5.2.2 二次函数y＝ax2＋ky＝a(x＋ h)2y＝a(x＋h)2＋k（a ≠ 0）的图象和性质 苏科版九年级数学下册导学课件

5.2二次函数的图象和性质第5章二次函数5.2.2二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2，y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的图象和性质逐点学练本节小结作业提升本节要点1学习流程2二次函数y=ax2+k

的图象与性质二次函数y=a(x+h)2

的图象与性质二次函数y=a(x+h)2+k

的图象和性质二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x+h)2，y=a(x+h)2+k之间的关系知识点二次函数y=ax2+k的图象与性质11.二次函数y=ax2+k

的图象与二次函数y=ax2的图象的关系它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2+k

的图象可由二次函数y=ax2的图象上下平移|k|个单位长度得到.要点提醒：a决定抛物线的开口方向和开口大小，所以y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图象开口方向和开口大小相同，只是位置不同.2.二次函数y=ax2+k的图象a，k

的符号y=ax2+k(a>0)y=ax2+k(a<0)k>0k<0k>0k<0图象开口方向向上向下顶点坐标(0，k)对称轴y轴增减性在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y

随x

的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y

随x的增大而减小3.二次函数y=ax2+k的图象的画法(1)描点法：类比作二次函数y=ax2图象的描点法，即按列表→描点→连线的顺序作图.(2)平移法：将二次函数y=ax2的图象，向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度，即可得二次函数y=ax2+k的图象.平移规律口诀:上加下减，纵变横不变，“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k

是由抛物线y=ax2上下平移｜k｜个单位长度得到的，“上加”表示当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移；“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.例1将抛物线y=－2x2－1向上平移个单位长度后，得到的抛物线的表达式是________________.解题秘方：根据上加下减的规律，直接在函数表达式上加可得新函数的表达式.解：∵抛物线y=－2x2－1向上平移个单位长度，∴y=－2x2－1+，即y=－2x2+.另解：以对应点作中介平移：抛物线y＝－2x2－1的顶点坐标为(0，－1)，∵抛物线平移只改变位置，则平移后的顶点坐标为，∴可得到抛物线的表达式为y＝－2x2+.抛物线y=－2x2－5的开口______，对称轴是______，顶点坐标是_________

.解题秘方：直接利用抛物线表达式进行求解即可.例2向下y轴(0,－5)解：∵y=－2x2－5中a=－2＜0，c=－5，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，－5).知识点二次函数y=a(x+h)2的图象与性质21.二次函数y=a(x+h)2

的图象与二次函数y=ax2

的图象的关系它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(x+h)2

的图象可由二次函数y=ax2

的图象左右平移|h|个单位长度得到.2.二次函数y=a(x+h)2的图象与性质函数y=a(x＋h)2(a>0)y=a(x＋h)2(a<0)图象开口方向向上向下顶点坐标(h，0)对称轴直线x=h顶点位置当h>0时，顶点在y轴的左侧(即x

轴的负半轴上)；当h<0时，顶点在y轴的右侧(即x

轴的正半轴上)增减性在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小方法点拨：平移规律：左加右减，横变纵不变.①“左加”表示当h＞0时，函数y=a(x+h)2的图象可以由函数y=ax2的图象向左平移h个单位长度得到.②“右减”表示当h＜0时，函数y=a(x+h)2的图象可以由函数y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度得到.③“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应点的横抛物线y=－3(x－1)2

的开口______，对称轴是__________，顶点坐标是____________

.向下例3解题秘方：根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标.直线x=1(1，0)方法点拨：当a>0时，抛物线开口向上，图象有最低点，当x=－h时，y最小值=0；当a<0时，抛物线开口向下，图象有最高点，当x=－h时，y最大值=0.解：由y=－3(x－1)2

可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0).例4在平面直角坐标系中，函数y=－x－1与y=－(x－1)2的图象大致是图5.2-8中的()A解题秘方：由两个函数图象的位置与系数的关系判断.解：∵k=－1<0，b=－1<0，∴函数y=－x－1的图象过第二、三、四象限.∵a=－<0，h=－1，∴函数y=－(x－1)2

的图象开口向下，顶点坐标为(1，0).∴同时符合条件的图象只有A.知识储备：直线y=kx+b(k≠0，b≠0)的位置与k，b

符号的关系：①k>0时，若b>0，则直线经过第一、二、三象限；若b<0，则直线经过第一、三、四象限.②k<0时，若b>0，则直线经过第一、二、四象限；若b<0，则直线经过第二、三、四象限.知识点二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质31.二次函数y=a(x+h)2+k的图象与二次函数y=ax2

的图象的关系它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不同；二次函数y=a(x+h)2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象平移得到，即先将二次函数y=ax2的图象左右平移|h|个单位长度得到二次函数y=a(x+h)2

的图象，再将二次函数y=a(x+h)2的图象上下平移|k|个单位长度得到二次函数y=a(x+h)2+k的图象.知识点2.二次函数y=a(x＋h)2+k的图象与性质函数y=a(x＋h)2+k(a>0)y=a(x＋h)2+k(a<0)图象顶点位置当h<0，k>0时，顶点在第一象限；当h>0，k>0时，顶点在第二象限；当h>0，k<0时，顶点在第三象限；当h<0，k<0时，顶点在第四象限知识点对称轴直线x=－h开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，y

随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小最值当x=－h

时，y

最小值=k当x=－h

时，y

最大值=k特别解读：●从y=a(x+h)2+k(a≠0)中可以直接得出抛物线的顶点坐标，所以通常把它称为二次函数的顶点式，顶点坐标是(－h，k).●对二次项系数相同的二次函数，可以根据两抛物线的顶点位置来判断平移的方式.例如：抛物线y=(x+3)2+2的顶点坐标是(－3，2)，可以看成是把y=x2的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的.例5对于抛物线y＝(x－2)2－3，下列结论错误的是()A.抛物线的开口向上B.对称轴是直线x＝2C.抛物线不经过第三象限D.当x＞3时，y

随x的增大而减小D解题秘方：紧扣y=a(x+h)2+k

的图象和性质逐一判断.解题策略：解答抛物线y=a(x+h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等问题，首先必须弄清顶点式y=a(x+h)2+k中a，h，k与开口方向、对称轴、顶点坐标、最值间的关系，比较题中给出的相关数据与a，h，k间的关系，再结合相关知识按题目要求解答.解：因为抛物线表达式为y＝(x－2)2－3，所以a＝1，该抛物线的开口向上，所以选项A正确；对称轴是直线x＝2，所以选项B正确；因为抛物线的顶点坐标(2，－3)在第四象限，且当x＜2时，y

随x

的增大而减小，当x＝0时，y＝1，则该抛物线不经过第三象限，所以选项C正确；根据y＝(x－2)2－3的图象和性质可知，当x＞2时，y随x的增大而增大，所以选项D错误.知识点二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x+h)2，y=a(x+h)2+k之间的关系41.位置关系2.图象和性质关系函数y=a(x＋h)2+ky=a(x＋h)2y=ax2+ky=ax2相同点形状图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同对称性图象都是轴对称图形增减性a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y随x

的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y

随x

的增大而增大，在对称轴右侧，y

随x的增大而减小不同点顶点(－h，k)(－h，0)(0，k)(0，0)对称轴直线x=－hy

轴特别解读：①抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x＋h)2，y=a(x－h)2+k中a值相等，所以这四条抛物线的形状、大小完全一样，故它们之间可互相平移得到.②抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，所不同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项.例6已知抛物线y=a(x＋h)2+k

是由抛物线y=－x2

向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的.(1)求出a，h，k

的值；解：∵抛物线y=－

x2

向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的抛物线是y=－(x－1)2+2，∴a=－

，h=－1，k=2.解题秘方：紧扣特殊形式的二次函数间的关系进行解答.(2)在同一直角坐标系中，画出y=a(x＋h)2+k

与y=－

x2

的图象；解：函数y=－(x－1)