工程数学线性代数同济第五版课件1-5

工程数学线性代数同济第五版课件1-52023REPORTING绪论行列式矩阵向量线性方程组目录CATALOGUE2023PART01绪论2023REPORTING向量矩阵线性空间线性变换线性代数的研究对象向量是线性代数的基本研究对象，包括向量的定义、性质、运算等。线性空间是线性代数的主要研究对象之一，包括向量空间、子空间、基、维数等概念。矩阵是线性代数中的重要概念，用于表示线性变换和线性方程组等。线性变换是线性代数中的核心概念，包括线性变换的定义、性质、矩阵表示等。03几何方法通过几何图形和直观理解来研究线性代数问题，有助于加深对抽象概念的理解。01公理化方法通过定义一组公理来推导其他性质和定理，是数学研究的基本方法之一。02矩阵方法利用矩阵的运算和性质来研究线性代数问题，是工程技术和计算机科学等领域中常用的方法。线性代数的研究方法早期发展线性代数的起源可以追溯到古代中国和古代希腊的数学研究，如《九章算术》中的方程组和《几何原本》中的向量概念。近代发展17世纪以后，随着微积分学和力学的发展，线性代数开始得到广泛应用，并逐渐发展成为一门独立的数学学科。现代发展20世纪以来，随着计算机技术的发展和数学理论的深入，线性代数的应用领域不断扩展，同时其理论和方法也不断得到完善和发展。线性代数的发展历史PART02行列式2023REPORTING行列式的定义与性质行列式的定义由n个数排成的n阶方阵，其元素满足一定的运算规则所得到的数称为n阶行列式。行列式的性质行列式具有线性性、交换性、结合性、倍加性等基本性质。直接计算法根据行列式的定义，直接按照元素的排列顺序进行计算。递推计算法根据行列式的递推关系，逐步简化计算过程。展开计算法利用行列式的性质，将高阶行列式展开为低阶行列式进行计算。行列式的计算克拉默法则的内容对于n个未知数的n个线性方程组成的方程组，如果系数行列式不等于零，则方程组有唯一解，且解可以表示为系数行列式的代数余子式与常数项行列式的比值。克拉默法则的应用克拉默法则在解线性方程组时具有重要作用，尤其当方程组的系数矩阵为方阵且满秩时，可以直接应用克拉默法则求解。同时，克拉默法则也是判断线性方程组解的存在性和唯一性的重要依据。克拉默法则PART03矩阵2023REPORTING矩阵的相等两个矩阵行数相等、列数相等且对应元素相等。矩阵的定义由$mtimesn$个数$a_{ij}$排成的$m$行$n$列的数表称为$m$行$n$列的矩阵，简称$mtimesn$矩阵。矩阵的加法两个矩阵对应元素相加。矩阵与矩阵相乘第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才可以相乘，相乘后结果是一个新的矩阵。数与矩阵相乘用该数乘以矩阵的每一个元素。矩阵的概念与运算对于$n$阶矩阵$A$，如果有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$是单位矩阵，则称$B$是$A$的逆矩阵。矩阵的逆把矩阵$A$的行和列互换所得到的矩阵称为$A$的转置矩阵。矩阵的转置如果矩阵$A$满足$A^T=A$，则称$A$为对称矩阵。对称矩阵010203矩阵的逆与转置在矩阵中，任取$k$行和$k$列，位于这些行和列的交点上的元素按原来的次序构成一个$k$阶行列式，若此行列式不为零，则称此行列式是矩阵的一个$k$阶子式。在矩阵的所有子式中，非零子式的最高阶数称为该矩阵的秩。矩阵的秩由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。初等方阵矩阵的秩与初等变换PART04向量2023REPORTING向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。向量的性质如零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念及其性质。向量的运算包括向量的加法、数乘、点积和叉积等运算。向量的概念与运算线性相关与线性无关若一组向量中至少有一个向量可以由其余向量线性表示，则称这组向量线性相关；否则称这组向量线性无关。线性相关性的判定通过求解齐次线性方程组或计算向量组的秩来判断向量组的线性相关性。线性组合若干个向量通过数乘和加法运算得到的向量称为这些向量的线性组合。向量的线性相关性向量组的秩：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。极大无关组：设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr是S的一个部分组，如果满足以下两个条件，则称α1,α2,...αr是S的一个极大无关组α1,α2,...αr线性无关。向量组S中任意r+1个向量（如果存在）都线性相关。向量组的秩与矩阵的秩的关系：一个m×n矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。向量组的秩与极大无关组PART05线性方程组2023REPORTING由n个未知数和m个线性方程组成的方程组称为线性方程组。线性方程组的概念包括消元法、克拉默法则、矩阵方法等。线性方程组的解法解的存在性、唯一性、无穷多解等。线性方程组的解的性质线性方程组的概念与解法齐次线性方程组的概念常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组。基础解系的概念齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。通解的概念与求法齐次线性方程组的通解可以表示为基础解系的线性组合，即通解=k1*基础解系1+k2*基础解系2+...+ks*基础解系s，其中k1,k2,...,ks为任意常数。齐次线性方程组的基础解系与通解非齐次线性方程组的通解与特解非齐次线性方程组的通解可以表示为特解与对应齐次线性方程组的通解之和，即通解=特解+对应齐次线性方程组的通解