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文档简介

Laplace变换§2Laplace

逆变换§1Laplace变换的概念主要内容本章介绍Laplace变换的概念、性质以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变换一些应用的例子.

Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用,但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要实函数f(t)在(-,+)上绝对可积.很多常见的初等函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等)都不满足这个要求.另外，很多以时间t为为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者不需要知道t<0的情况.因此,Fourier变换在实际应用中受到一些限制.当函数f(t)在t<0时没有定义或者不需要知道时,可以认为当t<0时,f(t)0.这时,Fourier变换的表达式为但是仍然需要f(t)在上绝对可积的条件，这个要求限制了它的应用.对定义在上的函数f(t),如果考虑那么容易满足在上绝对可积的要求.例如，为常数、多项式、正弦与余弦函数时,都在上绝对可积.这是因为时,是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数.如果取得适当大，那么的Fourier变换可能有意义.的Fourier变换可表示为将记为s,可写成这就是本章要讨论的Laplace变换,它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际,定义设在上有定义,并且积分(s是复参变量)关于某一范围s收敛，则由这个积分确定的函数称为函数的Laplace变换,

并记做即Laplace变换的定义的像函数，

称为称为的像原函数.

已知是的Laplace变换，则记

并称为的Laplace逆变换.内分段连续,并且当时,

的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数实数使得在

上，

在定理

设函数的任何有限区间则在半平面上，

存在,且

是s的解析函数,其中称为的增长指数.

Laplace变换存在定理

解

ℒ

例

求单位脉冲函数的拉氏变换

因为在Laplace变换中不必考虑时的情况，所以经常记作

例1求单位阶跃函数的Laplace变换.根据Laplace变换的定义，当时，

例2求指数函数(其中a是实数)的Laplace变换.

所以根据Laplace变换的定义这个积分当时收敛，且例3

求正弦函数

的拉氏变换

ℒ

解

即同理可得ℒ

ℒ

如则例

求单位斜坡函数的拉氏变换

解:

ℒ

设是以T为周期的函数,即且在一个周期内分段连续，则周期函数的Laplace变换

于是这就是周期函数的Laplace变换公式.

例

求全波整流函数的Laplace变换.

所以由的周期tf(t)o根据拉普拉斯变换的定义

Laplace逆变换其中是的增长指数.积分路径是在右半平面上的任意一条直线

这就是Laplace逆变换的一般公式,称为的反演积分.这是复变函数的积分,在一定条件下,可利用留数来计算.Laplace变换定理设是的所有孤立奇点(有限个)，除这些点外,处处解析,且在当时,

选取使所有孤立奇点都在内,则当时，

利用留数求Laplace逆变换的公式特别当是有理函数，且为分母次数高于

分子次数的有理真分式，则Laplace逆变换存在，例求的Laplace

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