新教材2023版高中数学第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率学生用书新人教A版选择性必修第一册

2.1.1倾斜角与斜率[课标解读]1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.了解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．教材要点要点一直线的倾斜角当直线l与x轴相交时，取______作为基准，x轴______与直线l______方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．直线的倾斜角α的取值范围是________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.状元随笔任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．要点二直线的斜率1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的________值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________．2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________．状元随笔在应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则过这两点的直线与x轴垂直，即直线的倾斜角为π2基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°.()(2)若k是直线的斜率，则k∈R.()(3)任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．()(4)任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．()2．直线y＝x－3的倾斜角为()A．120°B．135°C．45°D．60°3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.33B．C．1D．24．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是()A．0°B．45°C．60°D．90°5．已知直线l的向上方向与x轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为________．题型1直线的倾斜角例1(1)(多选)下列命题正确的是()A．直线x＝1的倾斜角不存在B．直线x＝π4的倾斜角为C．若直线的倾斜角为α，则sinα≥0D．若直线l经过原点和点(－1，1)，则直线l的倾斜角为135°(2)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α＜140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°方法归纳求直线倾斜角的方法(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．巩固训练1(1)如图，直线l的倾斜角为()A．60°B．120°C．30°D．150°(2)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α题型2直线的斜率例2(1)已知直线l经过两点P(1，2)，Q(4，3)，那么直线l的斜率为()A．－3B．－1C．13D．(2)在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(－2，3－1)，若过点P(－1，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围是________．方法归纳求直线斜率的3种方法巩固训练2(1)已知直线l的倾斜角为α，且sinα＝45，则直线l的斜率为(A．34B．C．±34D．±(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A．(－1，0]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]题型3斜率与倾斜角的变化关系例3(1)若右图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2(2)已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．①当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？②当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？③直线MN的倾斜角可能为直角吗？方法归纳斜率与倾斜角的变化关系当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率为正且越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率为负且越大．巩固训练3已知两点A(－1，2)，B(m，3)，求：(1)直线AB的斜率k；(2)已知实数m∈-33-1，易错辨析忽略直线的斜率不存在致误例4已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t，4)，则直线l的斜率为________．解析：当t＝2时，直线l与x轴垂直，所以直线l的斜率不存在；当t≠2时，直线l的斜率k＝4--1综上所述，当t＝2时，直线l的斜率不存在；当t≠2时，直线l的斜率k＝5t答案：不存在或5易错警示出错原因纠错心得漏掉了t＝2的情况．在利用斜率公式求直线的斜率时，一定要注意两点横坐标相等的情况．2.1.1倾斜角与斜率新知初探·课前预习要点一x轴正向向上0°≤α＜180°要点二正切tanαy[基础自测]1．(1)√(2)√(3)√(4)×2．解析：由y＝x－3可得直线的斜率为k＝1，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝1，因为0°≤θ＜180°，所以θ＝45°.答案：C3．解析：由题意可知，k＝tan30°＝33答案：A4．解析：∵k＝04＝0，∴θ＝0°答案：A5．解析：因为直线l的向上方向与x轴正向所成的角为60°，所以直线l的倾斜角为60°，所以直线的倾斜角为k＝tan60°＝3.答案：3题型探究·课堂解透例1解析：(1)对于A，直线x＝1与x轴垂直，其倾斜角为90°，故选项错误；对于B，因为直线x＝π4垂直于x轴，故倾斜角为90°对于C，因为0°≤α＜180°，所以sinα≥0，故选项正确；对于D，画图可知，直线l的倾斜角为135°，故选项正确．(2)根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α＜140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α＜180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.答案：(1)CD(2)D巩固训练1解析：(1)由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.(2)如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.答案：(1)D(2)D例2解析：(1)依题意，直线l的斜率为3-24(2)如图可得kPA＝-1-2kPB＝-1-3所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3答案：(1)C(2)(－∞，－3巩固训练2解析：(1)∵sinα＝45且0°≤α＜180°∴cosα＝±1-sin2α∴k＝tanα＝sinαcosα＝(2)由作图可知当直线位于右图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.答案：(1)D(2)D例3解析：(1)直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.(2)①若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k＝2m+5-1m+3-m-2＝②若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k＝2m+5-1m+3-m-2＝③当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角．答案：(1