固体物理学 课件 第5章 自由电子理论

固体物理学1第五章自由电子理论晶体结合晶体结构晶格振动自由电子理论固体能带理论固体原子理论固体电子理论2晶体衍射第五章自由电子理论热容爱因斯坦模型德拜模型原子运动电子运动宏观性质物理模型运动规律电子模型热容电导热导3第五章自由电子理论经典的自由电子理论量子的自由电子理论金属的热容理论导电和导热问题金属热容问题量子理论薛定谔方程统计理论费米-狄拉克统计分布规律4本章主要内容热容随温度变化规律第五章自由电子理论德鲁德模型第一节经典的自由电子理论独立电子近似自由电子近似弛豫时间近似51900年，德鲁德提出经典的自由电子模型：第五章自由电子理论第一节经典的自由电子理论弛豫时间近似6忽略电子与离子实间的作用，电子自由地在晶体中运动。弛豫时间是电子与离子实连续两次碰撞的平均时间间隔。自由电子近似德鲁德模型可以很好地解释金属的导电和导热现象独立电子近似忽略电子间的相互作用，电子独立地运动。第五章自由电子理论第一节经典的自由电子理论1欧姆定律电导率：7可见，电导率与电子气浓度、弛豫时间成正比第五章自由电子理论第一节经典的自由电子理论2电子热容81904年，洛仑兹提出电子气体服从经典的麦克斯韦—玻尔兹曼统计分布规律根据能量均分定理，包含N个价电子的电子气体与实验结果不符第五章自由电子理论第一节经典的自由电子理论3维德曼-弗兰兹定律91853年发现关于热导率和电导率关系的实验定律L为洛仑兹系数第五章自由电子理论第一节经典的自由电子理论4德鲁德模型的理论成就和不足10优点：解释了欧姆定律和维德曼—弗兰兹定律不足：无法解释金属热容随温度变化失败的原因：（2）

根本原因是电子服从经典统计分布规律（1）模型简单，理想气体模型本身不具有合理性（3）导热和导电过程中电子的弛豫时间相同固体物理学11第五章自由电子理论量子自由电子模型：电子运动规律满足薛定谔方程电子的分布服从费米-狄拉克统计规律电子轨道填充遵从泡利不相容原理第二节量子的自由电子理论建立薛定鄂方程可求解电子能量和状态函数121928年，索末菲提出第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论1自由电子的能级和波函数13薛定谔方程分离变量法求解取边长为L的立方晶体中的自由电子第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论1自由电子的能级和波函数14kx、ky、kz是待定参数，由边界条件确定第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论2边界条件15nx为整数第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论2边界条件16nx、ny、nz只需取正整数第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论2边界条件17由归一化条件第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论2边界条件18由nx、ny、nz确定一个量子态能量为能级是简并的第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论2驻波边界条件19波函数为驻波第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论3周期性边界条件20波函数是单向传播的平面波第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论3周期性边界条件21第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论3周期性边界条件22是能量的本征函数驻波条件下的波函数不是动量算符的本征函数周期性条件下的波函数是动量算符的本征函数驻波第五章自由电子理论第二节量子的自由电子理论4状态密度和能态密度23波矢

k

的坐标为状态点均匀分布在整个波矢空间k

称为状态点kxky24点的体积状态密度kxky25球壳内状态点数目能态密度第五章自由电子理论4状态密度与能态密度第二节量子的自由电子理论表示能量在E~E+dE范围内的状态数考虑自旋，则在k~k+dk范围球壳内的量子态数能态密度：量子态按照能量的分布26第五章自由电子理论4状态密度与能态密度第二节量子的自由电子理论27第五章自由电子理论4状态密度与能态密度第二节量子的自由电子理论驻波条件下计算能态密度？28第五章自由电子理论294状态密度与能态密度第二节量子的自由电子理论能态密度变化关系曲线图第五章自由电子理论4状态密度与能态密度第二节量子的自由电子理论思考题：驻波条件下计算能态密度如何？30固体物理学31第五章自由电子理论32状态密度：能态密度：状态点：nx,ny,nz取整数k33kxky电子占据状态点的几率?第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律34EF为费米能量费米-狄拉克统计分布表示：在温度为T的情况下，能量为E的量子态被电子占据的几率。由费米分布函数可计算金属中的总自由电子数第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律35由此可确定费米能量EF费米-狄拉克统计分布表明费米能量与自由电子浓度及温度T有关。第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律36基态T=0K可见，能量高于费米能量的量子态全是空的，能量低于费米能量的量子态全被电子占据。第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律37基态T=0KkxkykF38费米面费米半径费米速度费米球第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律39基态T=0K例

已知T=0K时费米能量，计算费米球内平均每个电子的能量

第五章自由电子理论40费米分布函数基态T=0K总自由电子数费米面费米半径费米速度自由电子平均能量激发态T≠0K电子状态会如何改变呢?能态密度：第五章自由电子理论41第三节自由电子的统计分布规律第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律42激发态T≠0K式中n取正整数可见，比费米能量高几个kBT的量子态仍是空的，比费米能量低几个kBT的量子态仍是满的。第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律43激发态T≠0K可见，温度升高费米能级附近的电子状态发生改变第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律44激发态T≠0K费米球第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律45激发态T≠0K费米能级第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律46激发态T≠0K令：第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律47激发态T≠0K这是关于EF对称的δ函数。第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律48激发态T≠0K定义费米积分将y(E)在费米能级EF附近展开第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律49激发态T≠0KI0I1I2第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律50激发态T≠0KE

→0，x→-∞第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律51激发态T≠0KE

→0，x→-∞是x的奇函数第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律52激发态T≠0K第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律53激发态T≠0K第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律54激发态T≠0K取一级近似，忽略第二项代入第二项取二级近似第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律55激发态T≠0K接近第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律56激发态T≠0K第五章自由电子理论小结57激发态T≠0K第五章自由电子理论58热容定义第四节金属的热容理论晶格振动能量电子的热动能第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律59基态T=0K例1已知金属中自由电子浓度为n，求自由电子的费米能量、费米半径和费米速度。

固体物理学60第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律61激发态T≠0K定义费米积分将y(E)在费米能级EF附近展开第五章自由电子理论第三节自由电子的统计分布规律62激发态T≠0K第五章自由电子理论第四节金属的热容理论631自由电子的平均能量第五章自由电子理论第四节金属的热容理论641自由电子的平均能量第五章自由电子理论第四节金属的热容理论651自由电子的平均能量第五章自由电子理论第四节金属的热容理论661自由电子的平均能量取一级近似代入第二项第五章自由电子理论第四节金属的热容理论671自由电子的平均能量第五章自由电子理论第四节金属的热容理论681自由电子的平均能量可见，第一项是T=0K的平均能量第二项是由于温度升高平均每个电子获得的热激发能量第五章自由电子理论第四节金属的热容理论691自由电子的平均能量第二项远小于经典的这是由于温度升高只有费米面附近少数电子受到热激发，但上式却被所有电子平均。第五章自由电子理论第四节金属的热容理论70