数列通项公式的求法(较全面)

数列通项公式的求法观察法:给出前n项，写出它的通项公式方法：观察、归纳，抓住第n项与n的关系。二、公式法：利用等差数列、等比数列的通项公式等差数列：或等比数列或利用前n项和：由与的关系求通项公式方法：如：已知数列的前项和为，求数列的通项公式；解：（1）当（2）当时，故即分析：本题并非为数列的前n项和。而是数列的前项和，增加了难度。如：(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足＞1且6=n∈求{}的通项公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴从而{}是首项为2，公差为3的等差数列，故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.如：(07陕西理22)已知各项全不为0的数列{}的前k项和为，且=(k∈)其中=1，求数列{}的通项公式。解：当k=1时，=及=1得=2；当k≥2时，由==得=2∵≠0∴=2从而=1+(m-1)2=2m-1=2+(m-1)2=2m(m∈)故=k(k∈).如：(07福建文21)数列{}的前n项和为，=1，(n∈),求{}的通项公式。解：由=1，=2，当n≥2时==得=3，因此{}是首项为=2，q=3的等比数列。故=(n≥2),而=1不满足该式所以=。如：(06全国Ⅰ理22)该数列{}的前n项和(n=1、2、3……)求{}的通项公式。解：由(n=1、2、3……)…①得=所以=2再=（n=2、3…）…②将①和②相减得：==整理得（n=2、3…）因而数列{}是首项为,q=4的等比数列。即==，因而。累加、累乘1、形如方法：累加法2、形如方法：累乘法如：（1）已知数列满足，试用表示.（2）已知数列满足的通项.解：（1）由递推式得…共个式子相加得，.（2）当时，…，；当时，满足故五、构造数列类型1（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。如：数列：=1,当时，有+2，求.解：由+2，两边同加1，得（）故是以为首项，公比为3的等比数列，故.说明:本题亦可由，+2（）两式相减得：得为等比数列求解．类型2如：设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;（2）本题也可由,（）两式相减得转化为求之.类型3（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。如：已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列，其中为常数，使之为公比是的系数2的等比数列。解：构造数列，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列即=整理得：=满足=得∴新数列是首项为=，q=2的等比数列∴=∴=如:数列{}满足=()，首项为，求数列{}的通项公式。解：=两边同除以得=+1∴数列是首项为=1，d=1的等差数列∴=1+故=类型4（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。如：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是故取倒数解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。如：已知数列{}，=，，求=？解：把原式变形得两边同除以得∴是首项为，d=的等差数列故∴。如：（06江西理22）已知数列{}满足，且（）求数列{}的通项公式。解：把原式变形成两边同除以得即……⑴构造新数列，使其成为公比q=的等比数列即整理得：满足⑴式使∴∴数列是首项为，q=的等比数列∴∴。如：（06江西文22）已知各项均为正数的数列{}满足：，且求数列{}的通项公式。解：把原式变形为两边同除以得移项得：所以新数列是首项为q=2的等比数列。故解关于的方程得。六、取对数解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。如：已知，，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。七、特征根法（、）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。如：已知，（），求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得则，，即，从而，。八、归纳猜想法解法：数学归纳法如：设数列的前和为,满足，且.(1)求的值;(2)求数列的通项公式;九：周期法解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。如：若数列满足，若，