倍角与半角公式

§倍角與半角公式主題1：倍角公式1.二倍角公式：(1)(2)(3)2.三倍角公式：(1)(2)(3)(4)(5)※※【函數值的正負由所在象限與函數定義判別之】※轉換公式：(1)，(2)，(3)。(4)；

※重要範例1.設，sin，則(1)sin2。(2)cos2。【解答】(1)(2)【詳解】，sincos

(1)sin22sincos2．．()

(2)cos212sin212．()22.設，sincos，則(1)sin2。(2)sincos。【解答】(1)(2)【詳解】(1)sincos

sin22sincoscos21sin2sin2

(2)(sincos)2sin22sincoscos21()sincos

∵2∴sincos故sincos3.設sincos，0，則(1)sin2。(2)cos。【解答】(1)(2)【詳解】(1)由sincossin22sincoscos2

∴1sin2sin2

(2)∵cos或

又0且sincos∴sin0，cos0，故cos隨堂練習.若2且sincos，則cos。【解答】【詳解】因為2，所以sin0，cos0

將sincos平方，得12sincos∴2sincos

其次，因為(sincos)212sincos1∴sincos（取負號）

將sincos及sincos兩式相減，得2cos∴cos4.設tan3，則sin2。【解答】【詳解】∵tan3∴sin，cos

sin22sincos2．．()隨堂練習.設tant，以t表出：(1)tan。(2)sin2。【解答】(1)(2)【詳解】(1)tan

(2)sin25.設0x2，cos2x5cosx30之解為。【解答】【詳解】cos2x5cosx302cos2x15cosx30

2cos2x5cosx20cosx或2（不合）

∴6.設sin，cos為方程式x2pxq0的二根，試以p，q表2cos2(cossin)2。【解答】1pq【詳解】∵sin，cos為x2pxq0的二根∴sincosp，sin．cosq

故2cos2(cossin)2(1cos)(cos22sincossin2)

(1cos)(1sin)1(sincos)sincos1(p)q1pq7.求下列各值：(1)cos2。

(2)cos20cos40cos80。【解答】(1)2【詳解】(1)原式

4(coscoscoscos)2

(2)cos20cos40cos80

隨堂練習.coscoscos之值為。【解答】【詳解】

coscoscos

8.在△ABC中，若，試判斷此三角形的形狀。【解答】等腰或直角三角形【詳解】sin2AcosCcosAsinB∴2sinAcosAcosCcosAsin(π(AC))

∴2sinAcosAcosCcosAsin(AC)∴cosA[2sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)]0

∴cosA(sinAcosCcosAsinC)0∴cosAsin(AC)0

故當cosA0，則A90；而當sin(AC)0，則AC，故為等腰或直角三角形9.試求tan9tan27tan63tan81之值。【解答】4【詳解】tan9tan27tan63tan81(tan9tan81)(tan27tan63)

(tan9cot9)(tan27cot27)()()

410.試證：tan()tan()2sec2。【證明】tan()tan()

2sec211.利用cos34cos33cos，證明：sin18。【證明】令18∴5903902

∴cos3cos(902)4cos33cossin22sincos

4cos232sin4(1sin2)32sin

4sin22sin10sin

但sin0∴sin

12.證明：sin10為無理數。【證明】(1)由3(10)30sin3(10)sin303sin104sin310

8sin3106sin1010∴sin10為f(x)8x36x10的根

(2)而0sin10sin30

利用有理根檢查定理，f(x)0在區間(0，)的可能有理根為，

但f()0，f()0∴f(x)0在0x中沒有有理根

(3)由(1)(2)知，sin10為f(x)0的無理根，故sin10是無理數.隨堂練習.試證cos40為無理數。【證明】1令403120∴cos3cos1204cos33cos

∴8cos36cos10，故cos40為8x36x10之一根

2考慮8x36x10的有理根，設為，a，b互質，則a|8，b|1

∴之可能值為1，，，

經代入方程式8x36x10均不能滿足∴8x36x10沒有有理根

但cos40為8x36x10之根，故cos40為無理數13.(1)試證：sinsin(60)sin(60)sin3。

(2)利用(1)的結果，求sin20sin40sin80的值。【解答】(1)略(2)【詳解】

(1)sinsin(60)sin(60)sin(sin60coscos60sin)(sin60coscos60sin)

sin(cossin)(cossin)sin(cos2sin2)

(3sincos2sin3)[3sin(1sin2)sin3](3sin4sin3)sin3

(2)利用(1)

sin20sin40sin80sin20sin(6020)sin(6020)

sin(3．20)sin60．

14.設f(x)4x33x3，求f(x)除以xsin20之餘式。【解答】3【詳解】f(sin20)4sin3203sin203

(3sin204sin320)3sin6033隨堂練習.多項式f(x)4x33x5除以xsin20的餘式為。【解答】5【詳解】∵f(x)除以xc的餘式為f(c)∴f(x)除以xsin20的餘式為

f(sin20)4sin3203sin2055(3sin204sin320)5sin(320)5隨堂練習.以xcos40除f(x)3x4x3之餘式為。【解答】【詳解】由餘式定理以xcos40除f(x)3x4x3的餘式為f(cos40)

f(cos40)3cos404cos340(4cos3403cos40)

cos(340)cos120()15.函數f(x)cos22x2sin2x，xR。(1)f(x)的最小值為。(2)f(x)的最大值為。【解答】(1)(2)3【詳解】f(x)cos22x2sin2x(12sin2x)22sin2x4sin4x2sin2x14(sin2x)2∵1sinx1∴0sin2x1

故(1)sin2x時，f(x)為最小值(2)sin2x1時，f(x)3為最大值隨堂練習.設0x2π，求函數f(x)sin22x3cos2x的最小值，並求此時的x值。【解答】3；x0，π，2π【詳解】f(x)sin22x3cos2x(1cos22x)(1cos2x)

cos22xcos2x(cos2x)2

因為0x2π，故得1cos2x1，因此當cos2x1時，f(x)有最小值3

此時2x0，2π，4π，亦即x0，π，2π

16.函數f(t)sin22t3cos2t在0t2的範圍內，其最大值為。【解答】【詳解】f(t)(1cos22t)3．(cos2t)2

cos2t時，f(t)為最大值，故f(t)之最大值為隨堂練習.設xR，f(x)2sinxcosxsin2x。(1)令tsinxcosx，請以t表示f(x)。(2)求f(x)之最小值為。【解答】(1)t2t3(2)1【詳解】f(x)sinxcosxsin2x2

(1)令tsinxcosx，則t212sinxcosx1sin2xsin2xt21且

∴f(x)t(t21)2t2t3，

(2)f(x)t2t3(t2t)(t)2

當t時，f(x)()21為最小值隨堂練習.設f()sinsin3，為任意實數，求f()之：(1)最大值。(2)最小值。【解答】(1)(2)1【詳解】f()sinsin3sin(3sin4sin3)4sin43sin24(sin4sin2)

4(sin2)24．4(sin2)2

∵∴0，令sin2t

則yf()4(t)2

當t時，y有Max，當t1時，y有min1

17.設，求sin4xcos4x的最大值與最小值。【解答】最大值；最小值【詳解】(1)sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x

1(2sinxcosx)21sin22x11(1cos4x)cos4x

(2)1cos4x

∴最大值，最小值隨堂練習.求8(cos4sin4)在[，]區間上的最大值M與最小值m。【解答】7；4【詳解】18(cos4sin4)8[(cos2sin2)22sin2cos2]8(1sin22)

22

sin2時，M8[1()2]7最大，sin21時，m8(1．1)4最小18.設xR，f(x)之最大值為。【解答】【詳解】令ttan，則sinx，cosx

yf(x)，y(2y3)t22yt(2y1)0，tR

判別式D4y24(4y24y3)0

3y24y30y

∴最大值為隨堂練習.設f：R→R定義為f(x)，試求f(x)的最大值與最小值。【解答】最大值為，最小值為【詳解】∵sinx，cosx，令tant，則sinx，cosx，tR

∴f(x)

令y，則2y2yt2yt23t2(2y1)t22yt(2y3)0

∵tR∴(2y)24(2y1)(2y3)0

y2(2y1)(2y3)0y24y28y30

3y28y303(y)(y)0

∴y，故y的最大值為，最小值為19.設sincos1，coscos0，則cos2cos2，sin4cos4。【解答】2；1【詳解】∵

22得sin2cos212coscos2cos2

112cos2cos22cos(cos1)0

∴cos0或cos1

(1)若cos0，則sin1，cos0

∴cos2cos2(2cos21)(2cos21)(01)(01)2

sin4cos4101

(2)若cos1，則sin0，cos1

∴cos2cos2(2cos21)(2cos21)

2(1)212．12121212

sin4cos4011

隨堂練習.設sinsin1，coscos0，則sin2sin2。【解答】0【詳解】

112sinsin2cos2sin

∴sinsin且

sin2sin22sincos2sincos2．0隨堂練習.設sinxsiny1，cosxcosy0，求cos2xcos2y之值。【解答】1【詳解】由已知可得

將22，得sin2ycos2y(12sinxsin2x)cos2x∴sinx，代入得siny

故cos2xcos2y(12sin2x)(12sin2y)(1)(1)120.某人由平面上一點A測得正東方一塔仰角為，由A向塔底前進100公尺至B點測得塔頂之仰角為2，再前進40公尺至點C測得塔頂之仰角為3，試求塔高。【解答】25公尺【詳解】如圖，∠DAE，∠DBE2，∠DCE3，故得

∠AEB∠BEC，所以100，而∠BCEπ3

在△BCE中，由正弦定理得2sin35sin

∴2(3sin4sin3)5sin∴sin(8sin21)0

∵sin0∴8sin21∴sin，cos

故塔高h100sin2200sincos200．．25公尺

21.△ABC的三邊長為三個連續整數，且最大角為最小角的二倍，求此△ABC的三邊長。【解答】4，5，6【詳解】設三邊長為x，x1，x2，三內角為，1803，2

(1)由正弦定理：∵sin0cos

(2)再由正弦定理：

34sin2

(3)由(1)(2)得34(1cos2)14()2

x23x40x4或x1（不合）

(4)∴三邊長為4，5，6

主題2：半角公式1.註：正負號是由，，本身之正負