江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考试数学模拟试卷含答案

高二期末考试数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.记为等差数列的前n项和，若则的公差为（）A．1B．2C．3D．42．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（）A．B．C．D．3．若，则可导函数在处的导数为（

）A． B． C．1 D．24．若直线与圆相交于两点，且(其中为原点)，则的值为（

）A．​或 B．​C．​或​D．​5．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(

)A．3 B．2 C． D．7．已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与曲线的左、右两支分别交于，两点.若，，，成等差数列，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的前10项和为10．下列说法正确的有（

）A．直线过定点B．过点作圆的切线，则的方程为C．圆上存在两个点到直线的距离为2D．若圆与圆有唯一公切线，则11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率是B．线段长度的取值范围是C．面积的最大值是D．的周长存在最大值12．若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（

）A．存在，使 B．当时，取得最小值C．没有最小值 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则______．14．若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为.15.数列中，，且，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________.16已知函数fx=2x+1−1,x四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于两点．（1）求圆的标准方程；（2）当时，求直线'的方程．18．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．(1)求的解析式；(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．19．在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和．20．已知数列an的前n项和为Sn，(1)求an(2)若bn=a2n，对任意的1≤n≤10，n∈N21．已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.22．已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．（1）若，求证：；（2）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．高二期末考试数学模拟试卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.记为等差数列的前n项和，若则的公差为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D3．若，则可导函数在处的导数为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A4．若直线与圆相交于两点，且(其中为原点)，则的值为（

）A．​或​ B．​ C．​或​ D．​【答案】A5．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】C6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(

)A．3 B．2 C． D．【答案】D7．已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将变为，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合，根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：由，得，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，又因，且，所以，即，所以.故选：D.8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与曲线的左、右两支分别交于，两点.若，，，成等差数列，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得，再根据等差中项的含义则得到，，的三边比例，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．【详解】.因为，，成等差数列，则设，，，则有，解得，则，可令，.设，得，即，解得，∴,,由得，，，该双曲线的离心率.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的前10项和为【答案】BCD10．下列说法正确的有（

）A．直线过定点B．过点作圆的切线，则的方程为C．圆上存在两个点到直线的距离为2D．若圆与圆有唯一公切线，则【答案】AC11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率是B．线段长度的取值范围是C．面积的最大值是D．的周长存在最大值【答案】AC【分析】由题意可求得椭圆的a,b,c，即可求得离心率，判断A；由图可直接确定线段长度的取值范围，判断B；求出面积的表达式，利用基本不等式可求得其最值，判断C；表示出的周长，根据其表达式结合参数的范围可确定其是否存在最大值，判断D.【详解】由题意得半圆的方程为，设半椭圆的方程为，由题意知，∴，∴半椭圆的方程为．对于A，，A正确；对于B，由图可知，当时，；当时，，所以线段长度的取值范围是，B错误．对于C，，设，则，∴，设，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，C正确．对于D，的周长为，所以当时，的周长最大，但是不能取零，所以的周长没有最大值，D错误，故选：AC12．若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（

）A．存在，使 B．当时，取得最小值C．没有最小值 D．【答案】ABD【详解】对于A选项，由直线与两曲线、分别交于、两点可知．曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，曲线上点坐标，可求得导数，则切线斜率．令，则，令，则，所以，函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理，使，即，使，即，故A正确；对于BC选项，，令，其中，则，由A选项可知，函数在上为增函数，且，，所以，存在使得，即，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故当时，取最小值，即当时，取得最小值，故B正确，C错；对于D选项，由可得，则，令，则函数在上为减函数，因为，，，且，又因为函数在上为增函数，所以，，所以，，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则______．【答案】414．若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为.【答案】0或15.数列中，，且，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________.【答案】【解析】由为变形为，又所以数列是等比数列，首项为2，公比为，所以，可得，所以，则，所以，解得，当n为奇数时，恒成立，等价于恒成立，而，所以，当n为偶数时，恒成立，等价于恒成立，而，所以，综上得，所以实数的最大值为，故答案为：.16已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是___________.【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于两点．（1）求圆的标准方程；（2）当时，求直线'的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）设圆A的半径为r，由题意知，圆心到直线l的距离为，即，所以圆A的方程为；（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，点A到直线的距离为1，此时，符合题意；当直线与x轴不垂直时，设，即，取的中点Q，连接AQ，则，因为，所以，又点A到直线的距离为，所以，解得，所以直线方程为.综上，直线的方程为或.18．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．(1)求的解析式；(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．【解析】（1）由题意可知，当时，，当时，，即，解得，所以，，（2）设每日销售该商品获利元，则，则，令，得或舍去，所以时，，为增函数，时，，为减函数，所以时，取得最大值，，所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大19．在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，所以，解得，所以，，①则当时，②①②得：，则，而当时，，则，满足上式．所以．（2）记，，.20．已知数列an的前n项和为Sn，(1)求an(2)若bn=a2n，对任意的1≤n≤10，n∈N【答案】(1)an=−n−5,n为奇数−n+3,n为偶数；【详解】（1）由2S2S可得2an+1+2n+3=所以an+2+a令n=1，可得a1=−6，令n=2，可得所以n为奇数时，an当n为偶数时，an=1−2n（2）因为bn=a当n≥2时，bn=2n−3，令当n≥2时，C=2n−1+16所以C4<C3<所以Cn的最小值为C所以t≤4121．已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）令，得，即.设，则，则时，时，.故在时取最大值.又时，时，，从而，得；（2）由得，，从而，又，,即，设，易知，故当时，，所以当时，，即，所以.22．已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．（1）若，求证：；（2）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．【答案】（1