刚体和流体力学白

●转动惯量的定义及其量的计算●刚体运动的描述第二章刚体和流体力学本章要求掌握的基本内容●刚体的角动量定理（即动量矩定理）及其守恒定律

●刚体定轴转动定律及其应用

●刚体定轴转动动能定理及其应用本次课要求掌握的基本内容1、何为刚体？如何描述刚体的运动？2、什么叫刚体的转动惯量？它的物理意义怎样？3、如何计算刚体的转动惯量？5、什么叫刚体定轴转动定律？如何应用转动定律解题？

4、刚体定轴转动动能如何确定？一、刚体的平动和转动平动：用质心运动讨论刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.即各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。2-1刚体运动学

转动：（分对点、对轴转动）

（只讨论定轴转动）

定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。转轴OO’刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动角位移转动平面转轴参考方向各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。二、描述刚体定轴转动的物理量其角量和线量的关系：角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。角速度角加速度加速转动方向一致减速转动方向相反其角量和线量的关系：比较：一、刚体的转动动能

刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半---刚体的转动动能.2-2刚体的定轴转动定义J为刚体对给定轴的转动惯量(momentofinertia)其中ri是质量元到转轴的距离。在国际单位制中其单位为千克·米2（kg·m2）。二.转动惯量与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状实质与转动惯量有关的只有两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成:刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。注意2。对于质量元不连续（离散型）分布的刚体，其转动惯量可写成和式1。只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用上式积分计算出刚体的转动惯量。质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。ROdm例题2、求质量为m、半径为R、厚为l

的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，dm=

dx4.求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解：

一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为其体积：其质量：其转动惯量：YXZORrdZZYXZORrdZZ平行轴定理前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。这个结论称为平行轴定理。右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）作用在刚体上的轴的力矩三、转动定律如果有几个外力矩作用在刚体上积分得力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点到转轴Z的距离的乘积。转动平面(1)刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出和dF和df为合外力和合内力.分解为作用在质量元dm上的切向力和法向力:将切向分量式两边同乘以r，变换得刚体定轴转动的转动定律ZMdfdFO

rdFd

dm

dFn转动平面vvvvvvz对等式左边积分得到外力矩其中，角加速度对所有质量元都相等所以写成矢量形式(注意：法向分量通过转轴，对轴不产生力矩)问：那么法向分量情况？(为什么？）刚体定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性.力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。M＝J

与地位相当刚体定轴转动的转动定律的应用例1、一个质量为Ｍ0、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。M0gR解：M0gR例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求闸瓦对轮子的压力N为多大？F

0解：飞轮制动时有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。

0Nfr

例3.如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J,半径为r。（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2（设绳子与滑轮间无相对猾动）；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2。m22T1Tm1+=r2+m2mgm1m2J()r2++m1m2J1T+=r2+m1mgm2m1J()r2++m1m2J2TmNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm11T=ma1gm12T=ma2faJr=1T2Trfm=Ngm2m=a=ar0N=gm2r2++a=gm2mgm1m1m2J解得：解：(1)gm1r2++m1m2Ja=+=r2gm1m2J()r2++m1m2J1T=gm2m1r2++m1m2J2T(2)m=0（物体2与桌面间为光滑接触时）例4、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆

角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆

角时，该质量元的重力对轴的元力矩为

Ogdmdm重力对整个棒的合力矩为代入转动定律，可得

Ogdmdm四、

力矩的功式中力矩做功是力做功的角量表达式.力矩的瞬时功率五、刚体定轴转动的动能定理

合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理六、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.例5、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，另一端固定一质量为

m的小球，（小球半径R<<l.）因而棒可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求棒由此下摆

角时的角加速度和角速度。(06年)（请与例题4比较）解：棒下摆有

角的过程中，只有棒和小球的重力矩做功，因此系统的机械能守恒。设最初棒静止的水平位置为零势点。求角加速度：还有解法？同学们想一想。由转动定律解：棒下摆为加速过程，外力矩为棒和小球的重力对O的力矩。当棒处在下摆

角时，重力矩和为：另解求角速度：1、什么叫刚体的角动量？刚体定轴转动的角动量定理是如何定义的？本次课要求掌握的基本内容2-3刚体角动量定理和角动量守恒定律2、什么叫刚体的角动量守恒定律？如何应用刚体的角动量定理或角动量守恒定律解题？刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该定轴作圆周运动.刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积.（角动量又叫做动量矩）一、

刚体的角动量定理冲量矩,又叫角冲量.外力矩对系统的冲量矩(角冲量)等于角动量的增量.刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。刚体转动定律的另一种形式------叫做角动量定理（或动量矩定理）二、角动量守恒定律及其应用角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变的单个刚体。当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变.这一结论称为角动量守恒定律.转动动能与角动量的关系:若J改变,则2、转动惯量可变的物体FF实际中的一些应用艺术美、人体美、物理美相互结合Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作Ⅱ当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳地。ω花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.ω例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度

。（已知棒长为l,质量为M.）解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：因,由两式得v0vmM另解：利用系统总角动量守恒v0vmM解：m下落：mghmv=122vghÞ=2(1)例2

如图示已知：M=2m，h，q=60o求：①碰撞后瞬间盘的w0=？

p转到x轴时盘的w=?

=?②m为粘土块的质量碰撞

t

极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，则：P、x轴重合时EP=0。令①求碰撞后瞬间盘的

0=？②求

p点转到x轴时盘的=？，=？由(3)(4)(5)得

：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()（

=

60

o）例题3.飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r／min，现要求在5s内使其制动，求制动力F。（假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。）（教材p115、2-5）

Fωd闸瓦0.5m0.75m=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFN