新教材2023版高中数学第五章数列5.3等比数列5.3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学生用书新人教B版选择性必修第三册

第1课时等比数列的前n项和1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一等比数列的前n项和公式状元随笔等比数列求和应注意什么？[提示]公比q是否等于1.知识点二等比数列前n项和公式的函数特征(1)当公比q≠1时，设A＝a1q-1，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即S(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．基础自测1．求下列等比数列前8项的和：(1)12，1(2)a1＝27，a9＝1243，q2．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为()A．10B．212C．11D．3．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S3a2＝A．3B．4C．72D．4．若等比数列{an}的公比为13，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________课堂探究·素养提升——强化创新性等比数列前n项和公式基本量的运算例1在等比数列{an}中．(1)若q＝2，S4＝1，求S8；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5

(3)在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________．方法归纳1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．跟踪训练1在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.等比数列前n项和公式的函数特征应用例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数，n∈N*)，则数列{an}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．是等差数列或等比数列D．既非等差数列，也非等比数列(2)若将(1)题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k(n∈N*)，则实数k＝________．方法归纳(1)已知Sn，通过an＝S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2求通项an，应特别注意(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．跟踪训练2(1)设数列{an}的前n项和Sn＝4×3n－1－1(n∈N*)，则通项an＝________．(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n-1－16(n∈N*)A．13B．－13C．12等比数列前n项和的灵活应用考向一等比数列的连续n项之和的性质例3在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.方法归纳处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．跟踪训练3设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝()A．32B．64C．72D．216考向二等比数列的奇数项、偶数项之和的性质例4一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．方法归纳(1)在等比数列{an}中若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇．(2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想．跟踪训练4一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．等比数列前n项和的实际应用例5小华准备购买一部售价为5000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)方法归纳(1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题；(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解．跟踪训练5一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？教材反思1．本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算．2．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．3．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．4．注意等比数列前n项和公式的灵活运用．5．了解等比数列前n项和公式的函数特征．第1课时等比数列的前n项和新知初探·自主学习[教材要点]知识点一na1a11-qn[基础自测]1．解析：(1)因为a1＝12，q＝1所以S8＝121-(2)由a1＝27，a9＝1243，可得1243＝27·q又由q<0，可得q＝－13所以S8＝a1-a8q1-2．解析：设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为1--答案：C3．解析：易知等比数列{an}的首项为a1，则S3a2＝a答案：C4．解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知YX＝q＝13，所以Y＝20，即S100＝X＋Y答案：80课堂探究·素养提升例1【解析】(1)方法一设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴a11-241-2∴S8＝a11-q方法二∵S4＝a11-q41-∴S8＝a11-q81-q＝a11-q41-q(1＋q4)＝S(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得a1+∵a1≠0，1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即q＝1∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×123＝S5＝a11-q5(3)∵S3＝a11-q31-q＝21-q31∴q＝3或－4.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3或－4跟踪训练1解析：(1)由题意知a解得a1=5从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝(2)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以a①÷②得11+q4解得q＝±2，所以a1=1所以an＝2n-115或a例2【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴an+1an＝a，∴数列{a(2)∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝32【答案】(1)B(2)3跟踪训练2解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝4－1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4×3n－1－1－4×3n－2＋1＝8×3n－2.∴an＝3(2)方法一∵Sn＝x·3n－1－16＝x3·3n－由Sn＝A(qn－1)，得x3＝16，∴x＝1方法二当n＝1时，a1＝S1＝x－16；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－16，解得x＝答案：(1)3，n=1例3【解析】方法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，由已知得a②÷①得1＋qn＝54，即qn＝14③代入①得a11-∴S3n＝a11-q3n1-方法二∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，∴S3n＝S2n-Sn2Sn＋S2跟踪训练3解析：由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.答案：B例4【解析】设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝S偶S奇又a1·a1q·a1q2＝64，∴a13·q3＝64故所求通项公式为an＝12×(13)n－1，n∈N＋跟踪训练4解析：方法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋)．由已知a1＝1，q≠1，有1由②÷①，得q＝2，∴1-4n1-4＝85，4n＝故公比为2，项数为8.方法二∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，∴q＝S偶S奇＝又Sn＝85＋170＝255，Sn＝a11-qn∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.例5【解析】方法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，解得x＝5000＝5000×1.008121-故小华每期付款金额约为883.5元．方法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；…A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．∵年底付清欠款，∴A12＝5000×1.00812，