高等代数§75对角矩阵

§7.5对角矩阵一、可对角化的概念二、几个引理四、对角化的一般方法三、可对角化的条件1定义1：设是维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化.矩阵，则称矩阵A可对角化.定义2：矩阵A是数域上的一个级方阵.如果存在一个上的级可逆矩阵，使为对角一、可对角化的概念2即几何重数不超过代数重数.证明.二、几个引理1.设是的特征值,则的重数2.(Th.8)设为n维线性空间V的一个线性变换,如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，则线性无关.证明.3证明.二、几个引理特征值的线性无关的特征向量，则向量线性无关.3.(Th.9)

设为线性空间V的一个线性变换，是的不同特征值，而是属于4在域中有个不同的特征值.则可对角化若2.(Cor.1)设为维线性空间V的一个线性变换，则可对角化有个线性无关的特征向量.三、可对角化的条件

1.(Th.7)设为维线性空间V的一个线性变换，证明.证明.53.(Cor.2)在复数域C上的线性空间中，如果线性变换的特征多项式没有重根，则可对角化.证明.4.可对角化6三、对角化的一般方法1°

求出矩阵A的全部特征值

2°对每一个特征值，求出齐次线性方程组

设为维线性空间V的一个线性变换，为V的一组基，在这组基下的矩阵为A.

步骤:的一个基础解系（此即的属于的全部线性无关的特征向量在基下的坐标）.

73°若全部基础解系所含向量个数之和等于n，则（或矩阵A）可对角化.以这些解向量为列，作一个n阶方阵T，则T可逆，是对角矩阵.而且有n个线性无关的特征向量从而

T就是基到基的过渡矩阵.8下的矩阵为

基变换的过渡矩阵.问是否可对角化.在可对角化的情况下，写出例1.设复数域上线性空间V的线性变换在某组基9解：A的特征多项式为

得A的特征值是1、1、－1.解齐次线性方程组得故其基础解系为：

所以，是的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.10再解齐次线性方程组得

故其基础解系为：

所以，是的属于特征值－1的线性无关的特征向量.线性无关，故可对角化，且在基下的矩阵为对角矩阵

11即基到的过渡矩阵为12例2.

问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使为以角矩阵.这里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为

13对于特征值2，求出齐次线性方程组

对于特征值－4，求出齐次方程组

的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）

的一个基础解系:

14令

则

所以A可对角化.15是对角矩阵（即D不可对角化）.

项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能例子：在中,求微分变换D的特征多解：在中取一组基：则D在这组基下的矩阵为16于是∴D的特征值为0（n重）.的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系故D不可对角化.又由于对应特征值0的齐次线性方程组只含有一个向量，它小于的维数n（＞1）.17Thanks18Proof:设为的基,.扩充基:则故的重数.返回19定理7设为维线性空间V的一个线性变换，则可对角化有个线性无关的特征向量.证：设在基下的矩阵为对角矩阵

则有

就是的n个线性无关的特征向量.20反之，若有个线性无关的特征向量

那么就取为基，则在这组基下的矩阵是对角矩阵.返回21

定理8设为n维线性空间V的一个线性变换,如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，则线性无关.证：对k作数学归纳法.当时，线性无关.命题成立.

22假设对于来说，结论成立.现设为

的互不相同的特征值，是属于的特征向量，即以乘①式的两端，得

②

设

①又对①式两端施行线性变换，得

③

23③式减②式得

由归纳假设，线性无关，所以

但互不相同，所以将之代入①，得故线性无关.

返回24证明：首先，的属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是的属于特征值的一个特征向量.25令

由④有，

设

④若有某个则是的属于特征值的特征向量.而是互不相同的，由定理8，必有所有的26即而线性无关，所以有

故线性无关.