四川省金堂县金龙中学2021届第四周中考数学模拟试卷(学生版)

四川省金堂县金龙中学2021届第四周中考数学模拟试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.已知有理数”，b,c在数轴上对应的位置如图所示，化简版-，|-上-°|（）

_____I___I_I____I_________>

C06a

A.5-2c+aB.h-2c-aC.b+aD.b-a

2.若x=l是方程2x+/〃-6=0的解，则机的值是（）

A.-4B.4C.-8D.8

3.右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得

原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（）

原价口

现价：19.2元

A.22元B.23元C.24元D.26元

4.由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）

¥/

A.PHB.

5.不解方程，判别方程2x2-3,72x=3的根的情况（）A

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根\

CB

C.有一个实数根D.无实数根

6.如图，在RtZUBC中，ZC=90°,以8c为边画等腰三角形BCD,

使点。落在△ABC的边上，则点O的位置有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

7.对于两组数据A,B,如果SA2>SB2,且X4=XB，贝！J（）

A.这两组数据的波动相同B.数据5的波动小一些

C.它们的平均水平不相同D.数据4的波动小一些

8.如图，0是坐标原点，菱形。45c的顶点A的坐标为（3,-4）,顶点C在x轴的正半轴上,

函数y=k（*<0）的图象经过点8,则《的值为（）

9.小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交

通比较拥堵，路线8的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%,

若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟.若设走路线A时的平均速度为x千米〃」、时，根

据题意，可列分式方程（）

.25321C„32251C032251「25321

x1.6x1.6xx1.6xx4x1.6x4

10.如图，抛物线y=〃x2+fcr+c与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标（Ln）与y轴的交点在（0,

2）,（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+Y0；②-1&W-蒋；③对于任意实

数/%a+b>am2+bm总成立;④关于x的方程〃3+加+。=〃-1有两个不相等的实数根.其中结

论正确的个数为（）

R

11.分解因式：3*2-6*2y+3xy2=.

12.一副学生用的三角板如图放置，则N4OO的度数为.

21

13.分式方程三二L=o的解是.

x-1

14.如图，在矩形纸片A8C£＞中，AB=6,5c=10,5c边上有一点E,BE=4,将纸片折叠，使4

点与E点重合，折痕MN交40于M点，则线段AM的长是.

MD

BEC

三.解答题(共6小题，满分54分)

15.(1)计算：囱一((J-I一3|x5-(〃-3.14)°⑵解方程：X2+8X-9=0.

3r2—4尤+4

16.先化简，再求值(1——)尸…今,其中x=4.

x+lx2-l

17.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A

地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距

离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求3、C两地的距离(结果保留整数)

（参考数据：tan55°-1.4,tan350弋0.7,sin55°»0.8）

C

北/

个/\3

：3力：

R：

18.“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采

用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请

你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

(1)接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角

为°;

(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到

“了解”和“基本了解”程度的总人数为人；

(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机

抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.

扇嗾榴翱统十图

X

3),BELx轴，垂足为E.(1)确定k的值；(2)若点D(3,m)在双曲线上，求直线AD的解析式;

20.在Rt△胸中，ZACB=90°,BE平分NABC,。是边四上一点,以即为直径的。0经过点E,

且交初于点尸（1）求证：4c是。。的切线；（2）若8-2,密=4,求。。的半径.

B卷（共50分）

一.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

21.已知一元二次方程--4x-3=0的两根分别为“，"，则的值为.

mn

22.如图，在矩形43CD中，AB=6,BC=4,以CO为直径作0O.将矩形A3CD绕点。旋转，

使所得矩形“方。沙的边4方与。。相切，切点为E,边C沙与。。相交于点F,则CF的长

B

5

23.如图，将矩形ABC。沿对角线AC剪开，再把△ACZ）沿C4方向平移得到△AiGOi，连结

BG.若乙4c8=30°,AB=\,CCi=x,△AC。与△AG"重叠部分的面积为s，则下列结论:

©△AjAD^ACCiB；②当x=l时，四边形ABCiDi是菱形：③当x=2时，△8/孙为等

边三角形；④s=K（x-2）2（0<x<2）；其中正确的是_______.（把你认为正确结论的序

4

号都填上）

24.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=心交于A（xi，,B（仞，»），那么

x

01-J2）=•

25.如图，在菱形A8C。和菱形8EFG中，点4、B、E在同一直线上，P是线段。尸的中点，连

二.解答题（共3小题，满分30分）

26.如图，以40,〃/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如

果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：加）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系

ft=20<-5?.

（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

（2）小球飞行时间f在什么范围时，飞行高度不低于15股？

27.如图，正方形4BCD的边长为4,点E,尸分别在边AB,AD±.,且NECF=45°,C/的延

长线交84的延长线于点G,CE的延长线交ZM的延长线于点//,连接4C,EF.,GH.

(1)填空：ZAHCZACG；(填或"V"或"=")

(2)线段AC,AG,AH什么关系？请说明理由；

(3)设4£=机，

①△AGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定

值.

②请直接写出使△CG"是等腰三角形的m值.

备用图

7

28.如图，已知抛物线y=-J+^x+c与一直线相交于4(1,0)、C(-2,3)两点，与y轴交于

点N,其顶点为D.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐

标；

(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和△ANM

周长的最小值；若不存在，请说明理由.

备用图

8

四川省金堂县金龙中学2021届第四周中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.已知有理数a,b,c在数轴上对应的位置如图所示，化简也-。|-〃-0（）

A.b-2c+aB.h-2c-aC.b+aD.b-a

【分析】观察数轴，可知：cVOV方Va,进而可得出％-c>0、c-aVO,再结合绝对值的定义，

即可求出步-c|-|c-a|的值.

【解答】解：观察数轴，可知：c<Q<b<a,：.b-c>0,c-a<0,

|Z>-c|-|c-a\=b-c-（.a-c）=b-a.故选:D.

【点评】本题考查了数轴以及绝对值，由数轴上。、仇c的位置关系结合绝对值的定义求出救-

CL|c-川的值是解题的关键.

2.若x=l是方程2x+»i-6=0的解，则m的值是（）

A.-4B.4C.-8D.8

【分析】根据一元一次方程的解的定义，将x=l代入已知方程，列出关于机的新方程，通过解

新方程来求m的值.

【解答】解：根据题意，得2Xl+”?-6=0,即-4+"?=0,解得机=4.故选：B.

【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义.解题时，需要理解方程的解的定义，就是能够使

方程左右两边相等的未知数的值.

3.右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得

原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（）

原价

S折

现价：19.2元

A.22元B.23元C.24元D.26元

【分析】设出洗发水的原价是x元，直接得出有关原价的一元一次方程，再进行求解.

【解答】解：设洗发水的原价为*元，由题意得：0.8x=19.2,解得：x=24.故选：C.

【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用中打折问题，设出原价即可列出有关方程.

4.由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）

9

A.B.C.

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

5.不解方程，判别方程2X2-3扬=3的根的情况()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.有一个实数根D.无实数根

【分析】先把方程化为一般式得到2X2-3后-3=0,再计算△=(-372)2-4X2X(-3)

=18+24>0,然后根据△的意义判断方程根的情况.

【解答】解：方程整理得2--3后-3=0,,••△=(-3加)2-4X2X(-3)=18+24>0,

.•.方程有两个不相等的实数根.故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程a，+bx+c=0(aWO)的根的判别式△=》？-4ac：当△>(),

方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

6.如图，在中，NC=90。，以为边画等腰三角形8C。，使点。落在△A3C的边上,

则点D的位置有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】①以C为圆心，长为半径画弧，交A3于点。，△BCD就是等腰三角形;

②作BC的垂直平分线交AB于I,则△3C/是等腰三角形；

③以C为圆心，8c长为半径画弧，交4c于点尸，△8CF就是等腰三角形；

④以8为圆心，8c长为半径画弧，交A3于点K,△3CK就是等腰三角形.

10

【解答】解：如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为4个.

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力.解决

此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作

图，逐步操作.

7.对于两组数据4,B>如果5/>5储，且X%=X8，贝I）（）

A.这两组数据的波动相同B.数据8的波动小一些

C.它们的平均水平不相同D.数据A的波动小一些

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定.

【解答】解：.•.数据8组的波动小一些.故选：B.

【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数

据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，

各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

8.如图，。是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3,-4）,顶点C在x轴的正半轴上，

函数y=k（*<0）的图象经过点3,则A的值为（）

【分析】根据反比例函数的性质和菱形的性质可以求得点6的坐标，从而可以求得A的值.

【解答】解：设点C的坐标为（c,0）,

是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3,-4）,顶点C在x轴的正半轴上，

.,.04=5,.,.点C（0,5）,.点8的坐标为（8,-4）,\,函数了='（4V0）的图象经过点

B,

11

:.-4=K得4=-32,故选：B.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，

利用反比例函数的性质和菱形的性质解答.

9.小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交

通比较拥堵，路线8的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%,

若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟.若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根

据题意，可列分式方程（）

25_32二1

%1.6x

【分析】若设走路线A时的平均速度为x千米〃卜时,则走路线B时的平均速度为1.6x千米/小时,

根据路线B的全程比路线A的全程多7千米,走路线B的全程能比走路线A少用15分钟可列出

方程.

【解答】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得至-3-=,.故选：

x1.6x4

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决

问题的关键.

10.如图，抛物线yuad+bx+c与X轴交于点A（-1,0）,顶点坐标（1,〃）与y轴的交点在（0,

2）,（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①3.+方＜0；②-lQW-看③对于任意实

数m,a+h^am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结

论正确的个数为（）

C.3个D.4个

【分析】利用抛物线开口方向得到再由抛物线的对称轴方程得到》=-2a,则3a+b=a,

于是可对①进行判断；利用2WcW3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③

进行判断；根据抛物线y=a/+加+c与直线-1有两个交点可对④进行判断.

【解答】解：•••抛物线开口向下，而抛物线的对称轴为直线x=-4=1,即6=-2a,

2a

12

：.3a+b=3a-2«=«＜0,所以①正确；；2这cW3,而c=-3a,-3a/3,-l＜a近-—,

3

所以②正确；•.•抛物线的顶点坐标(1,n),：.x=l时，二次函数值有最大值n,：.a+b+c^

“，讲+^机+以即4+方》“"/+从n,所以③正确；..,抛物线的顶点坐标(1,"),/.y=ax2+bx+c

与直线y=n-1有两个交点，.•.关于x的方程a^+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④

正确.故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当

。＞0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决

定对称轴的位置：当“与5同号时，对称轴在y轴左；当“与。异号时，对称轴在y轴右.常

数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(()，c).抛物线与x轴交点个数由判别式确

定：△=y-4彼＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=庐-4敬=0时，抛物线与x轴有1个交

点；△=庐-4双＜0时，抛物线与x轴没有交点.

二.填空题(共4小题，满分16分，每小题4分)

11.分解因式：3/-6x2y+3xM=3x(x-2xy+y2).

【分析】原式提取公因式分解即可.

【解答】解：原式=3x(x-Ixy+y1),故答案为：3x(.x-Ixy+y2)

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，找出原式的公因式是解本题的关键.

12.一副学生用的三角板如图放置，则NAO〃的度数为1()5°.

【分析】依据三角形内角和定理，即可得到N5OC=105。，再根据对顶角相等，即可得出N40Z)

的度数.

【解答】解：由题可得，ZACB=45°,ND3c=30°,.,.△8C0中，ZBOC=180°-45°-

30°=105°,AZAOD=ZBOC=105°,故答案为：105。.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及对顶角的性质，利用三角形内角和为180°是关键.

21

13.分式方程工的解是X=-1.

x-l

【分析】根据分式方程，可先去分母变为整式方程进行解答，解出整式方程的根注意要进行检验.

21

【解答】解：工_2工=0方程两边同乘以x-1得，，-1=0则(x+D(x-1)=0；.x+l=0或x

x-l

-1=0得，*=-1或*=1.检验：x=-1时，x-IWO；x=l时，x-1=0,故x=l舍去.

故分式方程的根为：X=-1.故答案为：X=-1

13

【点评】本题考查解答分式方程，解题的关键是解出方程的根要检验.

14.如图，在矩形纸片A3C。中，AB=6,8c=10,8c边上有一点E,BE=4,将纸片折叠，使4

点与E点重合，折痕MN交4。于M点，则线段AM的长是一孕.

-2―

【分析】过用作于F,根据矩形的性质得到48=90°,推出四边形A8/M

是矩形，得至FM=AB=6,根据折叠的性质得到AM=ME,设则EF=BF

=x,根据勾股定理列方程即可得到结论.

【解答】解：过M作MFJ_8c于尸，•四边形A8C。是矩形，...NZMB=N3=90°,

...四边形A8BW是矩形，...B歹=4W,FM=A3=6,•.•将纸片折叠，使A点与£点重合，折痕

MN交40于M点，：.AM=ME,设AM=x,则EM=5F=x,：.EF=x-4,在RtZ\ME尸中，

2222

ME=EF+MF,：.X=(X-4)2+62,解得：x=—,故答案为：—.

22

【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题

的关键.

三.解答题(共6小题，满分54分)

15.(1)计算：囱-(g)-|-3|x5-O-3.14)°

【答案】-15

【解析】解：原式=3-2-3X5-1=-15.

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键

(2)解方程：/+8万一9=().

【答案】玉=-1,X2=9

【解析】方程/+以一9=0，/+8%=9,丁+8犬+16=25,

即(X+4)2=25,X+4=±5百=-1,X2=9

14

【点睛】本题考查了解一元二次方程，要根据方程的特点选择合适的方法解方程，本题选用配方法

比较简便.

3X2_AyA

16.先化简，再求值（1-二）+”,钻+4,其中x=4.

X+1x2'

3

【答案】-

2

2

【解析】原式=（二元+二1一一3三）,X-4x+4x-2(x+l)(x-1)_x-\

x+1x+1x2-1x+1(x—2)-x—2

4-13

当x=4时，原式=----=—

4-22

【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

17.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A

地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至5地，再沿北偏东35°方向行驶一段距

离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求8、C两地的距离（结果保留整数）

（参考数据：tan55°=1.4,tan35°=0.7,sin55°—0.8）

【分析】过〃作BD_L4C于点O,在直角△450中利用三角函数求得3。的长，然后在直角△

BCD中利用三角函数求得BC的长.

【解答】解：过8作5O_LAC于点”在RtZUBO中，3O=A8・sinNA4O=4X0.8=3.2（千

米），

,.,△5C。中，NCBD=90°-35°=55°,ACD=•tanZCBD=4.48（千米）,

：.BC=CD^-sinZCBD^6（千米）.答：8、C两地的距离大约是6千米.

【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三

角形的知识，利用三角函数的知识求解.

18.“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采

用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请

你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有60人,扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为

15

30°；

(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到

“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人;

(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机

抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.

扇颜榴条隰1十图

40

30

20

了解很少10

0基本了解了解不了斛了耨

了解很少程度

【分析】(1)由了解很少的有30人，占50%,可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统

计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；

(2)利用样本估计总体的方法，即可求得答案；

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况,

再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：(1):•了解很少的有30人，占50%,...接受问卷调查的学生共有：304-50%=60

(人)•了解部分的人数为60-(15+30+10)=5,.•.扇形统计图中“了解”部分所对应扇形

的圆心角为：旦X360°=30°；故答案为：60,30；

和“基本了解”程度的总人数为300人，故答案为：300；

(3)画树状图如下：

MNMNMN

所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，所以P(抽到女生A)=3=《.

63

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比.

16

k

19.如图，双曲线尸一(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C,AB〃x轴，点A的坐标为(2,

x

3),BEJ_x轴，垂足为E.(1)确定k的值；(2)若点D(3,m)在双曲线上，求直线AD的解析式;

(3)计算△OAB的面积.

【解析】(1)将点A(2,3)代入解析式y=8,得：k=6；

X

(2)将D(3,m)代入反比例解析式y=9,得：m=9=2,.•.点D坐标为(3,2),

x3

[2k+b=3

设直线AD解析式为丫=1«+1),将A(2,3)与D(3,2)代入得：…

3k+b=2

左=一]

解得：,u则直线AD解析式为y=-x+5；

b=5

(3)过点C作CNJ_y轴，垂足为N,延长BA,交y轴于点M,TAB〃x轴，

OC1

.♦.BM,y轴，/.MB/7CN,.,.△OCN^AOBM,为0B的中点，即一=一，

OB2

...1竺=(；>,..》，c都在双曲线y=9上，.".SAO«=S""3,由不—一=；

'△OBM乙XJ4

得：SA*OB=9,则AAOB面积为9.

20.在Rt△板1中，N4雄=90°,BE平■分2ABC,。是边居上一点，以划为直径的。。经过点

且交员于点R1)求证：4c是。。的切线；⑵若必-2,应=4,求。。的半径.

CE

TBE平分NABC,ZOBE=ZEBC,ZEBC=ZOEB,

/.OE/7BC,...NOEA=NC,VZACB=90°,/.Z0EA=90°,/.AC是。0的切线

(2)解：设。。的半径为r.过点。作OH_LBF交BF于H,由题意可知四边形OECH为矩形，

.♦.0H=CE=4,CH=OE=r,/.BH=FH=CH-CF=r-2,在RtaBHO中，•.,0必+8112=(«2,

/.42+(r-2)2=r2,解得r=5.二。。的半径为5.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线和平行线的性质、勾股定理、垂径定理等知识，在

圆中常利用勾股定理计算圆中的线段.

四.填空题(共5小题，满分2()分，每小题4分)

21.已知一元二次方程-—4X-3=0的两根分别为，“n,则的值为-3.

mn------3~

【分析】由根与系数的关系可求得，〃+〃和，〃"的值，代入求值即可.

【解答】解：,一元二次方程x2-4x-3=()的两根分别为机，n,'.m+n=4,mn=-3,

/.^+-=—=-4,故答案为：-言.

innm33

【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于-卜、两根之积等于

a

义是解题的关键.

a

22.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,以CO为直径作。O.将矩形ABC。绕点C旋转，

使所得矩形A'8'C。的边A'所与。O相切，切点为E,边CIT与相交于点尸，则C尸的长为

【分析】连接OE,延长EO交CD于点G,作OH_LB'C,由旋转性质知/夕=ZB'CD'=

90°、A8=B=6,BC=B'C=4,从而得出四边形OEB'H和四边形EB'CG都是矩形且

OE=OD=OC=3,继而求得CG=B'E=OH=^oC2-CH2=2V2»根据垂径定理可得CF的

长.

【解答】解：连接OE,延长EO交C。于点G,作C于点”，

则N0E8'=NOHB'=90。，•矩形A3。绕点C旋转所得矩形为A'B'C'D',

：.ZB'=NB'CD'=90°,AB=CD=6,BC=B'C=4,

18

二四边形0£8'”和四边形EB'CG都是矩形，OE=OD=OC=3,A'

：.B'H=0E=3,：.CH=B'C-B'H=l,

22=

：.CG=B'E=0H=VOC-CH2V2»

T四边形E"CG是矩形，：.ZOGC=90°,BPOGLCD',

：.CF=2CG=4-/2,故答案为：4&.

【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性

质、切线的性质、垂径定理等知识点.

23.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿C4方向平移得到△AGOi，连结40卜

BCi.若NAC8=30°,AB=i,CCi=x,△AC。与△AiG"i重叠部分的面积为s,则下列结论:

①△ApWig/XCGB；②当x=l时，四边形ABCiD!是菱形；③当x=2时，△引孙为等

边三角形；④s=Ya(x-2)2(0<x<2)；其中正确的是①②③.(把你认为正确结论

4

【分析】①根据矩形的性质，得NZMC=N4C5,再由平移的性质，可得出NOiAiA=NACB,

AiD^CB,从而证出结论；②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当G在AC中点时四边

形ABCN1是菱形.③当x=2时，点Q与点A重合，可求得3Q=OZ>i=5Di=2,从而可判断

△BDDi为等边三角形.④易得△AG尸s2UC。，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函

数关系式.

【解答】解：①•.•四边形45CO为矩形，：.BC=AD,BC//AD：.ZDAC=ZACB

,把△AC。沿C4方向平移得到△AG。1，：.ZDiAiA=^DAC,AXDX=AD,AAi=CCi，

在△AiAOi与△CQB中，，.♦.△4401义△CQ8(SAS),故①正确；

@VZACB=30°,.,.ZCAB=60°,'：AB=1,：.AC=2,Vx=l,AAC^l,

...△ACiB是等边三角形，.•.AB=DiG，又A3〃5G，二四边形ABGOi是菱形，故②正确；

③如图所示：

OfD

K-------------------------7

19

4AC

则可得5。=。。1=3〃1=2,为等边三角形，故③正确.

④易得△AGFs/UC。，.•.=（亨）2,解得：S&ACIF=®（x-2）2（0<x<2）；故④错

28

误；综上可得正确的是①②③.故答案为：①②③.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形

的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一

定难度.

24.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=2交于A（xi，n）,B（x2,y2），那么（打-外）

X

-J2）=20・

【分析】正比例函数的图象与反比例函数y=❷的两交点坐标关于原点对称，依此可得勺=-X2,

X

替换后计算即可求解.

【解答】解：•••正比例函数的图象与反比例函数y=至交于4（xi，JI），B（孙，儿），关于原

X

点对称，依此可得肛=-X2，刃=72，；・（X1-X2）（力-及）=（-X2-X2）（-72-72）

=4X"2=4X5=20.故答案为：20.

【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐

标关于原点对称.

25.如图，在菱形A3CD和菱形尸G中，点A、B、£在同一直线上，尸是线段。尸的中点，连

rp1

接PG,PC.若NA8C=N8Ef=6（）°，则"=—.

CG-2-

D--______，

一

ARE

【分析】延长GP交C£>于如图，根据菱形的性质得G尸〃CO,ZBC£>=120°,CD=CB,

GB=GF,则利用平行线的性质得NPOM=NPFG,于是可判断尸G,所以MD=

GF,PM=PG,接着证明CM=CG,则根据等腰三角形的性质有CPLVG,CP平分NMCG,

所以NPGC=30°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解.

【解答】解：延长GP交CD于M,如图，,四边形ABCQ和8EFG为菱形，点4、3、E在同

20

一直线上，：.GF//CD,N8C0=12O°,CD=CB,GB=GF,:.NPDM=NPFG,

fZPDM=ZPFG

在和△PFG中，PD=PF，:APDMW^PFG,：.MD=GF,PM=PG,

NDPM=NFPG

：.MD=GB,：.CM=CG,'：PM=PG,：.CP1.M