新教材2023版高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.1随机变量及其与事件的联系课件新人教B版选择性必修第二册

4．2.1随机变量及其与事件的联系新知初探·自主学习课堂探究·素养提升[课标解读]

1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.2.引导学生通过具体实例，理解可以用随机变量更好地刻画随机现象，感悟随机变量与随机事件的关系.3.理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用．新知初探·自主学习【教材要点】知识点一随机变量的概念1．定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．2．表示：随机变量常用大写字母________，________，Z…或小写希腊字母ξ，ζ，η…表示．3．随机变量的取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．XY4．随机变量的取值与随机试验的结果的关系：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值由随机试验的结果决定．5．随机变量的分类：(1)离散型随机变量：随机变量的所有可能取值可以一一列举出来．(2)连续型随机变量：随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来．知识点二用随机变量表示事件一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.状元随笔用随机变量表示事件与事件的概率时，有时可不写出样本空间．知识点三随机变量之间的关系一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b).【基础自测】1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)随机变量的取值只能是有限个．(

)(2)试验之前不能判断离散型随机变量的所有值．(

)(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(

)××√解析：随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．解析：试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．2．在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有________个取值(

)A．2

B．4C．6

D．7答案：C解析：因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．9解析：因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．

0，1，2，3解析：因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．课堂探究·素养提升题型1随机变量的概念例1

下列变量中，不是随机变量的是(

)A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数答案：B解析：B项中水沸腾时的温度是一个确定值．方法归纳随机变量的辨析方法1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．跟踪训练1

10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(

)A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率答案：C解析：A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．题型2离散型随机变量的判定例2

①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③体积为1000cm3的球的半径长；④一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.其中是离散型随机变量的是(

)A．①②

B．①③C．①④

D．①②④答案：A解析：①②中变量X所有可能的取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③不是随机变量，④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．【方法归纳】“三步法”判定离散型随机变量1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．2．由条件求解随机变量的值域．3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．跟踪训练2

下列问题中的X不是离散型随机变量的是(

)A．某座大桥一天经过的中华轿车的车辆数XB．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数XC．一天内的温度XD．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分答案：C解析：根据离散型随机变量的概念，ABD选项是离散型随机变量．题型3随机变量的可能取值与事件的对应关系【思考探究】

1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示]

可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？[提示]

X＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示]

“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．例3

写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的事件．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．解析：(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11.(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11.X＝3，表示“取出标有1，2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有1，3的两张卡片”；X＝5，表示“取出标有2，3或标有1，4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有4，6的两张卡片”；X＝11，表示“取出标有5，6的两张卡片”．方法归纳用随机变量表示事件问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪训练3

写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．解析：(1)X可能取值0，1，2，3，4，5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5.(2)ξ可能取值为0，1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．题型4随机变量之间的关系例4

袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球，若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)设取得红球个数为X，求X的所有取值；(2)设得分为Y，写出X与Y之间的关系式．解析：(1)设取得红球个数为X，求X的所有取值为1，2，3，4.(2)依题意有：Y＝2X＋4－X＝X＋4.方法归纳先求随机变量X的取值及相应概率，再求随机变量X与Y的关系(Y＝at＋b，a，b为常数).跟踪训练4

在一次比赛中需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．(1)设选手甲正确回答这三个问题的个数为X，则X的取值是多少？(2)选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是多少？(3)若P(X>1)＝0.6，求P(Y≤－100).解析：(1