数字信号处理(三版)课后习题答案

—•-^7*.

第一早

2.1判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小

周期。

5乃冗

(1)x(n)=Acos(86)

eJ(——兀)

(2)x(n)=8

34--〃+71-

(3)x(n)=Asin(43)

解(1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(加+。),得

542乃_16

出。=不。因此至二彳是有理数，所以是周期序列。最小周期等于

3左=16(后取5)

N=50

(2)对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[b+.滋]n,得出

(o=-红=16%

8。因此。是无理数，所以不是周期序列。

(3)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(丽+9),又

3TT71冗3冗冗3乃1

—H+------—n———n

x(n)=Asin(43)=Acos(243)=Acos(46),得出

2TT_8

。=彳。因此至二5是有理数，所以是周期序列。最小周期等于

Q

N二六8(左取3)

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入

和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统

的输出y(n),并画出y(n)的图形。

h(n)=u(n)

4x，(n)

■2

1.

-10123n

x(n)h(n)

2

(b)

x(n)=u(n)

h(n)=

解利用线性卷积公式

元x(k)h(n-k)

y(n)=*=p

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每

一个取样值。

(a)y(0)=x(O)h(O)=l

y(l)=x(O)h(l)x(l)h(0)=3

y(n)=x(0)h(n)x(l)h(n-l)x(2)h(n—2)=4,n22

(b)x(n)=26(n)-<$(n-l)

h(n)=-<^(n)26(n-l)(n-2)

y(n)--2<>(n)5<>(n-1)=(n-3)

(c)y(n)=

£“(女)3%(〃-%)

|VI1.2址Y（〃）的图形.

图1.2

2.3计算线性线性卷积

(1)y(n)=u(n)*u(n)

(2)y(n)=%"u(n)*u(n)

解：⑴y(n)=

00

Su(k)u(n-k)

左二-oo

00

Su(k)u(n-k)

k=0

二(nl),n20

即y(n)=(nl)u(n)

⑵y(n)—A:=-co

£才好)小一%)上£

—*=°=1—4,n20

1-犷

即y(n)=1-2u(n)

2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为hl(n)和h2(n)的

两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n),hl(n)=(S(n)-6(n-

4),h2(n)=a"u(n),|a|<l,求系统的输出y(n).

j(n)Ooy(n)

x(n)九i(〃)

T〔T・・・I,,

—•-I----------,•"«•♦―••♦—

-10123n-101235n

■-1

解。(n)=x(n)*hl(n)

N%"3]

=u(n)-u(n-4)

y(n)=。(n)*h2(n)

=《=-00[u(n-k)-u(n-k-4)]

00

—&=”-3,n23

2.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a«u(-

n),0<a<l用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明(1)交换律

y'x(k)y(n-k)

X(n)*y(n)=*=p

令k=n-t,所以t=n-k,又-8<k<8,所以-oo〈t<8,因此线性卷积

公式变成

x(n)*y(n)=

Op

/=—co

00

Xx(n~Oy(O..(、

=，="«=y(n)*x(n)

交换律得证.

(2)结合律

[x(n)*y(n)]*z(n)

「(〃一A八/、

=L*=—J*z(n)

之㈤火-明

二­|_bvJz(n-t;

COtXi

yy

=*—,x(k)/=--«>y(t-k)z(n-t)

QO

=k-x(k)my(m)z(n-k-m)

8

y

=*=-x(k)[y(n-k)*z(n-k)]

=x(n)*[y(n)*z(n)]

结合律得证.

(3)加法分配律

x(n)*[y(n)z(n)]

oo

y

=x(k)[y(n-k)z(n-k)]

oooo

yy

=卜一x(k)y(n-k)k=­x(k)z(n-k)

=x(n)*y(n)x(n)*z(n)

加法分配律得证.

2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系

统、因果系统。并加以证明

⑴y(n)=2x(n)

3(2)y(n)=

24£

x(n)sin[3n6]

(3)y(n)=j(4)y

n

£x(&)

(n)=k=%

(5)y(n)=x(n)g(n)

解(1)设yl(n)=2x1(n)3,y2(n)=2x2(n)3,由于

y(n)=2[xl(n)x2(n)]3

Wyl(n)y2(n)

=2[x](n)x2(n)]6

故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)3,T[x(n-k)]=2x(n-k)3,因而

y(n~k)=T[x(n-k)]

故该系统是非移变系统。

设|x(n)|WM,则有

|y(n)|=12x(n)312M3|<°°

故该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输

入，故该系统是因果系统。

2乃£

(2)设yi(n)=axi(n)sin[3n6]

2万£

y2(n)=bx2(n)sin[3n6]

由于y(n)=T[axi(n)bx2(n)]

2万£

=[axi(n)bx2(n)]sin[3n6]

2£££

=axi(n)sin[3n6]bx2(n)sin[3n6]

=ayi(n)by2(n)

故该系统是线性系统。

2乃£

由于y(n-k)=x(n-k)sin[3(n-k)6]

2-£

T[x(n-k)]=x(n-k)sin[3n6]

因而有T[x(n-k)]Wy(n-k)

帮该系统是移变系统。

设|x(n)|WM,则有

24£

|y(n)|=)x(n)sin[3(n-k)6]|

2万冗

二|x(n)||sin[3(n-k)6]|

2万£

WM〔sin[3(n-k)6]|WM

故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输

入，故该系统是因果系统。

g、几,、/小)/4)

(3)设yNn)-4=­a>,y2(n)=k=^Xi,由于

/、T「/\A/£[ax«)+b沁(初

y(n；=TLaxi(n；bx2(n)J=1

/(&)以必)

=aJ>bj=ayMn)by2(n;

故该系统是线性系统。

n-tn

因y(n-k)=k=-cc—m=-<x)

=T[x(n-t)]

所以该系统是非移变系统。

,、、、

设x(n)=M<°°y(n)==°°,所以该系统是不稳定系

统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输

入，故该系统是因果系统。

Em")£筋(&)

(4)设yi(n)—k=na,y2(n)=k=no,由于

n

/\T「/x./MWaxG)+bM初

y(n)=I|_axi(n)bx2(n；J=

2箫(4)£心(&)

=a〜。b』。=ayi(n)by2(n)

故该系统是线性系统。

n-tn

用,I、i>(&)D(m-/)

因y(n-k)=A=〃o—m=no+t

WT[x(n-t)]=k=%

所以该系统是移变系统。

设x(n)=M,贝"为(n)=㈣(n-n())M=8,所以该系统不是稳定系

统。

显而易见，若nNn。。则该系统是因果系统；若n〈n。。则该因

果系统是非因果系统。

⑸设y।(n)=x1(n)g(n),y2(n)=x2(n)g(n),由于

y(n)=T[ax'(n)bx2(n)]=(ax)(n)bx2(n))g(n)

=ax'(n)g(n)b2(n)=ay1(n)by2(n)

故系统是线性系统。

因y(n-k)=x(n-k),而

T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)Wy(n-k)

所以系统是移变系统。

设|x(n)则有

|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)

所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于本来的输

入，故该系统是因果系统。

2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性

(1)h(n)=2"u(-n)(4)

h(n)=(2)«u(n)

(2)h(n)=-a"u(-nT)(5)h(n)=«u(n)

(3)h(n)=6(nn°),n°》0(6)h(n)=2"R"u(n)

解(1)因为在n<0时，h(n)=2〃W0,故该系统不是因果系

统。

QCOC

y2

因为S=~|h(n)|n=Q2”=1<8,故该系统是稳定系统。

(2)因为在n<0时,h(n)WO,故该系统不是因果系统。

caoo

Vt,V

因为s="上|h(n)|»<=­OCa"|=故该系统只有在

a|>l时才是稳定系统。

(3)因为在n<0时,h(n)WO,故该系统不是因果系统。

QCQC

V3|S(nn())|=l<8,故该系统是稳定

因为s=±|h(n)|

系统。

(4)因为在n〈O时,h(n)=O,故该系统是因果系统。

QC81

yV1

因为S=~|h(n)|仁(2)”|<8,故该系统是稳定系统。

(5)因为在n〈O时,h(n)=«u(n)=0,故该系统是因果系统。

QCQC81

sV1

因为s=n=—cc|h(n)|n=-cc«u(n)|”=O〃=8,故该系统不是

稳定系统。

(6)因为在n〈0时,h(n)=O,故该系统是因果系统。

QC

Vs

因为S="=—|h(n)1二»=o2〃|=2N-1<8,故该系统是稳定系

统。

2.9已知y(n)-2cos"y(n-l)y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,

sin(ny3)

求证y(n)=sin#

证明题给齐次差分方程的特征方程为

a2-2cos户,a1=0

由特征方程求得特征根

al=cos"jsin"=eM,a2=cos"-jsin"=e-)

齐次差分方程的通解为

y(n)=c'«1c2a倘c)eT侦

代入初始条件得

y(0)=01c2=0

y(1)=c'ejPnc2e-〃"=l

由上两式得到

]11

ipnjPn

c\-e-e~-2sinpc2--c2sinp

将cl和c2代入通解公式，最后得到

1sin(