新教材2023版高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.2排列与排列数第2课时排列数的应用学生用书新人教B版选择性必修第二册

第2课时排列数的应用【教材要点】知识点应用排列知识解决实际问题1．解简单的排列应用题的基本思想2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以及从n个不同的对象中任取m个对象的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．【基础自测】1．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A．6 B．4 C．8 D．104．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120 C．720 D．240题型1无限制条件的排列问题例1(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？状元随笔(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，每人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，每人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．方法归纳1．没有限制的排列问题，即对所排列的对象或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清对象和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．跟踪训练1(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．题型2排队问题(“在”与“不在”“邻”与“不邻”“定序”问题)例2(1)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？①老师甲必须站在中间或两端；②2名女生必须相邻而站；③4名男生互不相邻；④若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．(2)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．状元随笔解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊对象或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的对象影响另一个位子的对象个数时，应分类讨论．方法归纳解决排队问题时应注意的问题1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的对象作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的对象，再将不相邻的对象以插空的方式排入．3．对于顺序给定的对象的排列问题只需考虑其余对象的排列即可．4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从对象入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．跟踪训练23名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端；(3)男、女各站在一起；(4)男生必须排在一起；(5)男生不能排在一起；(6)男生互不相邻，且女生也互不相邻；(7)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(8)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(9)从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，甲不在首位的排法有多少种？(10)从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？题型3数字排列问题【思考探究】1．偶数的个位数字有何特征？从1，2，3，4，5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2，4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1，2，3，4，5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从对象0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．3．如何从26，17，31，48，19中找出大于25的数？[提示]先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．例3用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？状元随笔这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊对象或特殊位置优先安排的原则.另外，还可以用间接法求解．方法归纳解排数字问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊对象优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：选排列问题按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．跟踪训练3用0，1，2，3，4，5这六个数取不同的数字组数．(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？教材反思第2课时排列数的应用新知初探·自主学习[基础自测]1．解析：从2，4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A43种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×答案：482．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝答案：243．解析：列树形图如下：共4种．答案：B4．解析：由于6人排两排，没有什么特殊要求的对象，故排法种数为A66答案：C课堂探究·素养提升例1解析：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同对象中任取3个对象的一个排列，因此不同送法的种数是A53＝5×4×3＝60种，所以共有(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的送法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125种，所以共有125种不同的送法．跟踪训练1解析：(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A103＝10×9×8＝(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A53＝5×4×3＝答案：(1)720(2)60例2解析：(1)①先考虑甲有A31种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：A31A②2名女生站在一起有站法A22种，视为一个对象与其余5人全排，有A66种排法，所以有不同站法A2③先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A44种，所以共有不同站法A3④7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·A7(2)翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A53种选法，由分步乘法计数原理知共有4×答案：(1)见解析(2)240跟踪训练2解析：(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A63种站法，然后再排其他位置，有A44种站法，所以共有(2)甲、乙为特殊对象，先将他们排在两头位置，有A22种站法，其余5人全排列，有A55种站法．故共有A(3)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A44种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排列有A2(4)(捆绑法)把所有男生看作一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，故有A33A(5)(不相邻问题插空法)先排女生有A44种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A5(6)先排男生有A33种排法．让女生插空，有A3(7)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有A77A22(8)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的1A33.故有A77(9)方法一：把甲同学作为研究对象．第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A64种排法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×由分类加法计数原理，共有A65+4×A64＝方法二：把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A6由分步乘法计数原理，可得共有A61·A方法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A75种；甲在首位的情况有A64种，所以符合要求的排法有A7(10)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A5根据分步乘法计数原理，有A62·A例3解析：(1)方法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A31种填法，第二步再填十万位，有A41种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有方法二：从特殊对象入手(直接法)0不在两端有A41种排法，从1，3，5中任选一个排在个位有A31种排法，其他各位上用剩下的对象做全排列有A44种排法，故共有方法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0，2，4在个位上的六位数为3A55个，1，3，5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有(2)方法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有故符合题意的六位数共有A66-2A5方法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A5第二类：当个位不排0时