2023-2024学年湘教版必修第二册 5-4随机事件的独立性 学案

5.4随机事件的独立性最新课程标准学科核心素养1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．2．结合古典概型，利用独立性计算概率．1.会对事件的独立性进行判断．(逻辑推理)2．利用相互独立事件的性质及概率公式，会求相互独立事件同时发生的概率．(逻辑推理、数学运算)教材要点要点一相互独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝________成立，则称事件A与事件B状元随笔(1)必然事件Ω和不可能事件∅都与任何事件独立．(2)事件A，B相互独立，即事件A是否发生对事件B发生没有影响，且事件B是否发生对事件A发生也没有影响．要点二相互独立事件的概率若事件A，B独立，则P(A∩B)状元随笔(1)若事件A，B相互独立，则A与B，A与B，A与(2)注意相互独立事件与互斥事件的区别．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．()(4)“P(A∩B)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B2．一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是()A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是()A．1425B．1225C．34．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．题型1相互独立事件的判断例1(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是()A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”方法归纳判断两个事件是否相互独立的方法(1)定量法：利用P(A∩B)＝P(A)P(B(2)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．跟踪训练1已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是()A．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.2，P(ABB．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(ABC．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(ABD．如果A与B相互独立，那么P(AB)＝0.4，P(AB题型2相互独立事件概率的计算例2根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．方法归纳1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．跟踪训练2甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为2求：(1)甲，乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；(2)该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．题型3相互独立事件的综合应用例3为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，T3，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；②选手若答对第Ti题，则继续作答第Ti＋1题；选手若答错第Ti题，则失去第Ti＋1题的答题机会，从第Ti＋2题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为34(1)挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率P1；(2)挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率P2；(3)选手甲闯关成功的概率P3.方法归纳求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．跟踪训练3为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，3(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．易错辨析混淆互斥事件和独立事件的概念例4甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？解析：记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B为相互独立事件，两人恰好都命中2次的概率为P(AB)，则P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169.易错警示易错原因纠错心得错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”与B＝“乙恰好命中2次”的概率之和．首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式．A，B为互斥事件时，有概率公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B为独立事件时，有概率公式为P(A∩B)＝P(A)P(课堂十分钟1．(多选)下面结论正确的是()A．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是互为对立事件B．若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则事件A与BC．若事件A与B是互斥事件，则A与B也是互斥事件D．若事件A与B是相互独立事件，则A与B也是相互独立事件2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A．524B．512C．13．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.884．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为135．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．5．4随机事件的独立性新知初探·课前预习要点一P(A)P(B)要点二P(A)P(B)[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：事件A1是否发生对事件A2发生的概率没有影响，故A1与A2是相互独立事件．答案：A3．解析：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，根据题意知，P(A)＝810＝45，P(B)＝710，且A与B相互独立，故他们都命中目标的概率为P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝答案：A4．解析：设A1，A2，A3分别表示在A，B，C三处不停车，由题意可知，A1，A2，A3相互独立，且P(A1)，P(A2)，P(A3)分别为512，712，34答案：35题型探究·课堂解透例1解析：样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件M∩N＝{6}，∴P(M)＝36＝12，P(N)＝26＝13，P(M∩N)＝12×13＝16，即P(M∩N)＝P(M)P(N)，故事件M与答案：ABD跟踪训练1解析：如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.5，P(AB)＝0.2，故A选项错误；如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0，故B选项正确；如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.1，故C选项错误；如果A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.4，P(AB)＝P(A)·答案：BD例2解析：(1)记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，B与A都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝A∩B，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝A∩B，所以P(D)＝P(A∩B)＝P(A)跟踪训练2解析：(1)设A1，A2分别表示甲两轮答对1道题，2道题的事件，B1，B2分别表示乙两轮答对1道题，2道题的事件，依题意得：P(A1)＝2·34·14＝38，P(A2)＝3P(B1)＝2·23·13＝49，P(B2)＝2(2)设A＝“两轮比赛队伍答对3道题”，则A＝A1∩B2+A2∩B1，且A1∩B2与A2∩B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以P(A)＝P(A1∩B2)+P(A2∩B1)＝P(A1)P(B2)＋P例3解析：设Ai为选手答对Ti题，其中i＝1，2，3.(1)设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件A，选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，所以A＝A1∩A2∩A3，所以，由事件独立性的定义得P1＝P(A)＝P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)P(A(2)设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第1题答错或第一题答对且第2题答错，所以B＝A1∪A1A2由概率的加法公式和事件独立性的定义得P2＝P(B)＝P[A1∪(A1∩A2)]＝(3)设选手甲挑战成功为事件C，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2题或3道题所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，所以C＝B.根据对立事件的性质得P3＝P(C)＝P(B)＝1－P(B)＝1－716＝9跟踪训练3解析：(1)设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1∩A2＝“甲赢得比赛”，P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2B1∩B2＝“乙赢得比赛”，P(B1∩B2)＝P(B1)P(B2因为25>3(2)由(1)知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙贏得比赛”，则P(C)＝1－P(A1∩A2)＝1－2P(D)＝1－P(B1∩B2)＝1－3于是C∪DP(C∪D)＝1－P(C∩D)＝1－P(C)P(D)＝1－3[课堂十分钟]1．解析：要使A，B为对立事件，除P(A)＋P(B)＝1还需满足P(AB)＝0，也即A，B不能同时发生，所以A选项错误；若A包含于B，则A与B不是互斥事件，所以C选项错误；根据相互独立事件的知识可知，B，D选项正确．答案：BD2．解析：两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件A∩B为两班派出的都是三好学生，则P(A∩B)＝P(A)P(B)＝936答案：C3．