3x=18O°,

解得x=45。，

ZAOC的度数为45。；

(2)解：OOLAB,理由如下,

■:OC平分/AOD,

ZCOD=ZAOC=45°.

：.ZAOD=ZAOC+ZCOD=90°,

J.ODVAB.

【点睛】此题考查了垂线，平角的定义以及角平分线的定义，对定义的熟练掌握是解题的关键.平角：等

于180。的角叫做平角；角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条

射线叫做这个角的角平分线.

17.如图，两直线AB、CO相交于点O,OE平分/BOD,如果NAOC：ZAOD=7：11.

(1)求NCOE；

(2)若O尸_LOE,NAOC=70。,求/COF.

【答案】(1)NCOE=145。

⑵NCO尸=125°

【分析】(1)根据邻补角的性质和已知求出,AOC和N48的度数，根据对顶角相等求出/BQ。和NCOB

的度数，根据角平分线的定义求出NBOE的度数，可以得到NCOE的度数；

(2)根据垂直的定义得到NE•。尸=90。，根据互余的性质求出/DO尸的度数，计算得到答案.

(1)

解：ZAOC+ZAOD=180°,ZAOC-.ZAOD=7：11,

...NAOC=70°,ZAOD=110°,

NBOD=ZAOC=70°,NCOB=ZAOD=110°,

.OE平分ZBOZ),

NBOE=LzBOD=35。,

2

4cOE=NCOB+NBOE=145°.

(2)

解：OFLOE,

：.ZEOF=90°,

OE平分NBOD,

ZDOE=-ZBOD=35°,

2

NDOF=900-NDOE=55°,

ZCOF=180°-/DOF=125°.

【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和

垂直的定义是解题的关键.

18.如图，已知直线A3、C。相交于点O,OE_LAB,点。为垂足，O/平分NAOC.

(1)若NCOE=54。，求NOOF的度数：

(2)若NCOE：ZEOF=2：1,求NQOF的度数.

【答案】(1)/。。尸=108。：

⑵/力。尸=112.5°.

【分析】(1)先由0ELA8得出NAOE=NBOE=90。，再根据角平分线定义求出/COF=72。，然后由

ZDOF=l80°-NCOF即可求解；

(2)设NEOF=x。，则/COE=2x。，则/COF=3x。，再根据角平分线定义求出N4O尸=NCOF=3x。，所以

ZAOE=4x°,由垂直的定义可知乙4OE=90。，则4x=90,解之，求出x即可.

(1)

解：'：OELAB,

・・・ZAOE=90°；

,/ZCOE=54°,

，ZAOC=ZAOE+ZCOE=144°,

*：平分NAOC,

JZCOF=-ZAOC=72°,

2

・・・ZDOF=180°-ZCOF=108°；

(2)

解：设NEOF=x。，则NCOE=2x。，

・♦・ZCOF=3x°,

,:Ob平分NAOC,

AZAOF=ZCOF=3X09

・・・ZAOE=4x%

OE±AB.

：.ZAOE=90°,

A4X=90,解得X=22.5,

，ZCOF=3x°=67.5°,

，ZDOF=\80°-ZCOF=112.5°.

【点睛】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计算出答案，难度

适中.

力拓展培优炼

1.如图，直线A3,CO相交于点O,OELCD,O/平分NB。。，NAOE=24。，NCOF的度数是（)

A.146°B.147°C.157°D.136°

【答案】B

【分析】欲求NCOF,需求/DOF.由OE_LCC,得/EOO=90。，故求得ZBO〃=66。.由O尸平分/8。£),

故ZDOF=-ZBOD=33°.

2

【详解】解：♦..OELCD,

二ZEOD=90°.

：.ZBOD=180°-ZAOE-ZDOE=66°.

又，：OF平分4BOD,

：.NDOF=-ZBOD=33°.

2

NCOF=180。-N£>OF=180。-33。=147。.

故选：B.

【点睛】本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义以及邻补角的性质，熟练掌握垂直的定义、角平分线

的定义以及邻补角的性质是解决本题的关键.

2.如图，OAVOD,ZAOC=3ZCOD,OC平分则/AO8的度数为()

A.45°B.46°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】先根据垂直的定义得N48=90°，由已知N4OC=3NCOZ),相当于把Z48四等分，可得NC8的

度数，根据角平分线可得48=45。，从而得结论.

【详解】解：OA1OD,

ZAO£>=90°,

ZAOC+ZCOD=9CP,

ZAOC=3ZCOD,

ZCOD=22.5°,

.OC平分NBOD,

ZBOD=2ZCOD=45°,

ZAOB=ZAOD-ZBOD=90°-45°=45°.

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义及有关角的计算，解题的关键是确定NCOD=22.5。.

3.如图所示，直线AB,CD相交于点。，OE_LAB于点O,OF平分N4QE,Zl=15°30,,则下列结论中

不正确的是（）

E

A./2=45。B.Z1=Z3

C.ZA。。与N1互为补角D.N1的余角等于75。30'

【答案】D

【分析】根据垂直的定义及角平分线的性质判断A,利用对顶角的性质判断B,利用邻补角的性质判断C,

根据余角的定义判断D.

【详解】于点O,

；.NAOE=90。，

：OF平分NAOE,

.,.Z2=-ZAOE=45°,故A正确；

2

•.•直线A8,CO相交于点O,

AZI与/3是对顶角，

-3,故B正确，

,?Z4（9D+Zl=180o,

二N4QD与N1互为补角，故C正确；

,:Zl=15°30,,

二N1的余角=90°-15°3。=74。30',故D错误，

故选：D.

【点睛】此题考查垂直的定义，角平分线的性质，对顶角的性质，余角的定理，邻补角的性质，几何图形

中角度的计算，熟记各定义及性质是解题的关键.

4.已知点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上三点，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P

到直线m的距离为（）

A.4cmB.5cmC.小于2cmD.不大于2cm

【答案】D

【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案.

【详解】当PC±m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm,

当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm,

综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm,

故选D.

【点睛】此题考查了点到宜线的距离，利用了垂线段最短的性质.

5.如图，若直线AB与C。相交于点O,0D平分NBOF,OEO尸且NBOD=29。，则NCOE的度数为（）

A.116°B.118°C.119°D.120°

【答案】C

【分析】根据角平分线的定义得到NDOF=29。，根据垂线的定义得到ZDOE=90'ZZX加=61。，利用邻补角

的定义即可求解.

【详解】解：,•1ZBO£>=29°,。。平分NBOF,

^DOF=29°,

OE1,OF,

：.ZDOE=90°-^DOF=610,

：.Z.COE=180°-Z.DOE=119°,

故答案为：C.

【点睛】本题考查邻补角的定义、角平分线的定义、垂直的定义等内容，运用几何知识进行角的和差运算

是解题的关键.

6.如图，直线48,C。相交于点0,射线0M平分/40C,0N10M,若NCON=55。,则的度数为

【答案】A

【分析】根据垂直得出/NOM=90。，求出/COM=35。，根据角平分线定义得出NA0M=/C0M即可得出

答案.

【详解】解：；0NJ_0M,

Z.ZNOM=90°,

■:ZCON=55°,

：.NCOM=90°-55°=35°,

:射线0M平分NAOC,

ZAOM=ZCOM=35°,

故选：A.

【点睛】本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，解题的关键是能求出/COM的度数和求出

ZAOM=ZCOM.

7.已知,如图，直线4B,Cr）相交于点于点O,N800=35。.则NCOE的度数为（）.

A.35°B.55°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】直接利用垂线的定义结合已知角得出NCOE的度数即可.

【详解】：OE_LAB于点0（已知），

，NAOE=90。（垂直定义）.

•直线AB,CD相交于点O,NBOD=35。（已知）,

...NAOC=35。（对顶角相等）.

ZCOE=ZAOE-ZAOC=90°-35°=55°.

/.ZCOE=55O.

故选B.

【点睛】此题考查垂线的定义，对顶角，解题关键在于得出NAOC=35。.

8.如图，直线A8,CO相交于点。，OELCD,。产平分N30。，若NAOE=26。，则NCOF的度数为（）

A.116°B.148°C.154°D.158°

【答案】B

【分析】由垂直得/COE=90。，从而知/AOC=64。，则ZBOD也得64。，由角平分线和平角定义得NCOF

的度数.

【详解】；OE_LCD,

二ZCOE=90°,

ZAOC=ZCOE-ZAOE=90°-26°=64°,

VZAOC=ZBOD,

AZBOD=64°,

又；0F平分NBOD,

，ZDOF=y/BOD=gx64°=32°,

ZCOF=180°-ZDOF=180°-32°=148°.

故选B.

【点睛】本题考查了垂线的定义、邻补角、对顶角定义、角平分线定义等知识点.本题属于基础题，推理

过程的书写是关键，从垂直入手与已知相结合得出/AOC的度数，使问题得以解决；同时要注意对顶角和

平角性质的运用.

9.如图，直线A8,CD,E尸相交于点0,Zl=50°,Z2=60°,射线OGLOE,则/DOG的度数为

【答案】20。或160°

【分析】先求出ZEOD=70°,再分射线OG在直线EF的两侧进行讨论求解即可.

【详解】解：VZl=50°,Z2=60°,Z2=ZAOE,

二ZEOD=180°—50°—60°=70°,

分两种情况：

①如图，

OGVOE,

：.NEOG=90。，

ZDOG=ZEOG~Z£OD=90°-70o=20°；

VZEOG=90°,Z£OD=70°,

ZDOG=ZEOD+ZEOG=7(r+90o=160°,

综上，NOOG的度数为20。或160°,

故答案为：20。或160°.

ED

【点睛】本题考查邻补角、对顶角、垂线性质、角的运算，熟练掌握对顶角相等、邻补角互补，分情况讨

论是解答的关键.

10.如图，点C,O,。在一条直线上，OAYOB,OE平分NAOC,NBOC比/BOD大70。,NCOE的度

数为.

【答案】72.5°

【分析】根据比。大70。，,BOC和互补，即可求出48=55。，进而由垂直性质可

求出ZAOD=35。，再由角平分线性质即可得出答案.

【详解】解：：/BOC比NBOD大70。，

设NBOD=x,则ZBOC=x+70°,

:NBOC+ZBOD=180°,

/.x+(x+70°)=180°,

,x=55°,

，NBOD=55°,

*：OAVOB,

二ZAO3=90。，

二ZAOD=90°-NBOD=35°,

/.ZAOC=180°-ZAO。=145°,

平分NAOC,

NCOE=-ZAOC=72.5°.

2

故答案为：72.5。.

【点睛】本题考查J'垂直的性质，角平分线的性质以及角的运算，掌握以上知识是解题的关键.

11.如图，直线AB,CD交于点。，OC平分NBOE,OELOF,若N。。尸=15。，则NEOA=

【分析】根据垂直定义可得/EOF=90。，从而利用平角定义求出NCOE=75。，然后利用角平分线的定义求

出NBOE=2/COE=150。，最后利用平角定义求出NEOA,即可解答.

【详解】解：VOE1OF,

ZEOF=90°,

VZDOF=15°,

ZC(?£=180°-AEOF-ZDOF=J5°,

,/0c平分N8OE,

，N8OE=2NCOE=150。，

NAOE=180。-NNBOE=30。，

故答案为:30°.

【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.

12.如图，直线AB、C。相交于点O,OEVAB,。为垂足，如果/£8=32。30',则NAOC=°.

\

0

C

B

【分析】根据垂线的定义，可得NAOE=90。，根据角的和差，可得N48的度数，根据邻补角的定义，可

得答案.

【详解】解：:1。=60'

二30'=0.5°

二32°30'=32.5°

OE工AB,

：.ZAOE=90°,

：.ZAOD=ZAOE+ZEOD=90°+32.5°=122.5°,

/.ZAOC=180°-ZAOD=180°-122.5°=57.5°,

故答案为：57.5.

【点睛】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于180。，角与分的转化等知识.解题的关键在于领会由垂

直得直角.

13.如图，直线A8和C。交于。点，。。平分NBOF,OELCD于点O,ZAOC=40°,则NEOF=.

【答案】130°

【分析】根据对顶角性质可得NBOO=NAOC=40。.根据。。平分NBOF,可得NQOF=NBOZ)=40。，根据

OE1CD,得出/EOO=90。，利用两角和得出/EO/^NEOD+NOOGQO。即可.

【详解】解：C。相交于点O,

：.ZBOD^ZAOC=4Q°.

平分NBOF,

/.NDOF=NBOD=40。,

'."OE1.CD,

：.NEO£>=90。，

二ZEOF=ZEOD+ZDOF=130°.

故答案为130°.

【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直

定义是解题关键.

14.如图所示，已知NAC3=90。，若BC=3cm,AC=4cm,AB=5cm,则点A到8c的距离是

点C到A8的距离是.

【分析】根据点到直线的距离概念可得点A到3c的距离为垂线段AC的长，设点C到AB的距离为6,依

据三角形面积，即可得到点:C到A3的距离.

【详解】解：；ZAC8=90。，

二ACJ.BC，

...点A到BC的距离为垂线段AC的长，

又AC=4cm,

.,.点A到BC的距离为4cm；

设点C到A8的距离为人，

ZACB=90°,

：.-AC.BC=-AB.h,

22

AC»BC=ABJi,

BC=3cm,AC=4cm,AB=5cm,

4x3=5h,

,4x3「4

/.h=$=2.4,

故答案为：4；2.4.

【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用三角形的面积得出=济是解题关键.

15.如图，直线AB,CO相交于点0,OE平分/BOD.

•B

E

⑴若NEOF=55。,ODLOF,求/AOC的度数；

(2)若OF平分NCOE,ZBOF=15°,求NOOE的度数.

【答案】⑴70。

(2)50°

【分析】(1)根据角平分线的性质可得ZBOE=/DO£：,根据垂线的定义以及已知条件求得NOO石=35。，

继而求得NBOD=70。，根据对顶角相等即可求解；

(2)根据角平分线的性质可得ZCOF=ZEOF,ZBOE=NDOE,设/DOE=NBOE=x，则ZCOF=x+15°,

根据平角的定义建立方程，解方程即可求解.

(1)

解：OE平分/BOD,

"BOE=ZDOE,

NEO/=55。，ODtOF,

.*.ZDOE=35°,

/.ZBOE=35°f

：.NBOD=70。

・•.ZAOC=70°；

F

C//B

.OF平分NCOE,

.\ZCOF=ZEOF,

NBOF=15。，

设NDOE=/BOE=x,则NCOF=x+15。,

...x+15°+x+15°+x=180°,

解得：x=50。，

故NOOE的度数为：50°.

【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用，数形

结合是解题的关键.

16.如图，直线A3、8相交于点O,。£平分ZBOD,ZAOC=70°,ZCOF=90°,求：

⑴N88的度数；

(2)写出图中互余的角；

(3)NEOF的度数.

【答案】(1)70。

⑵NBOF与NBOD互余,NEOF与NE。。互余，NEOF与NBOE互余,NBOf•与NAOC互余

(3)55°

【分析】(1)根据对顶角相等即可得到/8O£>=NAOC=70。：

(2)根据余角的定义求解即可；

(3)先根据角平分线的定义求出NDOE=35。，则NEOF=NDOF-NDOE=55。.

(1)

解：由题意得ZBOD=ZAOC=10°；

(2)

解：VZC<?F=90°,

ZDOF=1800-ZCOF=90°,

NBOF+/BOD=90。,NEOF+/EOO=90°,

平分N8OD,

二ZBOE=ZDOE,

：.ZEOF+ZBOE=90°,

'：NAOC=NBOD,

ZBOF+ZAOC=90°,

.,.280/与/8。。互余，NEOF与NEOD互余,/EOF与/BOE互余，/8。/与/AOC互余；

(3)

解：VZBOD=70°,OE平分/BO。，

二ZDOE=35°,

ZEOF=ZDOF-ZDOE=55°.

【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，对顶角相等，余角的定义，熟知相关知识

是解题的关键.

17.如图，已知08,OC,。。是NAOE内三条射线，08平分/4。£,0。平分NCOE.

⑴若NAOB=70。，Z£X?E=20°,求/BOC的度数.

⑵若NAOE=136。，AOLCO,求N88的度数.

⑶若NDOE=20。,ZAOE+ZBOD^220°,求N30。的度数.

【答案】(1)30。

(2)45°

(3)60°

【分析】对于(1),由角平分线的定义求出NBOE和NCOE,再根据N8笫=乙眈"一NG定即可求解：

对于(2),先求出NCOE,再根据角平分线的定义求出NDOE和NBOE,然后根据4%豌'-N〃如即

可求解；

对于(3),由角平分线的定义得NAOE=2/8QE,结合已知条件可得2乙姬+=220。，

ZB0E-AB0D=20°,即2乙BOE-22B0D=40°,进而得出3N3OD=180。，可得答案.

【详解】(1)「OB平分NAOE,OD平分NCOE,

,AB0E=AA0B=70°,4C0E=2乙D0E=40°,

二乙B0CRB0E-AC0E=70°-40°=30°：

(2)VAO1CO,

：.NAOC=90。.

"?NAOE=136°,

・・・4COE=AAOE-AAOC=136°-90°=46°.

〈OB平分NAOE,。。平分NCOE,

JABOE=-乙AOE=68°,乙DOE=-4COE=23°,

22

・•・^BOD=ABOE-^DOE=68°-23°=45°；

(3)〈OB平分NAOE,

:.ZAOE=2ZBOE.

•/AAOE+ABOD=220°,

・・・2/BOE+4BOD=220°.

/BOE-ABOD=ADOE,

・•・ABOE-ZSOD=20°,

J2/BOE-2ZBOD=40°,

・・・3/300=180。，

・・・ZBOD=60°.

【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是由角平分线定义得出相关等式.

18.点O为直线/上一点，射线04、08均与直线/重合，如图1所示，过点。作射线OC和射线OQ,使

得NBOC=100。，ZCOD=90°,作N49C的平分线OM.

⑴求ZAOC与/MOD的度数；

(2)作射线OP,使得NBOP+NAOM=90。，请在图2中画出图形，并求出NCOP的度数；

(3)如图3,将射线。3从图1位置开始，绕点O以每秒5。的速度逆时针旋转一周，作NCOD的平分线QV,

当NMON=20。时，求旋转的时间.

【答案】（1）ZAOC=80。，ZMOD=50°

（2）50°或150。

（3）6秒或62秒

【分析】（1）根据NAOB=180。，N30C=100。，即可得出NAOC的度数，根据角平分线的定义得出

4C0M=|ZAOC=40°,然后根据ZCOD=90。得出ZMOD的度数；

（2）根据题意得出NBOP的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线OP在NBOC内部时；②当射线。P

在N3OC外部时；分别进行计算即可；

（3）根据加平分NCOD得出NCON=45。，根据题意画出图形，计算NBOE的角度，然后计算时间即可.

【详解】⑴解：由题意可知，4408=180。，

*/40c=100。，

AZAOC=AOB-NBOC=80°,

OM平分/AOC,

/COM=|ZAOC=40°,

ZMOD=ZCOD-NCOM=50°；

（2）由（1）知，ZAOM=^LAOC-Z.COM=40°,

ABOP=90°-ZAOM=50°,

①当射线OP在NBOC内部时，如图2（1）,

2cop=ZBOC-NBOP=50°：

②当射线OP在N80C外部时，如图2(2),

ZCOP=ZBOC+ZBOP=150°,

综上所述，NCOP的度数为50°或150。：

(3)；QN平分NCQ£),

NCON=-Z.COD=45°,

2

①如图3,

图3

ZCOM=乙CON-AMON=25°,

•.•OM平分NAOC,

ZAOC=24coM=50°,

ABOE=180。-ZAOC-ZBOC=30°,

旋转的时间,=30。+5。=6(秒)；

②如图3(1),

OM平分NAOC，

，ZAOC=2Z.COM=130°,

NCOE=180。—130。=50。，

Z.NBOE=100°-50°=50°,

:,旋转的时间=（360°-50°）+5°=62（秒）：

综上所述，旋转的时间为6秒或62秒.

【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键;

第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，O"和ON的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图.

X中考炼兵

1.（2022•江苏常州•中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直

马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）

A.垂线段最短

B.两点确定一条直线

C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】A

【分析】根据垂线段最短解答即可.

【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短