2023-2024学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美，下列剪纸图案是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.下列成语描述的事件是必然事件的是(

)A.守株待兔 B.画饼充饥 C.水中捞月 D.旭日东升3.已知矩形ABCD中，AB=4，BA. B. C. D.4.如图，M为反比例函数y=kx图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为点A，△MAOA.2

B.−2

C.4

D.5.如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18A.10

B.12

C.15

D.20

6.若关于x的一元二次方程kx2−2x−A.k>−1 B.k>−1且k≠07.已知点A(−2,y1)，B(−1,y2)A.y1<y2<y3 B.8.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是(

)A.3π

B.6π

C.5π9.如图，边长为1的正六边形螺帽在足够长的桌面上滚动(没有滑动)一周，则O点所经过的路径长为(

)A.6 B.5 C.2π D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。10.已知1是一元二次方程x2−4x+11.如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为______．

12.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD

13.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE=DF，连接BE、AF，交于点G．

(1)连接DG，则线段DG的最小值是______；

三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题8分)

解方程：3x−615.(本小题8分)

如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE/​/AC，D16.(本小题8分)

如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM=18，B17.(本小题8分)

如图，在直角梯形OABC中，BC/​/AO，∠AOC=90°，点A、B的坐标分别为(5,0)、(18.(本小题10分)

在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．

(1)在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转9019.(本小题10分)

北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市.小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票(除正面内容不同外，其余均相同)，现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．

(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是______．

(2)小亮决定将其中两张邮票送给好朋友小明，若冬奥会会徽邮票记作A类邮票，吉祥物冰墩墩邮票记作B类邮票，吉祥物雪容融邮票记作C类邮票，将5张邮票背面朝上洗匀后，让小明从中随机抽取2张邮票，抽得的邮票就送给小明，求小明抽取两张邮票都是“吉祥物冰墩墩”的概率.(20.(本小题12分)

如图1，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l.交直线BC于点G，交x轴于点E．

(1)求抛物线的表达式；

(2)当21.(本小题12分)

某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元.某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于22.(本小题14分)

如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，AB=AC．

(1)求证：DE⊥AC；

(2)延长CA交⊙O于点F，点G在BD上，AD=DG．

①连接BG，求证：AF=BG；

②答案和解析1.【答案】C

【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

故选：C．

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

2.【答案】D

【解析】解：A.守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；

B.画饼充饥是不可能事件，故该选项不符合题意；

C.水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意；

D.旭日东升是必然事件，故该选项符合题意．

故选：D．

根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件．

3.【答案】A

【解析】解：∵42=31.5=2，

∴A选项中的矩形与矩形AB4.【答案】C

【解析】解：∵△MAO的面积等于2，

∴12|k|=2，

而k>0，

∴k=4．

故选：C．

利用反比例函数k的几何意义得到5.【答案】A

【解析】解：∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，

∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，

∵∠ADB=18°，

∴∠AOB=2∠6.【答案】B

【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，

∴{k≠0Δ>0，即{k≠7.【答案】B

【解析】解：∵反比例函数y=3x，

∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，

∵点A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(1,8.【答案】B

【解析】解：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积−以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．

则阴影部分的面积是：S=nπR2360=60π×62360=6π

故选：B．

根据阴影部分的面积=以AB′9.【答案】C

【解析】解：∵正六边形的内角为120°，

∴∠BAF=120°，

∴∠FAF′=60°，

∴FF′=60π×1180=13π，

∴六角螺帽在桌面上滚动(没有滑动)一周，

则它的中心O点所经过的路径长为13π×1×6=10.【答案】3

【解析】解：设另一个根为t，

根据题意得1+t=4，

解得t=3，

则方程的另一个根为3．

故答案为：3．

设另一个根为t，根据根与系数的关系得到1+t=4，然后解一次方程即可．

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知11.【答案】2【解析】解：连接BC，如图，

∵∠BAC=90°，

∴BC为⊙O的直径，即BC=2，

∴AB=22×2=2，

设该圆锥的底面圆的半径为r，

根据题意得2π12.【答案】y=【解析】解：∵四边形OABC是矩形，

∴OC=AB=3，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CD=CF=EF，

∵BC=2CD，

∴设CD=m，BC=2m，

∴B(3,2m)，E(3+m,m)，

设反比例函数的表达式为y=kx，

∴3×13.【答案】5−1【解析】解：(1)如图，取AB的中点K，连接GK，DK，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE=∠ADF=90°，AD=AB=1，

∵点K是AB的中点，

∴AK=12AB=12，

在△BEA和△AFD中，

AB=AD∠BAE=ADFAE=DF，

∴△BEA≌△AFD(SAS)，

∴∠EBA=∠FAD，

∵∠EBA+∠AEB=90°，

∴∠FAD+∠AEB=90°，

∴∠AGB=90°，

∵点K是AB的中点，

∴GK=12AB=12，

在Rt△ADK中，DK=AK2+AD2=(12)2+12=52，

∵14.【答案】解：3x−6=x(x−2)，

3(x−2)【解析】利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．

本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程−因式分解法是解题的关键．15.【答案】解：∵DF//AE，

∴BFFE=BDAD=32，【解析】利用DF/​/AE得到BFFE=BDA16.【答案】解：连接OC，

∵AM=18，BM=8，

∴半径OC=OA=OB=13，

∴OM=5，

∵【解析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是能构造直角三角形、求出CM长和得出CD=2CM.连接OC，求出半径17.【答案】解：如图，作DM⊥OA，垂足为M，作BN⊥OA，垂足为N，作DF⊥BN，垂足为F，

∵BD=2AD，

∴ADBD=12，

∴BDAB=23，ADAB=13，

∵A、B的坐标分别为(5,0)、(2,6)，

∴N(2,0)，

∴AN=3，

∵DF//AN，

∴△B【解析】作DM⊥OA，作BN⊥OA，作DF⊥B18.【答案】解：如图，

(1)△AB1C1【解析】(1)根据旋转的性质，在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1即可；

(2)根据点B的坐标为(19.【答案】25【解析】解：(1)∵小亮收集了5张纪念邮票，其中2张邮票是“吉祥物雪容融”，

∴小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是25，

故答案为：25；

(2)画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中小明抽取两张邮票都是“吉祥物冰墩墩”的结果有2种，

∴小明抽取两张邮票都是“吉祥物冰墩墩”的概率为220=110．

(1)20.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(4,0)代入y=−x2+bx+c得：

−1−b+c=0−16+4b+c=0，解得b=3c=4，

∴抛物线的表达式为y=−x2+3x+4；

(2)如图：

在y=−x2+3x+4中，令x=0得y=4，【解析】(1)将A(−1,0)，B(4,0)代入y=−x2+bx+c，即可得抛物线的表达式为y=−x2+3x+4；

(2)在y=−x2+3x+21.【答案】解：(1)根据题意得：y=300−10(x−44)=−10x+740，

∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+740(44≤x≤52)；

(2)根据题意得：w=(−10x+740)(x−40)=−10x2+1140x−29600=−10(x−57)2+2890，

∵−10<0，

∴当【解析】(1)根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；

(2)根据销售利润=销售量×(售价−进价)，列出平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；

(3)22.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，

∵DE为⊙O的切线，

∴∠ODE=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠C=∠ODB，

∴OD/​/AC，

∴∠DEC=∠ODE=90°，

∴DE⊥AC