【数学】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一上学期1月分班学科考试试题（解析版）

湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一上学期1月分班学科考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以.故选：A.2.若，且为第一象限角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，且为第一象限角，所以，.故选：C.3.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.故选：A.4.若，则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】，当且仅当时取等号，因此最小值为2.故选：B.5.已知命题，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”，故命题的否定为：，.故选：B.6.下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，函数定义域为R，又，所以函数为偶函数，不符合题意；对于C，函数在为单调递减函数，不符合题意；对于D，函数，由，所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意.故选：D.7.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，在中，函数单调递增，且，∴，在中，函数单调递增，且当时，，∴，∴.故选：A.8.甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；对于B，当时，不成立，B错误；对于C，由于，故，C正确；对于D，因为，则，故，故，D正确故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.函数的图像恒过定点B.“”是“”的充分不必要条件C.函数的最小正周期为D.函数的最小值为【答案】ABC【解析】对于A，令，得，此时，该函数图像恒过定点，故A正确；对于B，“”是“”的充分不必要条件显然正确，故B正确；对于C，函数最小正周期为显然正确，故C正确；对于D，函数，当且仅当时取等，此时，无实数解，故取不到最小值2，即函数的最小值不为2，故D错误.故选：ABC.11.若，，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】，∵，则，∴，对C，，C对；对A，，，A对；对B，，B错；对D，，D对.故选：ACD.12.已知函数则以下说法正确的是（）A.若，则是上的减函数B.若，则有最小值C.若，则的值域为D.若，则存在，使得【答案】ABC【解析】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1，故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当时，；当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.___________.【答案】3【解析】.故答案为：3.14.已知，则______________.【答案】【解析】因为，所以，则.故答案为：.15.已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为__________.【答案】【解析】记扇形的半径为，因为圆心角，弧长，所以，即，解得，所以扇形的面积.故答案为：.16.某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元．【答案】1440【解析】设长为，则，即，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，所以当时，取最小值为1440.故答案：1440.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）求函数的定义域.解：（1）.（2）由知，函数有意义的条件为，易知指数函数在R上增函数，所以，解得，于是，即，故函数的定义域为.18.已知．（1）求的值；（2）已知，求的值．解：（1）由诱导公式得，所以．（2）由（1）得，又，即，所以．19.已知函数，其中且.（1）判断的奇偶性；（2）若，解关于x的不等式.解：（1）因为的定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数.（2）当时，由可得，所以，故，故不等式的解集为．20.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值及单调减区间.解：(1)，所以的最小正周期为.(2)因为，所以，所以当，即时，函数取得最小值，由，得，所以函数单调递减区间为.21.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？解：（1）该单位每月的月处理成本：，因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而得当时，函数取得最小值，即，所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.（2）由题意可知：，每吨二氧化碳的平均处理成本为：，当且仅当，即时，等号成立，所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．22.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求值；（2）求在上的解析式；（3）若函数有零点，求实数的取值范围．解：（1）由于函数是定义在上的奇函数，所以.（2）由（1