含有耦合电感的电路

第十章含有耦合电感的电路

重点：

1.互感和互感电压

3.含互感电路的计算

4.变压器和理想变压器原理与分析

2.同名端的应用magneticallycoupledcircuits10-1互感10-2含有耦合电感电路的计算10-3耦合电感的功率10-4变压器原理10-5

理想变压器目录10-1互感（mutualinductance）由法拉第电磁感应定律可知：只要线圈的磁通(magnetic

flux)发生变化，就会在线圈中产生感应电动势，不论磁通变化是否由本线圈电流引起。互感现象：由于邻近线圈电流的变化而引起另一感应电动势（感应电压）的现象。发生互感现象的两个线圈称互感耦合（磁耦合）线圈，简称互感线圈。下面是利用互感的实际例子。变压器变压器有载调压变压器小变压器调压器整流器牵引电磁铁电流互感器电抗器1.有关概念：以

2个线圈为例(上图所示)：

线圈1(电感为L1)的匝数为N1，线圈2(电感为L2)的匝数为N2。它们各自的绕向如图。i1为流入线圈1的电流，i2为流入线圈2的电流，方向如图。线圈各端子的编号如图所示。+–+–u11u21i1

11

21N1N2´1´212i2

22

21+–u12+–u22+_u1+_u2

当线圈1

通以电流

i1时，i1在线圈1中将产生自感磁通

11，

11交链线圈1产生自感磁通链Ψ11。

11的一部分(或全部)将交链另一线圈2，用

21表示，

21≤

11。

21交链线圈

2产生互感磁通链Ψ21。这种一个线圈的磁通交链另一线圈的现象，称为磁耦合（互感耦合）。

21称为耦合磁通，或互感磁通；电流

i1称为施感电流。+–+–u11u21i1

11

21N1N2´1´212

当线圈

1

中的电流

i1变动时，自感磁通

11随电流而变动。根据电磁感应定律，除了在线圈

1

中产生自感电压u11外，还将通过互感磁通

21在线圈

2中也产生感应电压，这个电压称为互感电压，记为u21。如果根据线圈

2

的绕向来选择u21和

21的参考方向，使它们符合右螺旋定则，则有其中。当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有其中M21称为互感系数，单位为H(亨)。+–+–u11u21i1

11

21N1N2´1´212

同理，当线圈

2

通以电流

i2

时，i2在线圈

2

中将产生自感磁通

22

，

22交链线圈

2产生自感磁通链Ψ22

。

22的一部分(或全部)将交链另一线圈

1，用

12表示，

12≤

22。

12

交链线圈

1

产生互感磁通链Ψ12。

12称为耦合磁通，或互感磁通；电流

i2

称为施感电流。

当线圈

2

中的电流

i2

变动时，会在线圈

1

中产生互感电压u12。按照右螺旋定则规定u12和

12的参考方向时，有其中。当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有其中M12称为互感系数，单位为H(亨)。

可以证明：M12=M21，所以当只有

2个线圈(电感)有耦合时，可以略去M的下标，即可令M12=M21=M。双下标的含义

第

1个下标表示该磁通(链)所在线圈的编号，第2个下标表示产生该磁通(链)的施感电流所在线圈的编号。+–+–u11u21i1

11

21N1N2´1´212i2

22

21+–u12+–u22+_u1+_u22.互感线圈的同名端：（1）定义：

按右螺旋定则所规定的互感电压的正极性(或参考方向)与施感电流的参考方向和

2个线圈的绕向都有关系。研究表明，施感电流流进线圈的端子(简称为进端)与其互感电压(在另一个线圈中)的正极性端总有一一对应的关系。工程上把具有上述对应关系的这对端子称为两耦合（互感）线圈的同名端，并用相同的符号如“*”或“●”“∆”将它们标记出来。这样就可以把

2个耦合线圈用带有同名端标记的电感

L1和

L2来表示。i1**L1L2+_u1+_u2M+–+–u11u21i1

11

21N1N2´1´212+_u1+_u2**为便于反映互感的增强或削弱作用，简化图形表示，工程上采用同名端标记方法。（2）同名端

另一定义：同名端判定方法

当

2个电流分别从

2个线圈的对应端子流入，其所产生的磁场相互加强时，则这

2个对应端子称为同名端，否则称异名端。+–+–u11u21i1

11

21N1N2´1´212i2

22

21+–u12+–u22+_u1+_u2上图1和

2为同名端，1’

和

2’

也为同名端。（3）同名端的标记方法：1)使耦合线圈之一通以施感电流(指定参考方向)，根据载流线圈的绕向按右螺旋关系确定其它耦合线圈中互感磁通的方向，再根据互感磁通与所在线圈的绕向按右螺旋关系一一确定每一个耦合线圈中互感电压的正极性端，

则互感电压的正极性端与施感电流的进端构成同名端。+–u11+–u21i1

11

0N1N2+–u31N3

s**2)当

2个线圈中的电流同时由同名端流入(或流出)时，这

2个电流所产生的磁通相互增强。3)当有增大的施感电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。

i11'22'**11'22'3'3**

注意：

一个线圈(电感)可以不止和一个线圈(电感)有磁耦合关系；当有2个以上线圈(电感)彼此之间存在磁耦合时，同名端应当一对一的加以标记，每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。11'22'3'3*

*（4）同名端的实验测定：i11'22'**RSV+–电压表正偏。如图电路，当闭合开关S时，i增加：当断开S时，如何判定？

当

2个线圈装在黑盒里，只引出4

个端子，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。例：

图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，

M=1H，求两耦合线圈的磁通链。i1**L1L2+_u1+_u2i2M

11=L1

i1

=20Wb

22=L2

i2

=15cos(10t)Wb

21=M

i1

=10Wb

12=M

i2

=5cos(10t)Wb

1=L1

i1

+

M

i2

=[20+5cos(10t)]Wb

2=M

i1+

L2

i2=[10+15cos(10t)]Wb3.由同名端及u，i参考方向确定互感线圈的特性方程:伏安关系

有了同名端，以后表示2个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，即不用画出线圈，而只画出同名端及参考方向即可。互感电压的极性可以这样判断：当电流从一线圈(电感)的同名端指向另一端（流入）时，在与其耦合的线圈中，由该电流产生的互感电压也从同名端指向另一端。i1**L1L2+_u1+_u2M+–+–u11u21i1

11

21N1N2´1´212+_u1+_u2**由此可以写出以下相量形式表达式：上式表明互感电压超前产生它的施感电流90o。

当彼此耦合的电感都通以电流时，每一个电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。对第

k

个电感有，式中凡与(自感磁通链)同向的互感磁通链前面取正号，反之取负号。

与此相应，各个耦合电感上的电压将等于自感电压与相应互感电压的代数和。对第

k

个电感有式中凡与自感电压同向的互感电压前面取正号，反之取负号。ij**ukj+–Mkjij**ukj_+Mkj注意：由于参考方向的选取不同，电压电流关系式中的符号不同：自感电压看自身线圈电压电流参考方向是否关联；互感电压看该电压的参考方向与产生此电压的电流参考方向对同名端是否一致。如以下2种情况：例1：写出图示电路电压、电流关系式i1i2M**L1L2+_u1+_u2i2i1**L1L2+_u1+_u2Mi1i2**L1L2+_u1+_u2M**i1L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M例2：图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，M=1H，求两耦合线圈的端电压u1

和u2

。例3解10210i1/At/s**R1R2i1L1L2+_u+_u2M求)()(H,1,H2,H5,102211tutuMLLR和已知===W=电流波形如图+i1**L1L2+_u1_u2i2M+_+_+_+_u11u12u21u22++**L1L2+__+__+_+_++__+_+_用CCVS进行等效：(相量形式)4.

互感线圈电压电流关系（伏安关系）的相量形式++i1**L1L2+_u1_u2i2M+_+__+_u11u12u21u22++**L1L2+__+__+_+_++__+_+_用CCVS进行等效：(相量形式)

5.耦合系数

k

工程上为了定量地描述2个耦合线圈的耦合紧密程度，定义耦合因（系）数k

如下:互感磁链与自感磁链比值的几何平均值互感M的量值反映了一线圈在另一线圈中产生磁通的能力，两个耦合线圈的磁通一般只有部分交链，彼此不交链的部分称漏磁通。当

k=1

时，称之为全耦合现象。互感现象的利与弊：利用——变压器：信号、功率传递避免——干扰克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用；采用屏蔽。11'22'k≈1思考什么情况下

k≈0？

k的大小与两个线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。改变或调整它们的相互位置有可能改变耦合因数的大小；越近k越大，当

L1

和

L2

一定时，也就相应地改变了互感系数

M

的大小。说明：10-2含有耦合电感电路的计算

含有耦合电感电路的正弦稳态分析仍可以采用相量法。KCL的形式不变；在KVL的表达式中，应正确计入由于互感的作用而引起的互感电压。当某些支路具有耦合电感时，这些支路的电压将不仅与本支路电流有关，同时还将与那些与之有互感关系的支路电流有关。

一般情况下，对于含有耦合电感的电路，可以列写KCL方程、KVL方程和回路(网孔)方程；列写结点电压方程将遇到困难，较少使用。++**L1L2+__+__+_+_1.互感线圈的串联1)顺(同）向串联–i1MR1R2L1L2u+*u1+–u2–+*i2iiLeqReq–u+等效也可通过其相量形式的电路方程来分析–MR1R2L1L2+*+––+*ReqLeq+–等效顺向串联的另一种等效电路–R1R2+–+–+顺向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗大(电抗变大)，此时互感起加强作用。2)反（逆）向串联–i1MR1R2L1L2u+*u1+–u2–+*i2iiLeqReq–u+等效也可通过其相量形式的电路方程来分析–MR1R2L1L2+*+––+*ReqLeq+–等效反向串联的另一种等效电路–R1R2+–+–+反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗小(电抗变小)，此时互感起削弱作用。3)相量图**+–R1R2j

L1+–+–j

L2j

M

相量图：(a)顺向串联(b)反向串联

将

两个互感线圈顺接一次，再反接一次，分别测出顺接与反接时各自的总等效阻抗

Z顺

和

Z反

，4)互感的测量方法例：

图示电路中，正弦电压的U=50V，R1=3

，L1=7.5,R2=5

，L2=12.5,M=8。求该耦合电感的耦合因数K和该电路中每个电感元件吸收的复功率。i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–解：耦合因数K为：1)同侧并联——并联且同名端连接在同一个结点上2.互感线圈的并联**ML1L2+–+__++__+**ML1L2+–+__++__+同侧并联使等效电感增加2)异侧并联——并联且同名端连接在不同的结点上**ML1L2+–+__++__+**ML1L2+–+__++__+异侧并联使等效电感减小1）同（异）侧并联时的去耦等效电路根据上述方程可获得无互感等效电路(去耦等效电路)注意去耦等效电路中的结点3.互感消去法:**ML1L2+–+__++__+1▲▲+–12上面的符号对应同侧并联2）去耦等效(两电感有公共端)整理得(a)同名端接在一起**j

L1123j

L2j

Mj(L1–M)123j

(L2–M)j

M等效电感与电流的参考方向无关(b)非同名端接在一起整理得**j

L1123j

L2j

Mj(L1+M)123j

(L2+M)－j

M等效电感与电流的参考方向无关3）受控源等效电路++__+_+_2111IMjILjU&&&ww+=1222IMjILjU&&&ww+=两种等效电路的特点：(1)去耦等效电路简单，等效电路只与同名端有关，而与电流的参考方向无关，但必须有公共端；(2)受控源等效电路，等效电路与同名端和电流参考方向均有关，不需公共端。++**L1L2+__+__+_+_++__+_+_解：例1：4HM=3H6H2H0.5HabM=4H6H2H3H5HabM=1H9H7H-3H2H0.5Hab4H3H2H1Hab3HLab=5HLab=6H例2：已知：

=1000rad/s,R=5,L1=L2=10mH,C=500F,M=2mH。求入端阻抗

Z。RL1L2CMZ解：RL1

ML2

MCZM去耦等效：支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压可以直接计入KVL方程中。分析：结点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的结点电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以结点电压简单地写出有互感的支路电流的表达式。先去耦等效后再列结点方程较容易考虑。关键：正确考虑互感电压的作用，要注意表达式中的正负号，不要漏项。M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3例3：列写右图电路方程M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3支路法：整理，得M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3回路法：M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3整理，得M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3此题也可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对消):M12**

M23M13L1L2L3**

M23M13L1–M12L2–M12L3+M12L1–M12–M13+M23L2–M12+M13–M23L3+M12–M13–M23想一想：若

M12＝M13＝M23＝M

，试画出去耦等效电路？一般情况下，采用去耦等效电路比较简单。例4:图示电路中，正弦电压的U=50V，R1=3

，

L1=7.5,R2=5

，

L2=12.5,M=8。求支路1、2吸收的复功率。**+–R1R2j

L1j

L2j

M+–R1R2j

La

j

Lbj

Lc+–R1R2j

La

j

Lbj

Lc例5:问Z为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。判定互感线圈的同名端解：L1L2＋－uS(t)Z100

CMj

L1R

+–

MZ**j

L21/j

C

**作去耦等效电路+–

Zj100

－j20

j20

100

j(L-20)j

L1R

+–

MZ**j

L21/j

C

+–

Zj100

100

j(

L-20)j100

100

j(

L-20)Zeq100

＋－+–

j100

j(

L-20)例6图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开，求t>0+时开路电压u2(t)。**0.2H0.4HM=0.1H+–10

40Vu2+－10

5

10

解右边开路，对左边回路无影响，开路电压u2(t)中只有互感电压。先应用三要素法求电流i(t).i**0.2H0.4HM=0.1H10

u2+－10

10-3耦合电感的功率当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。例：求图示电路的复功率**j

L1j

L2j

M+–R1R2S

U&1

I&2

·I耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，即：当M起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当M起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。线圈1中互感电压耦合的复功率线圈2中互感电压耦合的复功率注意

两个互感电压耦合的复功率为虚部同号，而实部异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的；耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是互感M非耗能特性的体现。10-4变压器原理变压器是电工电子技术中常用的电气设备，是耦合电感工程实际应用的典型例子。两个耦合线圈绕在一个共同的心子上制成变压器，该器件通过磁（互感）耦合实现了从一个电路向另一个电路传输能量和信号的功能，是一种能量传输装置。根据心子的不同分铁心（线圈绕在铁心上）和空心（线圈绕在非磁性材料作成的心子上）变压器。+_+_**a)一个线圈与电源相连作为输入端口，称为原边(初级，一次侧)，其线圈称为原（边）线圈，R1和

L1分别表示原（边）线圈的电阻和电感。接入电源后形成一次回路（原边回路，初级回路）。空心变压器电路原边（一次）回路阻抗副边（二次）回路阻抗+_+_**c)M为两线圈的互感系数,RL

和

XL分别表示负载的电阻和电抗。d)注意图中参考方向的规定。b)另一线圈与负载相连作为输出端口，称为副边(次级)，其线圈称为副（边）线圈，R2和

L2分别表示副（边）线圈的电阻和电感。接入负载后形成二次回路（副边回路，次级回路）。变压器通过磁（互感）耦合作用将输入一次侧中的一部分能量传递到二次侧输出。解上述方程组可得：空心变压器原边（一次侧）、副边（二次侧）的电流关系：+_+_**列写图示

KVL

方程：+_+_**引入阻抗原边输入阻抗引入阻抗又称反映阻抗，它是副边的回路阻抗

Z22

通过互感反映到原边的等效阻抗。引入阻抗的性质与

Z22

相反，即感性(容性)变为容性(感性)。引入阻抗表明副边回路对原边回路有影响。引入阻抗吸收的复功率就是副边回路吸收的复功率。+_根据，可得原边等效电路如左图。+_+_**+_根据上式可得空心变压器的副边等效电路如右上图。虽然原边和副边之间没有电的联系，但在互感的作用下，副边有一互感电压，它将使闭合的副边回路产生电流，反过来这个电流又影响到原边电压。副边等效电路的另一形式+_+_**+_+_**+_**＝++_此时负载获得的功率：实际上是最佳匹配：解：依题意，有求：Zx

；并求负载获得的有功功率。例1

已知

，原边等效电路的引入阻抗为，**j10

j10

j2+–10

Zx+–10+j10

解：方法(1)：回路法。含互感电路的分析方法(2)：利用空心变压器的等效电路。+–Z11例2

已知

L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20W，R2=0.08W，RL=42W，w=314rad/s，**j

L1j

L2j

M+–R1R2RL1.理想变压器空心变压器如果同时满足下列

3个条件即演变为理想变压器：1)变压器本身无损耗；线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大2)耦合因数，即全耦合；3)L1、L2和M均为无限大，但保持不变，

n为匝数比。+_+_**10-5理想变压器理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。注意上式是根据图中的参考方向和同名端列出的（上式中电压电流参考方向对同名端一致）。式中

n=N1/N2，称为理想变压器的变比。理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用，理想变压器不是动态元件。综上可知理想变压器是一种特殊的无损耗全耦合变压器，其电路图形符号如下，并且其原边和副边的电压和电流总满足下列关系：+_+_**理想变压器的电压电流关系（特性方程）是根据电压电流参考方向和同名端的标注以及变比的不同列出的。

3.变比不同(n:1→1:n)，理想变压器的电压电流关系（特性方程）不同。2.同名端标注改变，理想变压器的电压电流关系（特性方程）不同（符号改变）；

1.电压或电流参考方向改变，理想变压器的电压电流关系（特性方程）不同（符号改变）；

4.理想变压器的电压电流关系（特性方程）的相量形式可以相应的写出来。

5.理想变压器的电压电流关系（特性方程）是在不同条件下获得的独立关系，两者都只有一个独立变量。+_+_**理想变压器的电压电流关系（特性方程）是根据电压电流参考方向和同名端的标注以及变比的不同列出的。+_+_**+_+_**+_+_**1)功率性质：

由此可以看出，理想变压器既不耗能，也不储能，它将能量由原边全部传输到副边输出，在传输过程中，仅仅将电压、电流按变比作数值变换。即它在电路中只起传递信号和能量的作用。2.理想变压器的性质+_+_**理想变压器吸收的瞬时功率为理想变压器的方程为

2)阻抗变换性质

+_当理想变压器的副边接入阻抗

ZL

时，原边输入阻抗为：即

n2ZL

为副边折合到原边的等效阻抗。+_+_**理想变压器除了具有变压变流性质外还具有阻抗变换性质。

理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质

3)两种特殊情况

+_+_**+_+_**输出端短路，此时输出端开路，此时3.理想变压器的受控源等效电路+_+_+_u1为理想电压源时输出端不能短路。i1为理想电流源时输出端不能开路。例1解：方法（1）列方程解得**+–+–1:10+–方法（2）阻抗变换+–+–1方法（3）戴维宁定理**+–+–1:10+–**+–+–1:10+–1求Req：外加电源法或阻抗变换**1:101Req戴维宁等效电路：+–+–10050**+–1:10u1i1i2+–u2+–usR2R1例2:图示理想变压器，匝数比为1：10，已知us=10cos(10t)V，R1=1,R2=100

。求u2。+–u1i1+–usR1Req解1（直接列方程）两回路方向及方程如下：解：+–方法（1）戴维宁定理+–**+_+_已知：电源内阻

Rs=1k

，负载电阻RL=10

。为了使RL上获得最大功率，求：理想变压器的变比

n。+_+_+–**例3**+_+_要使RL上获得最大功率，则+–解：方法（2）阻抗变换由于理想变压器不耗能，因此等效电阻上的功率即为负载电阻的功率。要使n2RL上获得最大功率，则方法（3）列写电路KVL方程利用方程组找出功率表达式并求解。原边等效电路例4：求(a)所示单口网络的等效电阻Rab。理想变压器的方程为：解：用外加电源法求等效电阻。为了计算方便，在端口外加1V电压源如图(b)所示，用2b方程可求得：最后得到等效电阻例5：用结点分析法再求图(a)所示单口网络的等效电阻。解：采用外加电流源计算端口电压的方法求等效电阻。补充理想变压器的VCR方程：求解方程可以得到解一：增加理想变压器电流i1和i2变量来列写结点方程：解法二：根据理想变压器的VCR方程：用两个相应的受控源代替理想变压器的两条支路，得到图(b)电路。列出结点方程：**+–+–1:10+–11R=11123例6：求电阻R

吸收的功率解应用回路法解得代入数据即可二、确定同名端的方法：(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。