小学奥数 组合的基本应用（二）

7-5-2.组合的基本应用（二）

削磔4山举目掘

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；

3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合

技巧，如排除法、插板法等.

一、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某

项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的

问题.

一般地，从“个不同元素中取出加个元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从“个不同元

素中取出机个元素的一个组合.

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完

全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的

组合.

从〃个不同元素中取出“个元素（加4〃）的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出〃?个不同元素的

组合数.记作C：.

一般地，求从〃个不同元素中取出的"个元素的排列数与'可分成以下两步：

第一步：从“个不同元素中取出机个元素组成一组，共有C；种方法；

第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有成种排法.

根据乘法原理，得到琛=C：■成.

因此，组合数=虫=.

"琛w（w-D-（w-2）--3-21

这个公式就是组合数公式.

二'组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：C™=C；；-,H（w<rt）

这个公式的直观意义是：c;表示从“个元素中取出，九个元素组成一组的所有分组方法.c；”‘表示从"个

元素中取出（〃-m）个元素组成一组的所有分组方法.显然，从〃个元素中选出机个元素的分组方法恰是从〃个

元素中选加个元素剩下的（〃-m）个元素的分组方法.

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C；=C>

规定C；=l,端=1.

模块一、组合之几何问题

【例1】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：

(1)直线段；⑵三角形；⑶四边形.

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】由于10个点全在圆周上，所以这1()个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一

条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四

边形，三个问题都是组合问题.

由组合数公式：,

(1)可画出。-%殷2=45(条)直线段.

¥2x1

<

(2)可画出《-H出史@=120(个)三角形.

3x2x1

(3)可画出C力=凯愕于仍个严边形.

【答案】(DC；)=45⑵=120(3)C,1=210

【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答

【解析】这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从10个元素中取出2个元素的组合数,

由组合教公式，G：=U==45,所以以10个点中每2个点为端点的线段共有45条.

102x1

【答案】45

【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？

【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答

【解析】三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7个点中选

出3个点的选法，等于仁=乙3£=35(种).

73x2x1

【答案】C；=35

［例2］平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线.

(1)可确定多少个三角形？⑵可确定多少条射线？

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】(1)分三类：

①有2个顶点在共线的6点中，另1个顶点在不共线的6点中的三角形有

5

6xC；=6x—=90^:

2x1

②有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6点中的三角形有

-6x5

6xC；=6x—^=90(个)；

2x1

③3个顶点都在不共线的6点中的三角形有屐=6><5-4=20个.

63x2x1

根据加法原理，可确定90+90+20=200个三南形.

(2)两点可以确定两条射线，分三类：

①共线的6点，确定10条射线；

②不共线的6点，每两点确定两条射线，共有2x亡=2x~=30(条)射线；

2x1

③从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定6x6x2=72（条）射线.

根据加法原理，可以确定10+30+72=112（条）射线.

【答案】（1）200（2）112

【巩固】如图，问：⑴图1中，共有多少条线段?

图1

【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答

【解析】（1）在线段回上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有

一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而C；表示从7个点中取两个不同点

的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有C；条线段.

7x6

由组合数公式知,共有3=21（条）不同的线段;

*22x1

⑵从。点出发的射线一共有11条，它们是。A,OP},OP2,OP3,,OR,.注意到每两

条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显

然，是组合问题共有种不同的取法，所以，可组成c：个角.

共有C：=聋=暇^=55（个）不同的角.

由组合数公式知

【答案】⑴C；=21⑵=55

模块二、组合之应用题

【例3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答

【解析】这与课前挑战的情景是类似的.因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只

与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题.

由组合数公式知，底=吧=15（次）.所以一共握手15次.

2x1

【答案】15

【巩固】某班毕业生中有2（）名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？

【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答

【解析】《=迎丑=190（次）.

202x1

【答案】片=190

【例4］学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？

【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答

【解析】被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题.

由组合数公式知，屐=6.5x4=20（种）.

63x2x1

所以共有2（）种不同的选法.

【答案】Cl=20

［例5］有2克，5克，20克的硅码各1个，只用祛码和一架已经调节平衡了的天平，能称出________种

不同的质量。

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试，第5题

【解析】第一大类：感码只放一边。共有G+《+《=3+3+l=7或者23—1=7（种）；第二大类：两边都

放祛码。再分类：两边各放一个，共有C；种；一边放两个一边放一个有C；或者种。所以这一大

类共有短+《=3+3=6（种）。根据加法原理，共能称出7+6=13（种）不同的质量。

【答案】13种

【例6】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：

（1）一共有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】（1）从10件产品中抽出3件，抽法总数为C2=120（种）

（2）3件中恰好一件次品，那么还有两件正常品.

抽法总数为C；xC；=56（种）

（3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品”

全都不是次品的抽法总数为C；=56（种）

所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64（种）.

【答案】（1）120（2）56（3）64

[例7]200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求

列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品.

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】第⑴题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件.第⑵题：与顺序无关：至少

有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共5件.可用直接法

解答，也可用间接法解答.第⑶题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1件是正品.

⑴都不是次品，即全部为正品.

共有抽法G\种.

⑵至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况.

共有抽法+G2G+C95G+C）种（或（C4）—二）种）.

⑶不都是次品，即至少有1件正品.

共有抽法©©+心容+CMC+。）种（或（酸-点）种）.

【答案】⑴《⑵（4-品5）⑶（4-仁）

【例8】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成

一排，有多少种站法？

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的

顺序无关.所以，应用组合数公式，共有Cl种不同的选法.

要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出

的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有鹿种不同的站法.

由组合数公式，共有C；?=%=42义4"40=11480（种）不同的选法：

E3x2x1

由排列数公式，共有成=42x41x40=68880（种）不同的站法.

【答案】鹿=68880

【例9】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有种不同

的方法.

【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答

【关键词】希望杯，1试

【解析】因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边.这

样共有5个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从5个元素中取出3个，所以共有

或=丝丑=10种不同的放法.

51x2x3

【答案】C；=10

【例10］在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐.而且第二

排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住.一共有多少种不同的排队方法？

【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答

【解析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关

系.所以排队方法总数为：

C^xC^xC^=28x15x6=2520（种）.

【答案】2520

【例11】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2

个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？

【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答

【解析】由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题.

、4x3x?

第一题中，4个小题中选做3个，有=二4（种）选法;

3x2x1

第二题中，3个小题中选做2个，有C；===3（种）选法；

2x1

7x1

第三题中，2个小题中选做1个，有C：=3'=2（种）选法.

一1

根据乘法原理，一共有4x3x2=24（种）不同的选法.

【答案】24

【例12】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少

种？

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】分三步进行：

第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有猿===15（种）选法；

2x1

4x3

第二步，从余下的4个班中选取两个班给乙，有C：=—^=6（种）选法：

2x1

第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法.

根据乘法原理，一共有15x6x1=90（种）不同的分配方法.

【答案】90

【例13】将19枚棋子放入5x5的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数

个，那么共有种不同的放法.

【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答

【关键词】迎春杯，高年级，初赛

【解析】5x5的方格网共有25个方格，放入19枚棋子，说明还有6个空格.由于棋子的数目较多，直接考

虑棋子比较困难，可以反过来考虑6个空格.由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都

有5个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个.那么每行每列的空格数可能为0,2或4.如果有

某一行或某一列的空格数为4个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这4个空格所在的列

或行都至少还有另外1枚棋子，这样至少有8个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为

4个，只能为0个或2个.则肯定是某3行和某3列中每行每列各有2个空格，如下：

□□o

□OQ

。口口

其中□表示空格，。表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子.

选择有空格的3行3列有CxG=l°xl°=l0°种选法，在这3行3列中选择6个空格（也相当于每

行每列选择1枚棋子)有3x2xl=6种选法，所以总共有100x6=600种不同的放法.

【答案】600

【例14］甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄

气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即9个物体的

排列，当然有9x8x7x6x5x4x3x2x1种排列方法.

但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排

列的情况，所以应该除以3x2x1,其他黄色气球、绿色气球依此类推.

所以共有射击方:去：(9x8x7x6x5x4x3x2xl)+(3x2xl)+(2xl)+(4x3x2xl)

=(9x8x7x6x5x4)4-(2xl)-=-(4x3x2xl)=l260(种).

本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气球，有C；

种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的6个位置

中选出2个给黄色气球，有C；种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球，

它们之间也只有一种排列顺序.所以，根据乘法原理，共有《xC；=1260种不同的射法.

【答案】1260

【例15】某池塘中有A、B、C三只游船，A船可乘坐3人，3船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成

人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他

们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船.

⑴若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A、B两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此

时A船上还必须有1个成人，有G=3种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在4、8两船

上，则8船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有=2种选择，1个成人有C；=3种选择，所以有

2x3=6种方法.故5人都不乘坐C船有3+6=9种安全方法；

⑵若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有仁=3种选择.其余的2个成人与2个儿童，

①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有C；=2种方法，所以

此时有3x2=6种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么8船上有1个儿童和1个成人，此时1个

儿童和1个成人均有=2种选择，所以此种情况下有3x2x2=12种方法；故5人中有1人乘坐C船

有6+12=18种安全方法.

所以，共有9+18=27种安全乘法.

【答案】27

【例16】有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面.这些旗的模样、大小都相同.现在把这些旗挂在一个旗

杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示

多少种不同信号？

【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答

【解析】按挂旗的面数来分类考虑.

第一类：挂一面旗.从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示3种不同信号；

第二类：挂两面旗.按颜色分成：红+黄(石=2种)：红+蓝(片=2种)；黄+篮(石=2种)；

黄+黄(1种)；蓝+蓝(1种)；共8种；

第三类：挂三面旗.按颜色分类：红+篮+蓝（C；=3种）；红+黄+黄（C；=3种）；红+黄+蓝（H=6

种）；黄+黄+蓝（C；=3种）；黄+蓝+蓝（C；=3种）；蓝+蓝+蓝（1种）；共19种；

第四类：挂四面旗.按颜色分类：红+黄+黄+蓝（仁x2=12或6*+2=12种）；红+黄+蓝+蓝

（C：x2=12或6+2=12种）；红+蓝+蓝+蓝（C：=4种）；黄+黄+篮+蓝（C；xC；=6种）；黄

+蓝+蓝+蓝（C：=4种），共38种；

第五类：挂五面旗.按颜色分类：红+黄+黄+蓝+蓝（C；x0X。=30种）；红+黄+蓝+蓝+蓝

（C；x2xl=20种）；黄+黄+蓝+蓝+蓝（《xC；=10种），共60种；

第六类：挂六面旗.红+黄+黄+蓝+蓝+篮（C；xC；xC：=60种）.

根据加法原理，共可以表示3+8+19+38+60+60=188种不同的信号.

【答案】188

【例17】从1（）名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？

⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；

⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人.

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为《X党=14112种；

⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求.运用包含与

排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：

味-C：）-C；＞xC=43758;

⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有叱=1001种；

⑷从所有的选法种中减去这4个人同时入选的C；种：

C-或=43758-1001=42757.

⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：

党+CxG：+第x比=34749.

【答案】⑴《X盘=14112种；

（2）或-a-xC=43758;

⑶品=1001种;

⑷品-C：=43758-1001=42757.

（5）第,+《xG[+戏x3=34749.

【例18]从4名男生，3名女生中选出3名代表.

（1）不同的选法共有多少种？

⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种？

⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

7乂A乂5

【解析】⑴相当于从7名学生中任意选3名，不同的选法有斓=；；；=35（种）.

（2）方法一：可以分成三类：

4Va

①选1名女生，选2名男生.由乘法原理，有C；C：=3x―^=18（种）选法；

2x1

②选2名女生，选1名男生.由乘法原理，有戏—x4=12（种）选法；

2x1

③选3名女生，男生不选，有1种选法.

根据加法原理，”至少有一名女生”的不同选法有18+12+1=31（种）.

方法二：先不考虑对女生的特殊要求，从从7名学生中任意选3名，有C：=―7x6匕x二5=35（种）选法;

3x2x1

考虑一个女生都不选的情况，则3名代表全产生于男生中，有《=4x3x2=4（种）选法,

3x2x1

所以，至少选一名女生的选法有35-4=31种，这种“去杂法”做起来也比较简单.

⑶“代表中男、女生都要有”，可以分成两类：

①1名男生，2名女生，由乘法原理，有C，C；=7=vx74=12（种）选法；

2x1

②2名男生，1名女生，由乘法原理，有C；•盘=3x—^=18（种）选法.

2x1

根据加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同选法共有12+18=30（种）.

【小结】选择问题是组合问题中的一类常见问题，可根据具体情况从正面考虑或逆向求解，采用“去杂法”.

【答案】⑴=35（2）31（3）3（）

【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡,

按照下列条件各有多少种选派方法？

⑴有3名内科医生和2名外科医生；

⑵既有内科医生，又有外科医生；

⑶至少有一名主任参加；

（4）既有主任，又有外科医生.

【考点】组合之基本运用【难度】4星【题型】解答

【解析】⑴先从6名内科医生中选3名，有科=6x5x4=20种选法;再从4名外科医生中选2名，共有

63x2x1

4x4

C：=—^=6种选法.根据乘法原理，一共有选派方法20x6=12（）种.

2x1

用“去杂法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5人，有2）=252种选派方

⑵9x7x6

5x4x3x2xl

法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况.由于外科医生只有4人，所以不可能只派外科

医生.如果只派内科医生，有=C：=6种选派方法.所以，一共有252-6=246种既有内科医

生又有外科医生的选派方法.

⑶如果选1名主任，则不是主任的8名医生要选4人，有2x（^=2x8x7x6x5=140种选派方法;

“4x3x2xl

Q7x6

如果选2名主任，则不是主任的8名医生要选3人，有lx《=lxx=种选派方法.根据

3x2x1

加法原理，一共有140+56=196种选派方法.

(4)分两类讨论：

①若选外科主任，则其余4人可任意选取，有仁=史业卫3=126种选取方法；

4x3x2xl

②若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，用“去杂法'’有

zz8x7x6x55x4x3x2

C7-C,=-----------------------=65种选取法.

54x3x2xl4x3x2xl

根据加法原理，一共有126+65=191种选派方法.

【答案】(1)120(2)246(3)196(4)191

【例19】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音

响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种

不同的选人方案？

【考点】组合之基本运用【难度】4星【题型】解答

【解析】按具有双项技术的学生分类：

（1）两人都不选派，有-----^=10（种）选派方法：

3x2x1

（2）两人中选派1人，有2种选法.而针对此人的任务又分两类：

5x4

若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有。；=二上=10（种）选法，而另外会安装音响设备的

2x1

3人全选派上，只有1种选法.由乘法原理，有10x1=10（种）选法；

若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有C；=^—=3（种）选法，需从5人

2x1

中选3人安装电脑，有C；=土二上=10（种）选法.由乘法原理，有3x10=30（种）选法.

3x2x1

根据加法原理，有10+30=40（种）选法；

综上所述，一共有2x40=80（种）选派方法.

⑶两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：

①两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装

音响设备，有5x1=5（种）选派方案；

②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有《'仁=|4x券=60（种）选派方案：

③两人全安装音响设备，有3xC：=3x-----^=30（种）选派方案.

3x2x1

根据加法原理，共有5+60+30=95（种）选派方案.

综合以上所述，符合条件的方案一共有10+80+95=185（种）.

【答案】（1）10（2）80（3）185

【例20】有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通.从

中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时

工作.问这样的分配名单共可以开出多少张？

【考点】组合之基本运用【难度】4星【题型】解答

【解析】针对两名英语、日语都精通人员（以下称多面手）的参考情况分成三类：

⑴多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有C；=C；=5种选择，需从4名日语翻译员

中选出4人，有1种选择.由乘法原理，有5x1=5种选择.

（2）多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：

如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有C；==10种选择,需从4名

3x2x1

日语翻译员中选出4人，有1种选择.由乘法原理，有2x10x1=20种选择；

如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有C；=C；=5种选择，需从4名日语翻

译员中再选出3名，有C；=C：=4种选择.由乘法原理，有2x5x4=40种选择.根据加法原理，

多面手中有一人入选，有20+40=60种选择.

（3）多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：

①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种.

5x4

情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有点—=10种选择.需从4名日语翻译员中

2x1

选4人，1种选择.由乘法原理，有1x10x1=10种选择.

情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有仁=C；=5种选择.还需从4名日语翻译员中选

出2人，有C：=—^=6种选择.根据乘法原理，共有1x5x6=30种选择.

2x1

情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择.剩下的需从5名英语翻译员中选出3人，

有一=二-=10种选择,需从4名日语翻译员中选出3人，有仁=（7：=4种选择.由乘法原

3x2x1

理，有1x2x10x4=80种选择.

根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有1（）+30+80=12（）种选择.

综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出5+60+120=185张.

【小结】组合问题中出现“多面手”时，往往“多面手”是进行分类讨论的对象，这样可以简化问题.

【答案】（1）5（2）60（3）185

【巩固】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语.现要从中选6

人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游.则不同的选择方法有多少种？

【考点】组合之基本运用【难度】4星【题型】解答

【解析】此题若从“多面手'’出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分

三类：

（1）只会日语的2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有4种选择.从剩下的只会英语的人和

多面手共6人中选3人做英语导游，有戏=6x5x4=20种选择.

3x2x1

由乘法原理，有4x20=80种选择.

(2)只会日语的2人中有1人出场，有2种选择.还需从多面手中选2人做日语导游，有C；=士二=6

2x1

Sx4x3

种选择.剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游，有C：==10种选择.

53x2x1

由乘法原理，有2x6x10=120种选择.

⑶只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有C：=C：=4种选择.

剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有=C：=4种选择.

由乘法原理，有4x4=16种选择.根据加法原理，不同的选择方法一共有80+120+16=216种.

【小结】当"多面手''的数量较多时，对“多面手''分类讨论.问题反倒不简单了.那么.此时应灵活选择数量

较少的一类元素讨论(如本题中的会日语的导游).做题时要根据具体问题灵活处理.

【答案】⑴20(2)120(3)216

7-5-2.组合的基本应用(二)

*旧¥额第目掘

.___

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；

3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合

技巧，如排除法、插板法等.

一、组合问题

日