轴对称练习题

轴对称~~~~练习题

选择题（共9小题）

1.（2015•伊春模拟）下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有（）个.

©0懒为

A.4B.3C.2D.1

2.（2010•葫芦岛二模）如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另个侧面

BC上开有一个小孔P,一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看

到光源S所发出的光线（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

3.（2016•德州）如图，在AABC中,ZB=55°,ZC=30°,分别以点A和点C为圆心，大

于J_AC的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则

2

4.（2016•毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）

A.三条高的交点B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点

5.（2016•黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,ZA=50°,则/BDC=

(）

120°D.130°

6.（2016•邵阳）如图所示，点D是aABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD,则下列

结论正确的是（）

AC=BCC.ZA>ZABCD.ZA=ZABC

7.（2014•南充）如图，在AABC中，AB=AC,且D为BC上一点，CD=AD,AB=BD,则

ZB的度数为（）

A.30°B.36°C.40°D.45°

8.（2015•泸州）在平面直角坐标系中，点A（V2-\历），B（3我，3我），动点C在x

轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

9.（2014・聊城）如图，点P是NAOB外的一点，点M,N分别是NAOB两边上的点，点

P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线

上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为（）

6.5cmD.7cm

—.填空题（共10小题）

10.（2012•太谷县校级模拟）如图：梯形中ABCD,AD〃BC,AB=CD=5,BC=6,NC=60。,

直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，Q为CD上一点，那么PQ+CQ的最小

值为.

11.（2015•西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20。,则顶角的度数是.

12.（2014•天津）如图，在RtZ\ABC中，D,E为斜边AB上的两个点，且BD=BC,AE=AC,

则/DCE的大小为（度）.

13.（2014•张家界）若点A（m+2,3）与点B（-4,n+5）关于y轴对称，则m+n=

14.（2015•乳山市一模）如图,已知SAABC=8n?,AD平分NBAC,且AD_LBD于点D,

则SAADC=m2.

15.（2015•黄冈模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2,2）,点Q在坐标轴上，△

PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有一个.

16.（2013•黔西南州）如图，已知4ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，

且CG=CD,DF=DE,贝ljNE=度.

17.（2015♦八步区一模）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm腰

AB的垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则4

BDM的周长最短为cm.

A

18.（2013•安徽模拟）如图，过边长为1的等边aABC的边AB上一点P,作PELAC于E,

Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为.

19.（2015•黑龙江二模）如图，在AABC中，ZC=90°,CB=CA=4,NA的平分线交BC

于点D,若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是.

三.解答题（共5小题）

20.（2011・安徽模拟）如图，D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,CE=DA,

连接DE交AC于F,过D点作DG_LAC于G点.证明下列结论：

（1）AG=XAD；

2

（2）DF=EF；

（3）SADGF=SAADG+SAECF-

21.（2015春•张家港市期末）如图，在AABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC

于点D,交AB于点E.

（1）求证：4ABD是等腰三角形；

（2）若/A=40。，求NDBC的度数；

（3）若AE=6,4CBD的周长为20,求AABC的周长.

E,

----------*C

22.(2014・温州)如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC±,且DE〃

AB,过点E作EFLDE,交BC的延长线于点F.

(1)求NF的度数；

(2)若CD=2,求DF的长.

23.(2015秋•蓬江区期末)如图，在AABC中，AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、

AC边上，且BE=CF,BD=CE.

(1)求证：4DEF是等腰三角形：

(2)当/A=40。时，求NDEF的度数.

24.(2015秋•绍兴校级期末)如图，ZXABC中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别

从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动，已知点M的速度为lcm/s,点N的速度为2cm/s.当

点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.

(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形4AMN?

(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在,

请求出此时M、N运动的时间.

—NB

轴对称~~~~练习题

参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

1.（2015•伊春模拟）下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有（）个.

©0©为

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据轴对称图形的概念：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形.求解

【解答】解：（1）（2）（4）都不是轴对称图形，只有（3）是轴对称图形.

故选B.

【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互

相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.

2.（2010•葫芦岛二模）如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面

BC上开有一个小孔P,一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看

到光源S所发出的光线（）

【分析】根据光线的反射，即可确定.

【解答】解：有.4条：分别是：由S发出的线SP；

由S发出，经过AD反射直接通过P的光线；

由S发出，经过CD反射直接通过P的光线；

由S发出，经过CD反射再经过AD反射通过P的光线.

故选：D.

【点评】本题主要考查了生活中的轴对称问题;结合对称的知识画出图形是解答本题的关键.

3.（2016•德州）如图,在AABC中，NB=55。,ZC=30°,分别以点A和点C为圆心,大

于LAC的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则

2

/BAD的度数为（)

A.65°B.60°C.55°D.45°

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到NC=NDAC,

求得/DAC=30。，根据三角形的内角和得到NBAC=95。，即可得到结论.

【解答】解：山题意可得：MN是AC的垂直平分线，

则AD=DC,故/C=NDAC,

ZC=30°,

.".ZDAC=30°,

,/ZB=55\

；./BAC=95°,

/.ZBAD=ZBAC-ZCAD=65°,

故选A.

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分

线的性质是解题关键.

4.（2016•毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）

A.三条高的交点B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点

【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可.

【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交

点，

故选：D.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等是解题的关键.

5.（2016♦黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,NA=50。，则/BDC=

)

120°D.130°

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC,根据等腰三角形的性质得到NDCA=NA,

根据三角形的外角的性质计算即可.

【解答】解：:DE是线段AC的垂直平分线，

；.DA=DC,

，/DCA=/A=50。，

ZBDC=ZDCA+ZA=100°,

故选:B.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分

线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

6.（2016•邵阳）如图所示，点D是AABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD,则下列

结论正确的是（）

A.AOBCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.ZA=ZABC

【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD得到/A=/ABD,所以NABC>N

A,则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断.

【解答】解：；AD=BD,

AZA-ZABD,

AZABOZA,所以C选项和D选项错误；

.\AOBC,所以A选项正确；B选项错误.

故选A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相

等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

7.（2014•南充）如图，在aABC中，AB=AC,且D为BC上一点，CD=AD,AB=BD,则

ZB的度数为（）

A.30。B.36°C.40°D.45°

【分析】求出NBAD=2/CAD=2NB=2/C的关系，利用三角形的内角和是180。，求NB,

【解答】解：；AB=AC,

：.ZB=ZC,

VAB=BD,

；./BAD=/BDA,

VCD=AD,

；./C=/CAD,

ZBAD+ZCAD+ZB+ZC=180°,

/.5ZB=180o,

.".ZB=36"

故选：B.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出/

BAD=2NCAD=2NB=2/C关系.

8.（2015•泸州）在平面直角坐标系中，点A（近,、历），B（3我，3我），动点C在x

轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴

的交点，即可求出点Ci的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径

画弧，与x轴的交点为点C2、C3:最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与

x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可.

【解答】解：如图，

VAB所在的直线是y=x,

设AB的中垂线所在的直线是y=-x+b,

••,点A（&,亚，B（3A/2-3&）,

；.AB的中点坐标是（2近，2近），

把x=2&,y=2&｛弋入y=-x+b,

解得b=4我，_

...AB的中垂线所在的直线是y=-x+4&,

ACi（472-0）

以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3;

AB=J（哂-&）2+（蚯-加产%

近>4,

，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点.

综上，可得

若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3.

故选：B.

【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟

练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等.②等腰三角形的两个底角相

等.③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的距

离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在

由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.

9.（2014•聊城）如图，点P是/AOB外的一点，点M,N分别是/AOB两边上的点，点

P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线

上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为（）

【分析】利用轴对称图形的性质得出PM=MQ,PN=NR,进而利用MN=4cm,得出NQ的

长，即可得出QR的长.

（解答］解：•.•点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R

落在MN的延长线匕

，PM=MQ,PN=NR,

".'PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,

/.RN=3cm,MQ=2.5cm,

即NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm）,

则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）.

故选：A.

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ,PN=NR是解题关键.

二.填空题（共10小题）

10.（2012•太谷县校级模拟）如图：梯形中ABCD,AD〃BC,AB=CD=5,BC=6,NC=60。,

直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，Q为CD上一点，那么PQ+CQ的最小

值为—.

【分析】根据巴知得出四边形ABCD是等腰梯形，得出BCLMN,得出当P在NM和BC

的交点上，Q在C上时，PQ+CQ最小，求出即可.

【解答】解：；AD〃BC,AB=CD,

梯形ABCD是等腰梯形，

VMN是等腰梯形的对称轴，

ABC1MN,

当P在NM和BC的交点上，Q在C上时，PQ+CQ最小，最小值是工X6+0=3.

2

故答案为：3.

【点评】本题考查了梯形和轴对称-最短路线问题的应用，关键是求出P和Q的位置，题

目比较好，但是一道比较容易出错的题目.

11.（2015•西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20。,则顶角的度数是—.

【分析】本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种

情况.

【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部.

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90。+20。=110。；

当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，

故顶角是90°-20°=70°.

故答案为：110。或70。.

【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况.其中考查了直角三角形的两个

锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

12.（2014•天津）如图，在RtZ\ABC中，D,E为斜边AB上的两个点，且BD=BC,AE=AC,

则/DCE的大小为（度）.

【分析】设NDCE=x,NACD=y,贝ljNACE=x+y,ZBCE=90°-ZACE=90°-x-y,根据

等边对等角得出NACE=/AEC=x+y,NBDC=NBCD=NBCE+/DCE=90°-y.然后在△

DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+(90。-y)+(x+y)=180。，解方程即可求出/

DCE的大小.

【解答】解：设NDCE=x,ZACD=y,贝l」NACE=x+y,ZBCE=90°-ZACE=90°-x-y.

：AE=AC,

/.ZACE=ZAEC=x+y,

VBD=BC,

ZBDC=ZBCD=ZBCE+ZDCE=90°-x-y+x=90°-y.

在ADCE中，VZDCE+ZCDE+ZDEC=180°,

，x+(90°-y)+(x+y)=180",

解得x=45°,

ZDCE=45".

故答案为：45.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是

解题的关键.

13.(2014♦张家界)若点A(m+2,3)与点B(-4,n+5)关于y轴对称，则m+n=.

【分析】根据"关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数"列出方程求解即可.

【解答】解：•.,点A(m+2,3)与点B(-4,n+5)关于y轴对称，

m+2=4,3=n+5,

解得：m=2,n=-2,

m+n=0>

故答案为：0.

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐

标规律：

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

14.(2015•乳山市一模)如图，已知S/xABC=8m2,AD平分NBAC,且AD_LBD于点D,

则SAADC=m2.

【分析】延长BD交AC于点E,则可知4ABE为等腰三角形，则S/XABD=SAADE，S^BDC=S

△CDE，可得出SAADC=-^-SAABC.

2

【解答】解：如图，延长BD交AC于点E,

：AD平分/BAE,AD1BD,

.,.ZBAD=ZEAD,NADB=NADE,

在4ABD和4AED中，

'/BAD=NEAD

<AD=AD，

ZBDA=ZEDA

.,.△ABD^AAED(ASA),

，BD=DE,

•,SAABD=SAADE，SABDC=SACDE,

•'•SAABD+SABDC=SAADE+SACDE-SAADC>

x2

SAADC=-^SAABC=—8=4(m),

22

故答案为：4.

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由得至

BD=DEijSAABD=SAADE，SABDC=S

ACDE是解题的关键.

15.(2015•黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,2),点Q在坐标轴上，△

PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有一个.

【分析】根据点Q在坐标轴上，分在x轴和y轴两种情况，利用勾股定理求出PQ的长度即

可判定.

【解答】解：；P(2,2),

OP=J22+2—2，^,

.••当点Q在y轴上时，Q点的坐标分别为(0，2&)(0,-2我)(0,4)(0,2)；

当点Q在x轴上时，Q点的坐标分别为(2&,0)(-2&,0)(4,0)(2,0).

所以共有8个.

故答案为：8.

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是利用勾股

定理求出OP的长，此题难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握.

16.(2013♦黔西南州)如图，已知AABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，

且CG=CD,DF=DE,贝I」NE=度.

【分析】根据等边三角形三个角相等，可知/ACB=60。，根据等腰三角形底角相等即可得出

NE的度数.

【解答】解：••.△ABC是等边三角形，

ZACB=60°,ZACD=120°,

VCG=CD,

ZCDG=30。，ZFDE=150°,

VDF=DE,

.".ZE=15".

故答案为：15.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180。以及等腰三角形的性质，难度

适中.

17.(2015♦八步区一模)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm腰

AB的垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△

BDM的周长最短为cm.

【分析】连接AD,山于AABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADLBC,再根

据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直

线EF的对称点为点A,故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【解答】解：连接AD,

「△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

AADIBC,

SAABC=—BC*AD=4XAD=12,解得AD=6cm,

22

「EF是线段AB的垂直平分线，

...点B关于直线EF的对称点为点A,

AAD的长为BM+MD的最小值，

/.△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+^BC=6+l-X4=6+2=8cm.

22

故答案为：8.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题

的关键.

18.（2013•安徽模拟）如图，过边长为1的等边4ABC的边AB上一点P,作PE1AC于E,

Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为.

【分析】过P作PF〃BC交AC于F,得出等边三角形APF,推出AP=PF=QC,根据等腰三

角形性质求出EF=AE,iiHAPFD^AQCD,推出FD=CD,推出DE=L\C即可.

2

【解答】解：过P作PF〃BC交AC于F.

VPF/7BC,aABC是等边三角形，

.,.ZPFD=ZQCD,4APF是等边三角形，

；.AP=PF=AF,

VPE1AC,

；.AE=EF,

VAP=PF,AP=CQ,

.\PF=CQ.

•.•在4PFD和AQCD中，

，ZPFD=ZQCD

-NPDF=NQDC，

PF=CQ

/.△PFD^AQCD(AAS),

；.FD=CD,

VAE=EF,

，EF+FD=AE+CD,

，AE+CD=DE=J_AC,

2

：AC=1,

；.DE=L

2

故答案为：L.

2

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性

质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题

培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中.

19.（2015•黑龙江二模）如图，在AABC中，ZC=90°,CB=CA=4,/A的平分线交BC

于点D,若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是.

【分析】两点之间线段最短，所以当点C、P、Q三点共线时，CQ+PQ的最小.如图，作点

P关于直线AD的对称点P',连接BP',则直线BP'与直线AD的交点即为所求的Q点.

【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P,连接CP'交AD于点Q,则

CQ+PQ=CQ+P'Q=CP'.

,根据对称的性质知△APQg/XAP'Q,

.•.NPAQ=/P'AQ.

又；AD是/A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，

...NPAQ=/BAQ,

：.ZP'AQ=NBAQ,

...点P'在边AB上.

•.,当CP'_LAB时,线段CP，最短.

•在AABC中，ZC=90°,CB=CA=4,

.,.AB^CB2+CA2=4V2-且当点P'是斜边AB的中点时，CP'±AB,

此时CP'=LAB=2点,即CQ+PQ的最小值是2点.

_2

故填：2注.

【点评】本题考查了轴对称--最短路线问题.此题属于易错题，学生们在解题时往往没有

先证明点P'在边AB上，而直接利用等腰直角三角形的性质来求CP'线段的长度.

三.解答题（共5小题）

20.（2011•安徽模拟）如图，D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,CE=DA,

连接DE交AC于E过D点作DGLAC于G点.证明下列结论：

（1）AG=1AD；

2

（2）DF=EF；

（3）SADGF=SAADG+SAECF-

G

D

BCE

【分析】(1)由等边△ABC,DG±AC,可求得NAGD=90。，NADG=30。，然后根据直角三

角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG=LkD；

2

(2)首先过点D作DH〃BC交AC于点H,易证得AADH是等边三角形，又由CE=DA,

可利用AAS证得Z\DHF&Z\ECF,继而可得DF=EF；

(3)由AABC是等边三角形，DGJ_AC,可得AG=GH,即可得SAADG=SAHDG，又由△DHF

丝Z\ECF,即可证得SADGF=SAADG+SAECF-

【解答】证明：(1)•.'△ABC是等边三角形，

/A=60。，

VDG1AC,

ZAGD=90",NADG=30°,

;.AG=XAD；

2

(2)过点D作DH〃BC交AC于点H,

AZADH=ZB,ZAHD=ZACB,ZFDH=ZE,

VAABC是等边三角形，

.\ZB=ZACB=ZA=60%

ZA=ZADH=ZAHD=60",

AADH是等边三角形，

，DH=AD,

VAD=CE,

，DH=CE,

在△DHF和AECF中，

，ZFDH=ZE

<ZDFH=ZEFC>

DH=CE

.,.△DHF^AECF(AAS),

，DF=EF；

(3)♦:△ABC是等边三角形，DG_LAC,

；.AG=GH,

•'•SAADG=SAHDG»

VADHF^AECF,

•'•SADHF=SAECF»

•'•SADGF=SADGH+SADHF=SAADG+SAECF-

A

【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30。直角三

角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

21.(2015春•张家港市期末)如图，在aABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC

于点D,交AB于点E.

(1)求证：4ABD是等腰三角形；

(2)若/A=40。，求/DBC的度数；

(3)若AE=6,4CBD的周长为20,求AABC的周长.

【分析】(1)根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；

(2)首先利用三角形内角和求得NABC的度数，然后减去NABD的度数即可得到答案；

(3)将4ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得.

【解答】解：(1)证明：「AB的垂直平分线MN交AC于点D,

DB=DA,

.♦.△ABD是等腰三角形；

(2),•△ABD是等腰三角形,NA=40。，

.*.ZABD=ZA=40",ZABC=ZC=(180°-40°)+2=70°

ZDBC=ZABC-ZABD=70°-40°=30°；

(3)；AB的垂直平分线MN交AC于点D,AE=6,

；.AB=2AE=12,

•.,△CBD的周长为20,

.•.AC+BC=20,

.,.△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32.

【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单,

属于基础题.

22.(2014•温州)如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC±,且DE〃

AB,过点E作EFLDE,交BC的延长线于点F.

(1)求/F的度数；

(2)若CD=2,求DF的长.

A

E

B

【分析】(1)根据平行线的性质可得/EDC=/B=60。，根据三角形内角和定理即可求解;

(2)易证4EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.

【解答】解：(1)「△ABC是等边三角形，

ZB=60",

：DE〃AB,

.•.ZEDC=ZB=60°,

VEF1DE,

ZDEF=90°,

ZF=90°-ZEDC=30°；

(2)VZACB=60°,ZEDC=60°,

...△EDC是等边三角形.

；.ED=DC=2,

ZDEF=90°,NF=30°,

.*.DF=2DE=4.

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对

的直角边等于斜边的一半.

23.(2015秋•蓬江区期末)如图，在AABC中，AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、

AC边上，且BE=CF,BD=CE.

(1)求证：4DEF是等腰三角形；

(2)当/A=40。时，求/DEF的度数.

E

【分析】(1)山AB=AC,ZABC=ZACB,BE=CF,BD=CE.利用边角边定理证明4DBE

丝ZXCEF,然后即可求证4DEF是等腰三角形.

(2)根据NA=40。可求出/ABC=NACB=70。根据4DBE丝ACEF,利用三角形内角和定理

即可求出/DEF的度数.