新教材2023版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义学生用书新人教A版选择性必修第二册

5．1.2导数的概念及其几何意义【课标解读】1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．2．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点一导数的概念如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处________，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数❶(也称为______________)，记作f′(x0)或________________，即f′(x0批注❶(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；(3)导数的实质是一个极限值．要点二导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线❷的斜率是________．相应地，切线方程为________________________．批注❷(1)函数f(x)在x＝x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导．要点三导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f′(x)就是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝y′＝limΔ【夯实双基】1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数．()(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．()(3)函数f(x)＝0没有导数．()(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．()2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＝0C．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(1)与f′(3)的大小关系是()A．f′(1)<f′(3) B．f′(1)＝f′(3)C．f′(1)>f′(3) D．f′(1)＋f′(3)>04．若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是____________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1求函数在某点处的导数例1求函数y＝x－4x在x＝2[听课记录]【方法总结】求函数在某一点处的导数的方法巩固训练1已知函数f(x)＝x2－12x(1)求f′(x)；(2)求f(x)在x＝1处的导数．题型2导数几何意义的应用例2(1)[2022·湖北武汉高二期末]函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()[听课记录]【方法总结】导数几何意义应用的两个提醒巩固训练2[2022·北京顺义高二期末]已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是()A．f′(x1)>f′(x2)>f′(x3) B．f′(x3)>f′(x2)>f′(x1)C．f′(x3)>f′(x1)>f′(x2) D．f′(x1)>f′(x3)>f′(x2)题型3求切线方程例3已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．[听课记录]【方法总结】利用导数的几何意义求切线方程的策略巩固训练3(1)曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为____________(2)求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．5．1.2导数的概念及其几何意义新知初探·课前预习[教材要点]要点一可导瞬时变化率y′|x＝x0要点二f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)[夯实双基]1．(1)√(2)√(3)×(4)×2．解析：由题意可知，f′(x0)＝－2＜0.故选C.答案：C3．解析：由图可知f′(1)<0，f′(3)<0且f′(1)<f′(3).故选A.答案：A4．解析：切线的斜率为k＝－1.∴点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0题型探究·课堂解透例1解析：f′(2)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))f2+Δx-f2Δx＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))Δx+2Δx2+ΔxΔx＝eq\o(lim,\s\do8(Δt巩固训练1解析：(1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－12Δx∴ΔyΔx＝2x＋Δx∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))ΔyΔx＝2x－12(2)f′(1)＝2×1－12＝3例2解析：(1)如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，又由平均变化率的定义，可得f3-f23-2＝f(3)－f(2)结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．故选C.(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.答案：(1)C(2)B巩固训练2解析：由图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f′(x1)<0，在B点的切线斜率等于0，即f′(x2)＝0，在C点的切线斜率大于0，即f′(x3)>0，所以f′(x3)>f′(x2)>f′(x1)．故选B.答案：B例3解析：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1).y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))ΔyΔx＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))1+Δx3＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))［3+3Δx+(Δx)2］＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y'|x=x0＝3x0即y0-1x0-1＝3x02，又y0＝x03，所以x03-1x①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.②当x0＝－12时，切点坐标为(－12，－18)，相应的切线方程为y＋18＝34(x＋12)，即3x－综上，所求切线为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.巩固训练3解析：(1)k＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))f-2+Δx-f-2Δx＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))2-2+Δx+1Δx＝eq\o(lim,\s\do8(Δ∴切线方程为y＋1＝－12(x＋2)即x＋2y＋4＝0.(2)设切点为Q(a，a2＋1)，k＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))fa+Δx-faΔx＝eq\o(lim,\s