信 与系统课后习题答案汇总

第一章习题参考解答

绘出下列函数波形草图。

(1/2)〃n>0

(1)x(r)=3eT"

2〃n<0

(3)x⑺=sin2加2⑺

(5)x(f)=e~rcos4加[£(，)-s(t-4)]

7t

(7)x«)=[5(r)-5(f-2)]cos—f

2

(9)x(t)=-1)+s(t-2)

(11)X(0=—[£(t+1)--1)](12)x(〃)=e(-n+5)-s(-n)

dt

(13)x(t)=[J(r-l)6/r(14)x(ti)=-〃£(-〃)

J-00

确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。

(1)x(f)=3e-M

解能量有限信号。信号能量为:

,、(1/2)"«>0

⑵%(«)=?7'

2""0

解能量有限信号。信号能量为：

(3)x(r)=sin2加

解功率有限信号。周期信号在(-8,8)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，sin2勿的周期为1。

(4)x(n)=sin—/?

4

TT

解功率有限信号。sin一〃是周期序列，周期为8。

4

(5)x(t)=sin271t£(t)

解功率有限信号。由题(3)知，在(-0。,00)区间上sin2加的功率为1/2,因此sin2m仪力在(-。,8)区间上的功率

为1/4。如果考察sin2万£«)在(0,8)区间上的功率，其功率为1/2。

(6)x(n)=sin—ns(ri)

4

解功率有限信号。由题(4)知，在(-oc,oo)区间上sin工〃的功率为1/2,因此sin工〃£(〃)在(TX>,co)区间上的功率

44

TT

为1/4。如果考察sin—〃£(")在(0,oo)区间上的功率，其功率为1/2。

4

(7)M)=3e-'

解非功率、非能量信号。考虑其功率：

上式分子分母对7求导后取极限得Pf8.

(8)x{t}=3e~'£(t)

解能量信号。信号能量为：

已知x(f)的波形如题图所示，试画出下列函数的波形。

(3)x(2f)

1

⑸

(8)x{—2i+2)

(10)x(一;/一2)

22

1已知x(〃)的波形如题图1

(5)x(—n-3)+x(—n+3)

▽x(〃)=x(n)-x(n-1)(8)

任何信号可以分解为奇分量和偶分量的和：

x(t)=xe(t)+xo(t)或x(n)=xe(n)+xo(n)

其中“为偶分量；与为奇分量。偶分量和奇分量可以由下式确

定：

Xe«)=；［x«)+X(T)］，

%-X(T)]

xe(n)=；[x(n)+x(-n)],%(〃)=；[x(〃)一X(-H)]

(1)试证明/(，)=/(T)或须,(〃)=/(-〃)；2%(/)=-与(一，)或

xo(n)=-xo(-n)o

(2)试确定题图(a)和(b)所示信号的偶分量和奇分

量，并绘出其波形草图。

(1)证明根据偶分量和奇分量的定义：

离散序列的证明类似。

(2)根据定义可绘出下图

1

设元(“)=2",试求办(〃),Ax(〃),不何〃)。

解Vx(n)=x(n)-x(n-l)=2n-2"-1=--2n=2n-1

2

判断下列信号是否为周期信号，若是周期的，试求其最小周期。

(1)x(t)=cos(4/+—)

6

解周期信号，(=一

2

⑵x(r)=sin(2m)£«)

解非周期信号。

(3)x(t)=e~fcos(2^r)

解非周期信号。

/7(33)

(4)x(0=e34

解周期信号，T]=8。

(5)x(t)=asin(5r)+bcos(加)

解若。=0涉。0,则X")为周期信号，7协=2；

若。。0/=0,则X。)为周期信号，TXa=1zr；

若涉工0,则为非周期信号飞

(6)x(〃)=cos(—〃+3)

8

解周期信号，N]=16。

7

(7)M〃)=cos(—加7)

解周期信号，Nx=18o

(8)x(n)=con(l6n)

解：非周期信号。

J2-4H

(9)x(〃)=e]5

解：周期信号，N|=15。

(10)x(〃)=3cos(—n)+sin(—n)-2sin(—n+

634

解：周期信号，最小公共周期为N|=24。

计算下列各式的值。

(1)f

J—00

解：原式=jx(-t0)8{t}dt=x(-/0).

J—CO

(2)|X(T-/0)S(r)dT

解：原式=fx(-r0)(^(r)Jr=x(-zo)-£：(O

J-co

(3)Px{t-t)8(t)dt

J-OC0

解：原式=Jj(/())3(f)(〃=xQ())

(4)J/XQToW⑺力

解：原式=_"什_『o)|o=一工'(一2)

⑸f-，o）£（f-《）力

J-82

解：原式=j£（t（）一~：）•演1一，0）力=£（彳-）

（6）「3（:■-，o）£«-2,o）dr

J—30

解：原式二I=5（7_fo）£（，0_2f0）dz'二£（To）［/«_f0）dK=£（-/（））£（/_，0）二i）J<0

（7）「8{t}dt

解：原式二1

（8）（°8（t）dt

J-8

解：原式=0

⑼r6{t）dt

JO

解原式二0

fO4

（10）S（t）dt

J。-

解原式=1

(11)「S(3r-3)(f2+21)4

解令u=3/得：

原式=「S(f吟1

)2+2Z_I]1</V=1[(Z)2+2^_1]

J-83333333

(12)「9Q+l)x(f)〃

J—00

=x

解：原式=—X(o|z__j~(—1)

(13)「^(t)e~rdt

J—00

解：原式=-[6-']/=0=1

1

(14)Rs⑵-3)x(，)力

~3

解：令u=N得：

2121

f—v1r—v

原式=「^(v-3)x(—)•—Jv==，3b(u-3)x(—)•一du

J，2222

33

2

因为5(y-3Mu=0,所以：原式=0

~3

设x(f)或x(〃)为系统的输入信号，y(f)或y5)为系统的输出信号，试判定下列各函数所描述的系统是否是：(a)

线性的(b)时不变的(c)因果的(d)稳定的(e)无记忆的？

(1)y(r)=x(r+4)

解(。)线性的.

•・,若xx(/)->y}(f)=X[什+4);x2(t)->y2(r)=x2(t+4)

贝ij:axx(t)+bx2(t)Ty(t)=axj(t+4)+bx2(Z+4)=ayx(t)+by2(0

(b)时不变的.

•・•若xQ)fy«)=x(r+4)

则：x(t-r)—>+4-r)

(c)非因果的.

t0时刻的响应取决于/0以后时刻(即r0+4时刻)的输入.

(d)稳定的.

V若|x(t)\<M<(X>则：Iy(t)l<M<co

(e)有记忆的

•.•若系统的输出仅仅取决当前时刻的输入，则称此系统为无记忆系统。题给系统显然不满足此条件。

(2)y(t)=x(t)+x(t-r)(r>0>且为常数)

解(a)线性的.

•.•若力(/)=%(1)+占"-7)，x2(t)->y2(0=x2(t)+x2(t-r)

则：ax1(t)+bx2(.t)-»y(f)=a\x}(t)+xt(t-r)]+t{xz(0+x2(t-r)]=ayt(f)+hy2(t)

S)时不变的.

v若x(t)—>y(t)=x(t)+x(t-r)

则:x(t—t())x(t—t0)+x(t—t()—r)=y(t—t0)

(c)当T>0时为因果的.

V当r>0时:系统2时刻的输出仅与2及力以前时刻的输入有关.

当r<0时:系统2时刻的输出与t0以后时刻的输入有关.

(d)稳定的.

,/若|x(t)|<oo,则|y(t)|<oo

(e)有记忆的.

系统"时刻的输出与“时刻以前的输入有关.

(3)y(t)=x(t/2)

解：(a)线性的.(说明略)

S)时变的

V若x(f)-)«)=x(；)

贝Ij:x(t-r)->x(--r)*x(-~-)

22

(c)非因果的.

---y(—1)=x(--).即t=—1时刻的输出与t=-1时刻以后(?=--)的输入有关.

(d)稳定的.(说明略)

(e)有记忆的.

­,•y(l)=x1).即f=1时刻的输入与t=1时刻以前(f=1)的输入有关.

(4)y(t)=x2(f)

解：3)非线性的.

・・・若Xj(r)->y](r)=xy(0,x2(t)->y2(0=^2W

2

则：ax]«)+bx2(t)f[ax}(t)+bx2(r)]*ax[(f)+bx^(t)=ay}Q)+by2(0

S)时不变的.

,/若x(r)ty。)=x2(r)

则：x(t-T)-^x2(r-r)=y(t-r)

(c)因果的.(说明略)

3)稳定的.(说明略)

(e)无记忆的.

•・,/0时刻的输出仅取决于功时刻的输入.

⑸y(t)=e2x(,)

解：(〃)非线性的.(说明略)

S)时不变的.(说明略)

(C)因果的.(说明略)

(d)稳定的.

・・・若\x(t)\<M<cx>t则|y⑺-e2M<8

(e)无记忆的.(说明略)

(6)y(t)=x(t)sin2加

解：(a)线性的.

若.⑺—>y](f)=[sin2/U]x}(f)，x2(t)—>y2(0=[sin(f)

则：ciXy(，)+bx2s—>sin2巩ax[Q)+bx2(0]=Q)+t>y2(0

(b)时变的.

,/若x(r)—>y(t)

则：x(t-r)—>(sin2m)x(f-T)Wy(t-r)=[sin27cq-r)]x(f-r)

(c)因果的.(说明略)

(d)稳定的.

,/若|x(t)|<A/<oo,则Iy(f)|<M|sin2t\<M<oo

(e)无记忆的.(说明略)

⑺刈=『x(f)>0

解：(a)非线性的.

若x(t)(<0)-»为。)二0

而。<0时：ar(f)(<0)-»乃⑺=0*⑺，即不满足均匀性.

(b)时不变的.

■:若x(7)fyQ)

x(f-fo)x(z-Zo)>O

则:x(Io)f=y«To)

0x(t-r0)<0

(c)因果的.

vt0时刻的输出仅与以后时刻的输入无关.

(d)稳定的.(说明略)

(e)无记忆的.(说明略)

(8)网=幽

dt

解：(a)线性的.

若X]⑺—力0)=^^，X2(t)y2(t)=

atat

则：ax⑺+bx^(r)—>—[ax(t)+b*(r)]=ay⑺+by(t)

ydt]]2

(b)时不变的.

•・•若：x(r)->y(t)=

dt

,idr("切dx(t-T)

则m：x(r-r)->-------=------=y(t-r)

dtd(t-r)

(c)因果的.(说明略)

(d)非稳定的.

(e)无记忆的(说明略)

(9)),")='，x(r)dr

解：(a)线性的.(说明略)

（b）时不变的.

,/若：x(t)->y«)=[x（T）dr

J-00

则：xQ—o)fJ“x(r-r0)Jr=j°x(y)dv=y(t-tQ)

(c)因果的.(说明略)

(d)非稳定的.

若|x(f)H«(01<81,但|y(f)|->oo

(e)有记忆的.(说明略)

(10)y(n)=x(n)x(n-\)

解：(a)非线性的

,/若xx(w)—>y](ri)=x}(n)-x{(n-1),x2(n)—>y2(«)=x2(ri)-x2(n-1)

则：ax](〃)+bx25)—>[ax](〃)+bx2(n)][ax(n-i)^-〃巧(〃-1)]wayx(n)+by2(«)

(b)时不变的.

・・・若x(n)->y(n)=x(〃)•x(n-1)

则：x(n—N)—>x(n-N)•x(n—N—1)=y(n—N)

(c)因果的.

•・•时刻的输出与与时刻以后的输入无关.

(d)稳定的.

,/若Ix(〃)区M<8,贝ij:y(ri)|<M2<oo

(e)有记忆的.

•・,〃o时刻的输出与"0时刻以前的输入有关.

(11)y(n)=nx(n)

解：(a)线性的.

,/若M〃)T必(〃)=%(〃)，(〃)—>为(〃)="叼(n)

则:ax{(7?)+bx2(w)—n[ax](〃)+bx2(/7)J=ay[(7?)+by2(n)

(b)时不变的.

,/若M〃)fy(〃)=nx(n)

则：x(n一N)—>N)x(n-N)=y{n-N)

(c)因果的.(说明略)

(d)非稳定的.

即使|x(n)\<M,〃一>oo时，y(〃)—>oo

⑹无记忆的.(说明略)

(12)y{n)=5x(/?)+6

解:(a)非线性的.

若X](n)—>y](n)=5»(〃)+6,x2(n)ty2(〃)=5x2(n)+6

则:axx(〃)+bx2(n)—>)，(〃)=5[ax](n)+bx2(w)]+6=ay[(〃)+6y2

（b）时不变的.（说明略）

⑹因果的.（说明略）

（d）稳定的.（说明略）

（e）无记忆的.（说明略）

(13)y(n)=x(-n)

解：(a)线性的.(说明略)

(b)时变的.

,/若x(n)—>y(n)=x(-n)

则：x(〃-N)-x(-n-N)wy(n-N)-"-(〃-N)]

⑹非因果的.

vy(-l)=Xl).即w=-l时刻的输出与〃=-1以后时刻(〃=1时亥||)的输入有关.

(d)稳定的.(说明略)

(e)有记忆的.

;y(l)=x(—1).即〃=1时刻的输出与〃=1以前时亥！I(”=—1时亥U)的输入有关.

*已知x(2-2。的波形如题图所示，试画出x(r)的波形。

解将何2-2。的波形扩展可得*(2-0，将x(2-f)的波形翻转得x(2+r),将

x(2+0右移2个单位可得x(r)的波形如下：

*判断下列每个系统是否是可逆

的，如果是可逆的，试构成其逆

系统；如果不是，找出使系统具题图

有相同输出的两个输入信号。

(1)>,(/)=J_e-"T)x(r)dr

解原式两边求导得：

上式同原式相加得：*。)=火力+电@

dt

所以系统可逆，逆系统为：x(f)=y(f)+包©

dt

x(n-l)n>1

(2)y(n)=«0n=0

x(n)n<-\

fv(〃+1)〃>0

解：系统可逆，逆系统为：戈5)=9

［y(n)n<-\

⑶武力=掣

dt

解系统不可逆，因为不能由x(f)唯一地确定y⑺。例如：西(f)=q,X2«)=。2(G工Q)

y\(0=y\(0=­：—=­：—=0

atdr

(4)y(〃)=

解系统不可逆，因为当〃=0时，不论X(")取何值，y(〃)|,=o=O。

(5)y«)=『x(r)Jr