2023-2024学年湘教版必修第二册 1-6解三角形1-6-1余弦定理 学案

1.6.1余弦定理教材要点要点一解三角形从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形．要点二余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________．推论cosA＝________________，cosB＝________________，cosC＝________________．状元随笔对余弦定理的理解(1)余弦定理对任意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．()(2)余弦定理只适用于锐角三角形．()(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．()(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．()2．在△ABC中，已知b＝8，c＝3，∠A＝60°，则a＝()A．73B．49C．73D．73．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A．14B．C．24D．4．在△ABC中，已知a＝23，b＝3，∠C＝30°，则c＝________．题型1已知两边及一角解三角形例1(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则BC的长为()A．19B．13C．3D．7(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，∠B＝120°，则边a等于()A．6B．3C．2D．2方法归纳(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．跟踪训练1(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，则c＝________；sinA(2)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________．题型2已知三角形三边及关系解三角形例2(1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A．π3B．π6C．π(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．方法归纳(1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择；(2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论．跟踪训练2(1)在△ABC中，若a2＋c2＝b2－3ac，则∠B＝()A．π6B．π3C．2(2)△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，则其最大内角等于________．题型3判断三角形的形状例3在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sinA＝2sinBcosC．试判断△ABC的形状．方法归纳利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理．跟踪训练3在△ABC中，若满足acosA＝bcosB，则△ABC一定为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形易错辨析忽略构成三角形的条件出错例4已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，则实数a的取值范围为________．解析：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边∴2a+1解得a>12要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，需满足2a+1+a解得a>2.由题知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ(钝角)，则cosθ＝a2∴a2＋(2a－1)2－(2a＋1)2<0，即a2－8a<0，解得0<a<8.又a>2，∴a的取值范围为(2，8)．答案：(2，8)易错警示易错原因纠错心得a>12只能保证2a＋1，a，2a由于余弦定理的变形较多，且涉及平方和开方等运算，易因不细心而导致错误．在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形．课堂十分钟1．在△ABC中，已知∠B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于()A．43B．7C．7D．52．在△ABC中，a＝23，b＝22，c＝6+2，则A．30°B．60°C．120°D．150°3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．在△ABC中，a2＝2bc，b＝2c，cosA＝________．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝14.若a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b，c1．6.1余弦定理新知初探·课前预习要点二b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos60°＝82＋32－2×8×3×12＝49.∴a答案：D3．解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cosB＝a2+c2-答案：B4．解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋9－2×23×3×32∴c＝3.答案：3题型探究·课堂解透例1解析：(1)由题意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋9－6＝7，则BC＝7，故选D.(2)根据余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accosB，∴6＝a2＋2－22a×-12，∴a＝答案：(1)D(2)C跟踪训练1解析：(1)根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×14＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝b2+c2-a22bc(2)根据余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC所以13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1(负值舍去)．答案：(1)2158例2解析：(1)因为c<b<a，所以最小角为角C.所以cosC＝a2+b2-所以∠C＝π6(2)已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4.又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c.因此a为最大边，∠A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.答案：(1)B(2)见解析跟踪训练2解析：(1)因为a2＋c2＝b2－3ac，所以a2＋c2－b2＝－3ac，所以cosB＝a2+c2-b2所以B＝5π(2)由于c最大，故C最大，cosC＝32+5由于0<C<π，所以C＝2π答案：(1)D(2)2例3解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝12.又因为0°<A<180°，所以A因为sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，且sinA＝2sinBcosC，所以sinBcosC＝cosBsinC，则sin(B－C)＝0.因为－180°<B－C<180°，所以B－C＝0°，即B＝C.又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，故△ABC为等边三角形．跟踪训练3解析：因为acosA＝bcosB，所以由余弦定理得a·b2+c2所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)a2b2＋a2c2－a4＝b2a2＋b2c2－b4(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案：D[课堂十分钟]1．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋25－2×3×5cos120°＝49∴b＝7.答案：C2．解析：由余弦定理得cosA＝b2+c2∴∠A＝60°.答案：B3．解析：∵△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，∴cosB＝a2+c2-b22ac＝12，∴a2＋