新教材2023版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第3课时空间中直线平面的垂直课件新人教A版选择性必修第一册

第3课时空间中直线、平面的垂直[课标解读]

1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系．新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习教材要点要点空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔________⇔____________________．线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔_______⇔_______⇔______________________(λ∈R)．面面垂直设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β

⇔________⇔________⇔________________．u·v＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0u∥nu＝λn(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)n1⊥n2n1·n2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0状元随笔(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直．(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行．(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(

)(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(

)(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(

)(4)如果一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量．(

)×√××2．若直线l1，l2的方向向量分别为m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，则这两条直线(

)A．平行

B．垂直C．异面垂直

D．垂直相交答案：B解析：因为m·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，所以m⊥n，所以l1⊥l2.3．直线l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，则有(

)A．l∥α

B．l⊂α或l∥αC．l与α斜交D．l⊥α答案：D解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)，∴a＝－n，则a∥n，所以l⊥α.4．平面α的一个法向量是(1，2，3)，平面β的一个法向量是(3，0，－1)，则平面α与β的位置关系是(

)A．平行

B．相交且不垂直C．相交且垂直D．不确定答案：C解析：因为(1，2，3)·(3，0，－1)＝1×3＋2×0＋3×(－1)＝0，所以平面α⊥平面β.5．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．5解析：∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.题型探究·课堂解透题型1利用向量方法证明线线垂直例1如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.

方法归纳利用向量方法证明线线垂直的2种方法巩固训练1

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.

题型2利用向量方法证明线面垂直例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.

方法归纳利用坐标法证明线面垂直的2种方法及步骤巩固训练2

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.

题型

3利用向量方法证明面面垂直例3

在四面体ABCD中，