培优课与球有关的切接问题课件-高三上学期数学一轮总复习

培优课与球有关的切接问题1.球心的相关性质(1)球心到球面上各点的距离相等;(2)球的截面是圆面,(3)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,(4)过截面圆圆心作截面的垂线必经过球心.同样也适用于三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：补成正方体、补成长方体正方体盒子里吹气球，会得到与6个面相切的内切球。

正方体放进气球里，气球放气，可得与8个顶点相接的外接球

12条木棍组成一个正方体框架，在里面吹气球，慢慢地气球就与木棍轻轻接触相切。

二、棱锥的外接球：1．正四面体的外接球与内切球：当正三棱锥的侧棱与底边相等时，构成正四面体。正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

球心位置：若底面为正多边形，则过正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到正多边形各顶点的距离都相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。

正四面体内切球的半径为球心到正四面体各面的距离。正四面体的内切球半径等于其外接正方体对角线的六分之一正四面体和正方体有着相同的外接球。

2.普通棱锥的外接球：对于普通棱锥来说，底面不是正多边形，也没有底面正多边形的中心的概念，但底面多边形依然有外接圆圆心（外心），底面多边形的外心到底面各顶点的距离都相等，故过底面多边形的外心作底面的垂线即可。球心位置推广：过底面多边形的外心作底面的垂线，则垂线上任一点到多边形各顶点的距离都相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。两个类型：

构造法A.28π B.30π

C.32π D.36π解析:由于B处的三条棱两两垂直,可以把三棱锥补成长方体,设球O半径为R,则(2R)2=BC2+BD2+AB2=CD2+AB2=28,所以球表面积S=4πR2=28π.故选A.常见的构造长方体模型(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.墙角模型(4)若三棱锥的对棱两两相等（等腰四面体）,则可将其放入某个长方体内,如图4所示.

[拓展演练](1)(2022·陕西咸阳一模)已知正四面体S-ABC的外接球表面积为6π,则正四面体S-ABC的体积为(

)答案:(1)A外接球的球心问题PBACO1O2OD

A.100πB.128πC.144πD.192π内切球的球心问题(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上,又球O2与此三棱柱的5个面都相切,求球O1与球O2的表面积之比为

.

答案:(2)5∶1(2)轴截面法:第一步,首先画出球及它的内切圆柱、圆锥、圆台等几何体,它们公共的轴截面;第二步,然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等[拓展演练](1)正四面体A-BCD的棱长为a,O是棱AB的中点,以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD相切,则球O的体积是(

)

[拓展演练](1)正四面体A-BCD的棱长为a,O是棱AB的中点,以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD相切,则球O的体积是(

)球切、接中的最值问题与球有关的最值问题,主要涉及球的半径这个基本量,当半径有明显的几何意义时,可以根据垂线段最短、两点之间线段最短等几何意义求解;当没有明显的几何意义时应该考虑建立函数、不等式模型求解.[拓展演练]在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(

)BCAB1C1A1简单多面体的外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。(一)由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有项点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.结论1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。结论2:直棱柱的外接球的球心在上下底面外接圆圆心连线的中点。结论3:正棱锥的外接球的球心在其体高线上，可通过列方程计算确定具体位置。结论4:若棱锥侧面有共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点为外接球的球心。结论5:过多面体两个面的外心分别作这两个面的垂线，垂线的交点即为球心。(二)构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的交点处.以下是常见的、基本的几何补成正方体或长方体的途径与方法.途径1:正四面体、对棱相等的的三棱锥、三条侧棱两两垂直，三个侧面都是是直角三角形、三个侧面两两垂直的三棱锥补成正方体或长方体.途径2:若已知棱锥一条侧棱和底面垂直，则可将棱锥补成长方体或正方体.(三)由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直截圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的质,确定球心.(四)向量法计算球心坐标建立空间直角坐标系,计算球心坐标.

6.补体法(1)补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法,否则很麻烦.(2)使用条件:一是由三条两两垂直的棱（三侧面两两垂直）构成的锥体,补成长方体或正方体:二是有一条棱与底面垂直的锥体,可以将其先补成直棱柱,然后直接求棱柱的外接球,三是对棱相等的等腰四面体,补成长方体。(3)补体法一般是将锥体补成柱体,这样的柱体多为长方体或正方体,我们一般是先画出补成之后的图形,然后在补成之后的图形中标注题目中所说的锥体,这样,就更易于补形作图,即所求的锥体的外接球也就是补成之后立体图形的外接球。

7、内切球外接球问题总结1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,

外接球球心到多面体各项点的距离均相等2、基本方法:定球心、找轴截面、构造（直角）三角形、利用相似比、勾股定理.3、体积分割（等积转化法）是求内切球半径的通用方法.4、补体法（化归为不同几何体有相同外接球）是求外接球半径的常用方法.8、同一个几何体的外接球和内切球①正多面体的内切球和外接球的球心重合;②正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但未必重合;③正棱柱的内切球球心,在上下底面外接圆圆心连线的中点,和外接球的球心重合.

附2：正四面体结论

1.墙角模型

2.对棱相等模型

三节棍模型

3.直棱柱（圆柱）模型（可以在圆柱上下底面取点，从而构成直棱柱）

汉堡模型

4.正棱锥模型侧棱相等的锥体，也适用于此模型（即以圆锥的顶点为顶点，圆锥底面内接多边形为底面构成的锥体，这样的锥体顶点在底面的射影恰为底面的中心）

5.垂面模型6.有一条侧棱垂直于底面模型（和直棱柱模型一样）7.锥体的内切球模型（注意:圆锥的内切球也适用）

空间几何体的外接球与内切球

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问实质是解决球的半径R或确定球心o的位置问题,其中球心的确定是关键.(一)构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球球心是在其体对角线的中点处.

以下是常见的、基本的几何休补正方体或长方体的途径与方法.途径1：墙角模型：同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体(三棱锥)、三棱锥三个侧面两两垂直,

则可将三棱锥补成长方体或正方体.途径2：正四面体模型：正四面体(6条棱均相等的正三桉锥)可构遗正方体,

正三棱锥模型