新教材2023版高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1基本计数原理第1课时基本计数原理学生用书新人教B版选择性必修第二册

3．1.1基本计数原理第1课时基本计数原理[课标解读]1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．【教材要点】知识点一分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．【基础自测】1．下列说法不正确的是()A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事C．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种D．某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种2．下列说法不正确的是()①在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的②在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事③已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个④某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人，从中选一人担任学生会主席，共有102种不同选法A．①③ B．①②C．②④ D．③④3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7 B．12C．64 D．814．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对题型1分类加法计数原理的应用例1(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？状元随笔(1)按所选组长来自不同班级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．方法归纳1．应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．2．利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类：将完成这件事的方法分成若干类；(2)计数：求出每一类的方法数；(3)结论：将每一类的方法数相加得出结果．跟踪训练1(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A．1种B．2种C．3种D．4种(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．题型2分步乘法计数原理的应用例2一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?状元随笔根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．方法归纳1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，每个步骤缺一不可．2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．跟踪训练2今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为()A．15 B．30C．6 D．9题型3两个计数原理的辨析【思考探究】1．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？[提示]“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．2．在1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？[提示]要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配成套餐”这件事．3．在1中，若要配成“一素一汤套餐”，试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？[提示]5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类加法计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．故由分类加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐．利用分步乘法计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐．两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事；而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事．例3现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9人．(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？状元随笔(1)用分类加法计数原理，分3种情况讨论，①选出的是高一学生，②选出的是高二学生，③选出的是高三学生，由各年级的人数易得各种情况的选法数目，由分类计数原理，相加可得答案；(2)用分步乘法计数原理，分3步进行，先从高一学生中选出1人，再从高二学生中选出1人，最后从高三学生中选出1人，根据各年级的人数易得每一步的选法数目，由分步乘法计数原理，相乘可得答案；(3)用分类加法计数原理，分3种情况讨论，①若选出的是高一、高二学生，②若选出的是高一、高三学生，③若选出的是高二、高三学生，先计算各种情况的选法数目，由分类加法计数原理，相加可得答案．方法归纳1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事才算完成．跟踪训练3一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？教材反思3．1排列与组合3．1.1基本计数原理第1课时基本计数原理新知初探·自主学习[教材要点]知识点一m1＋m2＋…＋mn知识点二m1×m2×…×mn[基础自测]1．解析：A错误，在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．B正确，在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事．C正确，由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．D正确，根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种).答案：A2．解析：①正确，因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．②错误，因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．③正确，因为x从集合{2，3，7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4，8}中任取一个值共有3个不同的值，且对应x·y的值各不相同，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．④错误，这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．依分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．答案：C3．解析：先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.答案：B4．解析：分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．答案：B课堂探究·素养提升例1解析：(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22(种).(2)方法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).方法二：按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).跟踪训练1解析：(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．答案：(1)C(2)15例2解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10000个四位数的号码．跟踪训练2解析：某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9.答案：D例3解析：(1)根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况：若选出的是高一学生，有13种情况；若选出的是高二学生，有12种情况；若选出的是高三学生，有9种情况；由分类加法计数原理可得，共有12＋13＋9＝34种选法．(2)根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；从高二学生中选出1人，有12种情况；从高三学生中选出1人，有9种情况；由分步乘法计数原理，可得共有13×12×9＝1404种选法．(3)根据题意，分三种情况讨论：若选出的是高一、