清华大学微积分高等数学课件第1讲函数

清华大学微积分高等数学课件第1讲函数目录contents函数概念与性质基本初等函数函数的极限与连续性微分学基本概念与运算微分中值定理及其应用不定积分与定积分初步01函数概念与性质第二季度第一季度第四季度第三季度函数定义解析法列表法图象法函数定义及表示方法设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中的每一个$x$，按照某种对应法则$f$，在数集中都有唯一确定的$y$与之对应，则称$f$为从$D$到数集的一种函数关系，记作$y=f(x)$，其中$x$称为自变量，$y$称为因变量，$f$称为对应法则。用含有数学表达式的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析法。用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。把一个函数的自变量$x$与对应的因变量$y$的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。函数的单调性是指函数在某一区间内函数值随自变量增大而增大（或减小）的性质。单调性函数的奇偶性是指函数在整个定义域内，对于任意自变量$x$，都有$f(-x)=-f(x)$（奇函数）或$f(-x)=f(x)$（偶函数）的性质。奇偶性函数的周期性是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。周期性函数性质：单调性、奇偶性、周期性反函数设函数$y=f(x)$的定义域是$D$，值域是$f(D)$。如果对于值域$f(D)$中的每一个$y$，在$D$中有且只有一个$x$使得$g(y)=x$，则按此对应法则得到了一个定义在$f(D)$上的函数，并把该函数称为函数$y=f(x)$的反函数，记作$x=g(y)$。复合函数设函数$y=f(u)$的定义域为$D_u$，值域为$M_u$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_x$，值域为$M_x$，且$M_xcapD_uneqvarnothing$。那么对于所有在定义域内的$x$，通过对应关系$u=g(x)$和$y=f(u)$可以得到唯一确定的$y$值。因此，这样的函数被称为复合函数，记作$y=f[g(x)]$。反函数与复合函数02基本初等函数定义形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。性质幂函数的图像都经过点(1,1)；当a>0时，幂函数在定义域内单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。举例y=x^2，y=x^3，y=x^(-1)等。幂函数形如y=a^x(a>0且a≠1)的函数称为指数函数。其中a是自变量的系数，称为底数，x是自变量，称为指数。定义性质举例指数函数的图像都经过点(0,1)；当a>1时，指数函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，指数函数在定义域内单调递减。y=2^x，y=3^x，y=(1/2)^x等。指数函数性质对数函数的图像都经过点(1,0)；当a>1时，对数函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，对数函数在定义域内单调递减。举例y=log_2(x)，y=log_10(x)，y=log_(1/2)(x)等。定义形如y=log_a(x)(a>0且a≠1)的函数称为对数函数。其中a是底数，x是真数。对数函数三角函数与反三角函数包括正弦函数y=sin(x)、余弦函数y=cos(x)、正切函数y=tan(x)等。这些函数的自变量是角度（通常用弧度表示），因变量是比值。反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数y=arcsin(x)、反余弦函数y=arccos(x)、反正切函数y=arctan(x)等。这些函数的自变量是比值，因变量是角度。性质三角函数具有周期性、奇偶性等性质；反三角函数则具有单调性、有界性等性质。三角函数03函数的极限与连续性当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的确定值。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。极限的性质自变量分别从左侧和右侧趋近于某点时，函数值的极限。左右极限极限概念及性质无穷小量的定义当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于0的量。无穷小量的性质有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界量的积是无穷小量。无穷大量的定义当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于无穷大的量。无穷大量的性质无穷大量与有界量的积是无穷大量；两个无穷大量的和、差仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量连续函数的定义在定义域内每一点都连续的函数。连续函数的性质局部有界性、保号性、四则运算法则、复合函数的连续性。间断点及其分类可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点。闭区间上连续函数的性质有界性定理、最大值最小值定理、介值定理。连续函数及其性质04微分学基本概念与运算VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。导数的几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。导数的定义导数定义及几何意义求导法则与导数公式求导法则包括常数与函数的乘积的导数、函数和的导数、复合函数的导数等。导数公式包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数和反三角函数的导数等。如果函数$y=f(x)$的导数$f'(x)$在点$x$处仍是可导的，则称$f'(x)$的导数为函数$y=f(x)$的二阶导数，记作$f''(x)$。一般地，$(n-1)$阶导数的导数称为$n$阶导数，记作$f^{(n)}(x)$或$frac{d^ny}{dx^n}$。高阶导数如果变量$x$和$y$满足一个方程，在一定条件下，就可以说存在一个确定的函数关系。如果二者之间的关系由一个方程来确定，并且不能直接表示为显函数，就称这种关系为隐函数关系。对于隐函数求导，需要应用链式法则和复合函数的求导法则。隐函数求导高阶导数及隐函数求导05微分中值定理及其应用010203罗尔定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。拉格朗日中值定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。几何意义罗尔定理和拉格朗日中值定理都反映了函数在区间内的局部性质与整体性质之间的联系。它们表明，如果一个函数在区间内连续且可导，那么它的图像在该区间内至少存在一条水平或倾斜的切线。罗尔定理与拉格朗日中值定理柯西中值定理如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g'(x)neq0$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。泰勒公式如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一$x$，有$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)$是泰勒公式的余项。几何意义柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它反映了两个函数在区间内的相对变化率之间的关系。泰勒公式则是用多项式逼近函数的方法，它可以用来研究函数的局部性质。柯西中值定理及泰勒公式如果函数$f(x)$在某区间内可导，且$f'(x)>0$，则$f(x)$在该区间内单调增加；如果$f'(x)<0$，则$f(x)$在该区间内单调减少。如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得局部最大值或最小值，且$f'(x_0)=0$，则称$x_0$为函数的驻点。进一步地，如果$f''(x_0)>0$，则$f(x)$在$x_0$处取得局部最小值；如果$f''(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得局部最大值。利用导数研究函数的单调性和极值问题可以帮助我们了解函数的整体性质，例如函数的增减性、最大值和最小值等。这些信息在实际问题中具有重要的应用价值，例如在经济学、物理学和工程学等领域中常常需要找到函数的最大值或最小值。单调性极值应用利用导数研究函数单调性和极值问题06不定积分与定积分初步03不定积分的几何意义不定积分的结果表示了原函数与x轴围成的面积，因此具有明确的几何意义。01不定积分的定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，结果是一个函数族，每个函数之间相差一个常数。02不定积分的性质不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质。此外，还有积分区间可加性、积分中值定理等重要性质。不定积分概念及性质换元积分法和分部积分法通过变量代换将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。常见的换元法有三角代换、根式代换、倒代换等。换元积分法将两个函数相乘的不定积分转化为两个较简单的函数的积分。分部积分法的关键是选择合适的u和dv，使得du和v容易求得。分部积分法定积分的定义定积分的性质定积分的几何意义定积分概念及性质定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，结果是一个数。定积分的计算可以通过求原函数在区间端点的函数值之差来实现。定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等重要性质。此外，还有积