变系数递推数列型的通项公式的一个基本解法

变系数递推数列型的通项公式的一个基本解法湖南邵阳绥宁二中林安书邮编422606数列问题是高考重点考查的内容之一，而数列的通项则是这一内容的基础。求数列的通项，其题型多样，解法灵活，学生难以掌握，因而我们在教学中应特别注重对学生进行这方面的题型训练。本文就题型来介绍它的通项的一个基本解法，希望能给同学们有所帮助，同时也给同行做个参考。一、型的数列通项的解法：方法1、先尝试用待定糸数法来求，即将设为：+x=f(n)(+x),若x是一个与n无关的常数，此时我们可设+x=，则原式可变为=f(n),即f(n)=,这时我们可以用累乘法:即=f(1)f(2)f(3)…f(n-1)来求出，再根据+x=求出；若x不是一个与n无关的常数，则我们用下面的方法2来求。方法２、在中，将f(n)设为，即f(n)=,然后我们用累乘法：即f(1)f(2)f(3)…f(n-1)求出，则变为，这时我们令=，则又变为+h(n)型，此时我们可以用遂差累加法即：求出，从而根据=可求出。说明：在此法中，我们要注意以下下两点：⑴在式中我们不要将f(n)设为，即不要设f(n)=，请同学们思考：这是为什么？⑵在f(n)=式中，从f(n)的结构上，我们能否看出。有时候对，我们很容易看出等于多少。比如：f(n)=,我们容易看出=n+1；有时候需要对f(n)进行适当的变形，比如f(n)=,我们令=n+1是不行的，这时我们需要对f(n)=进行适当的变形，将f(n)=变为：f(n)=,此时我们可令=。只是对这种变形难度比较大，我们不容易想到。因此一般情况下我们是根据f(n)=，利用累乘法来求出的，从而求出。这种方法应是此种题型中求的一个通性通法。二、例题讲解。例1①在在已知数列{}中，=0，=+，求；解：先尝试用待定糸数法来求，将=+设为：+x=(+x),比较糸数求得x=,从而+=（+），设+=，且，即式子+=（+）变为：=，∵=，∴=，由+=，得=―=—=故所求的通项公式为=②在已知数列{}中，=2，=n+n―1，求；解：先尝试用待定糸数法来求，将=n+n―1设为：+x=n(+x),比较糸数求得x=1,从而+1=n(+1),设+1=，且+1=3，即变为：=n,∵==3=3(n-1)!∴由+1=，得=—1=3（n—1）！—1故所求的通项公式为=3（n-1）!—1例2、①在已知数列{}中，=3，（n+1）―n=2,求；解：方法1、由已知条件，得=—，并将此式设为：+x=(+x),比较糸数求得:x=—2，从而有—2=（—2），设—2=，且=—2=1，即变为：=，∵==1=n,∴由—2=，得=+2=n+2故所求的通项公式为=n+2方法2、由已知条件，得=—，这时令=n+1是不行的，我们要将它变为：=—，设=，且==3，即变为：=—，从而有—=—=2（—），由逐差累加法，得=（—，∴=2（，∴=2+1，由=，得=n+2,故所求的通项公式为=n+2这种方法关键是要将=—变为=—，这是我们不容易想到的。方法3、我们用通性通法来求，由=—，令=，用累乘法求出，∵=n∴=,至于等于多少没有关糸，这时=—变为：=—，即=—，其解法与方法2相同，此处略。②在已知数列{}中，=2，=+，求；解：方法1、用待定糸数法来求，此处略。方法2、将=+变为：=+，即再变为：（n+1）(n+2)=n(n+1)+2(n+1),令n(n+1)=，且=4，即为：=+2（n+1）,从而有—=2（n+1）,由逐差累加法，得:=（—∴=2[n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+]+4=2=n(n+1)+2,由n(n+1)=，得==，故所求的通项公式为=。说明：我们将=+变为：=+是难以想到的。下面我们用通法来求：方法3、在式子=+中，令=，∵=，∴=，从而=+变为=+，其解法与方法2相同，此处略。例3①在已知数列{}中，=2，=+(n≥2)，求；解：分析：若用待定糸数法将=+设为：+x=(+x),比较糸数求得:x=n(n-1),即：+n(n+1)=[+n(n+1)]，因为x=n(n+1)是一个与n有关的变数，而不是一个常数。因此等式两边的结构不相同，故不太好求的。方法1、将=+两边同除以，变为：，容易知道数列{}是首项为4，公差为1的等差数列，所以=4+（n—1）1，∴=为所求。方法2、将=+变为：=+，即：，以下解法与方法1相同，略。从上可知，方法1、方法2的变形我们确实不太容易想到。下面我们用基本法来求:方法3、在=+5式子中，令=(n≥2)，即为=，∵=∴=，从而=，故=+变为：=+，即，此时与解法1相同，略。②已知数列{}中，=2，=n+(n+1)!,求:解：方法1、在=n+(n+1)!两边同除以n!,得，令且=2：，即，由=（—，=n+(n—1)+（n—2）+（n—3）+=，由，得=（n-1）!即为所求的通项公式。方法2、在=n+(n+1)!中，令n=,∵23=(n-1)!∴=故=n+(n+1)!变为了：=+（n+1）！即为，以下与解法1相同，略。例4①在已知数列{}中，=1，，求；解：方法1、当n=1时，即得：，此式恒成立，说明R，当n≥2时，由原式得：=—，将它变为：=—，即：=—，令=（n≥2），且,即又变为了：=—（n≥2）从而得—=—（n≥2），由=（—+，得=（—=—1+=—1+，由=得：=n—n(n-1)+n(n-1)=—（n≥2），此时=1子也适合这个式子，故所求的通项公式为：=—。方法2、当n=1时，，，此式恒成立，说明R当n≥2时，由原式得：=—，设=（n≥2），用累乘法得：,所以=，从而将=—变为了：=—，以下解法与方法1相同。以上看出，对于题型的通项的求法有一定的变形技巧，如果设f(n)=，再利用累乘法求出,就转化为这个我们所熟悉的题型了，利用遂差累加法我