新人教版九年级上册初中数学24.1.3弧、弦、圆心角

24.1.3弧、弦、圆心角

一、选择题（本题包括4小题，每小题只有1个选项符合题意）

1.下列图形中表示的角是圆心角的是（）

ABCD

2.在同圆中,圆心角NA0B=2NC0D,则两条弧点与团的关系是（）

A.AB=2CDB.AB>2CDC.AB<2cbD.不能确定

3.已知AB与人5，分别是。0与。0，的两条弦人8=人0,那么/人08与乙\，00的

大小关系是（）

A.ZAOB=ZA,O,B,B.ZAOB>ZA,O,B,C.ZAOB<ZA,O,B,D.不能确定

4.如图,D,E分别是。0的半径OA,OB上的点,CDLOA,CELOB,CD=CE,则废与

前的关系是（）

A.AC=BCB.AC>BCC.AC<BCD.不能确定

二、填空题（本题包括3小题）

5.（2分）一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为

6.（2分）如图,AB是。O的直径j^=①=5i/COD=40。,则/AOE的度数为

。

7.（2分）如图，箭=疵，若AB=3,贝ljCD=

三、解答题（本题包括4小题）

8.如图所示,AB是。0的弦,C,D为弦AB上两点，且OC=OD,延长OCQD,分别交

。0于点E,F.

试证:第=郎.

9.如图,AB,CD,EF都是。0的直径，且N1=N2=N3,求证:AC=EB=DF.

10.如图，已知OAQB是。。的半径,C为第的中点,M,N分别是OAQB的中点，求

证:MC=NC.

11.如图,NAOB=9()o,C,D是好的三等分点,AB分别交OCQD于点E,F.试找出图中

相等的线段(半径除外).

、Cc八

-Ac二CD二DB

3AE二C”汗

(1)错因:

(2)纠错:

参考答案

一、选择题

1.【答案】A

【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点

都不在圆心上，所以它们都不是圆心角.故选A.

2.【答案】A

【解析】在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等，可得选项A正确.

3.【答案】D

【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等，必须保证在同圆或等圆中.此题没有限

制,所以不能确定NA08和N408的大小关系.

点睛:本题主要考查了弦与其所对的圆心角的关系，本题的易错点就是认为“相等

的弦所对的圆心角才相等“，从而选择A,而忽略了这一命题成立的前提是“在同

圆和等圆中

4.【答案】A

【解析】本题考查圆心角、弧和HL定理的知识，解题的关键是熟练地掌握相关

的性质和定理；先根据HL定理证明RtACOD^RtACOE,得NCOD=NCOE；

再根据圆心角与弧之间的关系由NCOD=NCOE得出弧AC和弧BC的关系即

可.；CD±OA,CE±OB,.\ZCDO=ZCEO=90°,VCD=CE,CO=CO,/.ACOD^AC

OE,.*.ZCOD

=ZCOE,.\AC=BC.

二、填空题

5.（2分）【答案】90。

【解析】•••一条弦把圆分成1：3两部分，.•.劣弧的度数=360。+4=90。，.•.弦所对

的圆心角为90。.

考点：圆心角、弧和所对弦的关系.

6.（2分）【答案】60。

【解析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等；根据，前=①=诧，可得到

ZCOB=ZCOD=ZDOE=40°；根据NCOB+NCOD+/DOE+NAOE

=180°,即可得到NAOE的度

数「•,BC=CD=DE,.*.ZBOC=ZDOE=ZCOD=40°,/.ZAOE=180°-3x40°=60°.

7.（2分）【答案】3

【解析】根据已知条件，面=献，可求出如=①，然后根据相等的弧所对的弦想

等可求出CD的长....面=

BDC,*,•面痴=©前,即如=①,CD=AB=3.

三、解答题

8.【答案】证明见解析

【解析】根据等腰三角形的性质由0。=0。得NOCO=NO。。，由04=08得

NA=NB,再根据三角形外角性质得NOCO=NA+NAOC,

ZODC=ZB+ZBOD,利用等量代换得到乙4。。=/8。。，然后根据在同圆和等

圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可得到结论.

证明:V0C=0D,.*.Z0CD=Z0DC.

VA0=0B,.\ZA=ZB.

，Z0CD-ZA=Z0DC-ZB,

即NA0C=NB0D,

即NA0E=NB0F.，@=阶.

点睛:本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的

弧相等，所对的弦也相等.

9.【答案】证明见解析

【解析】根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的

弧相等，所对的弦也相等即可证得结论.

在。0中,N1=N2=N3,

又：AB,CD,EF都是O0的直径，

ZF0D=ZA0C=ZB0E.

••DF=AC=EB,

，AC=EB=DF.

10.【答案】证明见解析

【解析】连接OC,根据C是0的中点，易得到/C=BC,由同圆中等弧对的圆

心角相等可得NAOONBOC；由0A=08,M,N分别为。4,。8的中点可得

OM=ON,由边角边定理可以判断△MOCgANOC,从而可得到MC=NC

证明:连接oc.

C为第的中点,...BC=AC,ZMOC=ZNOC.

又YM.N分别是OA,OB的中点，

.*.OM=1OA,ON=1OB,.-.OM=ON,

又：oc=oc,

-•.△OMC^AONC,.，.MC=NC.

点睛:本题考查三角形全等的判定方法，弧与圆心角之间的关系，解题的关键是灵

活运用三角形全等的判定方法及在等圆或同圆中相等的弧所对的圆心角相等这些

定理；

11.【答案】（1）AE,BF不是圆的弦,不能直接利用等弧对等弦⑵10

【解析】先根据OA_LOB可知NAOB=90。，再由C,D为弧AB的三等分点可求

出NAOC的度数；由三角形内角和定理求出NOCD的度数，根据三角形外角的

性质得出NOEF及NOFE的度数，得OE=OF,CE=DF；根据三角形内角和定理

即可得出NAEO的度数；连接AC,BD,可得出CD=AE=BF,可得EF〃CD,所

以EF<CD.即可得解.

解：•.•在中，半径OALOB,C、D为弧AB的三等分点,

11

，NAOC=2NAOB=^x900=3O。

33

VOA=OB,，NOAB=NOBA=45。，

VZAOC=ZBOD=30°,

ZOEF=ZOAB+ZAOC=450+30°=75°,同理NOFE=75°,

，OE=OF,

.•.CE=DF；

连接AC,BD,

VOC=OD,OE=OF,，EF〃CD,.，.EF<CD,

VC,D是弧AB的三等分点，...AC=CD=BD,

VZAOD,/.AACO^ADCO.NACONOCD.

ZOEF=ZOAE+ZAOE=45°+30°=75°,ZOCD=i^^°=75o,

2

.,.ZOEF=ZOCD,ACDAB,

:.ZAEC=ZOCD,ZACO=ZAEC.

故AC=AE,

同理，BF=BD.

又•:A