新教材2023版高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征1学生用书新人教B版选择性必修第二册

4．2.4随机变量的数字特征(1)[课标解读]1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值).2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.3.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．【教材要点】知识点一随机变量的数学期望的定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝________________叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).知识点二随机变量的数学期望的意义刻画了离散型随机变量的____________．知识点三两点分布、二项分布的数学期望名称两点分布二项分布超几何分布公式E(X)＝____E(X)＝____E(X)＝________知识点四随机变量的数字特征的性质如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.【基础自测】1．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P331则X的数学期望E(X)＝________．2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________．3．若随机变量X服从二项分布B4，13，则E(X)4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．题型1离散型随机变量的数学期望的概念及应用例1已知随机变量X的分布列如表：X－2－1012P111m1(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y).状元随笔由分布列的性质求得m，再利用均值公式求E(X)，然后利用均值的性质求解E(Y).方法归纳1．求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后利用均值公式求E(X).2．对于aX＋b型的随机变量求均值的方法(1)利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解．跟踪训练1已知随机变量ξ的分布列为ξ－101P11m若η＝aξ＋3，E(η)＝73，则a＝(A．－1B．－2C．－3D．－4题型2超几何分布的均值例2[2022·江苏无锡高二月考]设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，求抽得次品数的数学期望．方法归纳先确定分布类型，可以求出分布列后再用定义求均值，也可以直接利用超几何分布的均值公式求解．跟踪训练2设ξ的分布列为ξ1234P1111又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于()A.76 B．C.173 D．题型3两点分布与二项分布的数学期望例3某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．状元随笔(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．方法归纳1．常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x＝0，1，2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．跟踪训练3(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200C．300 D．400(2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于()X01Pm2mA.19 B．C.13 D．题型4期望的实际应用(数学建模、数据分析、数学运算)例4某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．状元随笔1.条件：(1)药材需在两天内采摘完毕且基地员工一天只完成一处采摘；(2)给出了基地收益与天气的关系表格；(3)给出外聘工人的收益情况．2．结论：(1)求基地收益X的分布列及基地预期收益；(2)该基地是否外聘工人作出决策．3．思路：(1)列出基地收益X的取值及求出相应概率，按求随机变量均值的步骤求解；(2)求出外聘工人时的预期收益，与不外聘工人的预期收益比较，通过讨论外聘工人的成本解决问题．方法归纳均值实际应用问题的解题策略首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．跟踪训练4甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7，8，9，10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).教材反思4．2.4随机变量的数字特征(1)新知初探·自主学习[教材要点]知识点一x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝i=1nx知识点二平均取值知识点三pnpnM[基础自测]1．解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110答案：32．解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.答案：353．解析：E(X)＝np＝4×13＝4答案：44．解析：因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.答案：0.8课堂探究·素养提升例1解析：(1)由随机变量分布列的性质，得14+13+15＋m＋1(2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×-1730－3＝－方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如表：Y－7－5－3－11P11111所以E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×跟踪训练1解析：由分布列的性质得16+13＋m＝1，所以m＝12.所以E(ξ)＝－1×16＋0×13＋1×12＝13.所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝1答案：B例2解析：设抽得次品数为X，则随机变量X的可能取值有0、1、2，则P(X＝0)＝C72C102＝715，P(X＝1)＝C31C7所以，随机变量X的分布列如下表所示：X012P771所以，E(X)＝0×715＋1×715＋2×115跟踪训练2解析：E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×17答案：D例3解析：(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.跟踪训练3解析：(1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1000，0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.(2)由题意可知m＋2m＝1，所以m＝13，所以E(X)＝0×13＋1×23答案：(1)B(2)D例4解析：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得p2＝0.36，p＝0.6.基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列为：X2015107.5P0.360.240.240.16基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4，所以基地的预期收益为14.4万元．(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)万元，E(Y)－E(X)＝1.6－a，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．跟踪训练4解析：(1)由题图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝