画龙点睛数学专题讲解考研之曲线积分与曲面

曲线积分与此部分内容仅需数一掌握，也是数一内容中的重难点，请留意第一部分曲线积一、计算曲线质量的积分—对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）Lf(xy)ds的计算方法xy例题1计算(4x23xy9y2)ds，其中L 1，其中长度为a L(4x3xy9y)ds (4x2曲线积分与此部分内容仅需数一掌握，也是数一内容中的重难点，请留意第一部分曲线积一、计算曲线质量的积分—对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）Lf(xy)ds的计算方法xy例题1计算(4x23xy9y2)ds，其中L 1，其中长度为a L(4x3xy9y)ds (4x29y222LL2xy36L )ds36ds36a Lx2y2z22(xyz)ds 。2x3y4z解答：(xyz)ds4ds422162 Ly(x（axbbf(xy)ds f[x,(x)]12(x)dxax（t情形Ly(t(t)]2(t2(t)dtf(x,y)ds fL例题3计算 ds，其中L由yx，y 4x2及x轴围成的曲线段x2LL:y0(0x2)Lx2cos(0L:yx(0x2)y212342222则 ds ds ds xxxxLdx ds 2xe2x2dx3)e432x2 4 400二、就算变力沿有向曲线段做功的曲线积分—对坐标的曲线积分（第二类曲线积分WLP(xy)dxQ(xy)dy。bP(x,y)dxQ(x,y)dy (x)](x)}dx(x)]WLP(xy)dxQ(xy)dy。bP(x,y)dxQ(x,y)dy (x)](x)}dx(x)]Lax（起点对应的t，终点对应的t情形二Ly(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtP(x,y)dxQ(x,y)dy L1计算(2xyx)dxxy)dyLyx2xy222LL1yx2（x0x1）L2yx（x1x0(2xyx2)dx(xy2L(2xyx)dx(xy)dy (2xyx2)dx(xy2221(2xyx)dx(xy)dy (2xx)dx(xx)22 407，61 (2xx2x)dx 50(2xyx)dx(xy)dy (2xxx2)dx(xx)10221271(2xxx x)dx ，故(2xyx)dx(xy)dy 222 0LL为其正向边界，则P(xy)dxQ(x,y)dyQP)dxdy LD1计算ecosydx(5xyesiny)dyLx2yy2yxxLP(xy)excosyQ(xy)5xyexsinyQ5yexsiny,PexsinyL0:x0（起点(0,2)，终点(0,0))excosydx(5xyexsiny)dyecosydx(5xyesiny)dyxx L excosydx(5xyexsiny)dy(QP D2403132sin ydxdy r2sindrsind L0:x0（起点(0,2)，终点(0,0))excosydx(5xyexsiny)dyecosydx(5xyesiny)dyxx L excosydx(5xyexsiny)dy(QP D2403132sin ydxdy r2sindrsind 242 42000D0ecosydx(5xyesiny)dy sinydy1cos2xx2所以Lecosydx(5xyesiny)dy 1cos2xx2xdy，其中L是不过原点的简单闭曲线x24yyx),Q(x,y)，x4yx24yQ4y2x（(xy)(0,0) (x24y2xdy(xy)dxdy0情形一O(0,0D，由格x24yr2（D0 D，作L0:x4y0围成的椭圆区域为D1L0L围成的区域为D2，由格林公式xdyxdyydxxdyydxQP)dxdy0 ， x42x4x422L00D2xdy112222dxdyxdyydx(11)dxdy而x4 22rrL00DD11(t关，且对任意的tR， 2xydxQ(x,y)dy 2xydxQ(x,y)dy，求Q(x,y)解答：因为L2xydxQ(x,y)dy与路径无关，所 2x，于是Q(x,y)x(y)2(t1112xydxQ(x,y)dy Q(t,y)dy [t(y)]dyt (y)dy22000tt2xydxQ(x,y)dy [1(y)]dyt (y)dy00(t因 2(t1112xydxQ(x,y)dy Q(t,y)dy [t(y)]dyt (y)dy22000tt2xydxQ(x,y)dy [1(y)]dyt (y)dy00(t因 2xydxQ(x,y)dy 2xydxQ(x,y)dy1t所以t (y)dyt (y)dy，两边对y求导得(t)2t200故Q(xyx22y14设曲线积分xy2dxy(x)dy与路径无关，其连续可导且(00Lxydx2(x)dy解答：因为xy2dxy(x)dy与路径无关y(x)2xy，于是(x)2xL(x)x2C，因为(0)0，所以C0，于是(x)x21xydxxydy xy 222222xdyL(x)yL是绕过原点的正向闭曲线，(x)可导且A(0)例题(1)1（1）求(x)；（2）求Ayx(x)y,Q(x,y)，(x)y (x)y2x(x) (x)y ，[(x)y2 [(x)y2任取一条不绕过原点的正向闭曲线LL上任取两点ABLL1L2AB一条曲线L3L3L1L2围成绕原点的闭曲线，由格林xdyydxAxdyydxA3(x)3(x)22LL12xdyydx0QPL(x)y (x)x(x)(x，即(x2(x)0，解得(x)Cx2x又因为(1)1，所以C1，于是(x)x2（2）L0xy0L(x)x(x)(x，即(x2(x)0，解得(x)Cx2x又因为(1)1，所以C1，于是(x)x2（2）L0xy0LL内，取逆时针方向L00D1L0L1围成的D2，由格林公xdy，xdyydxQP)dxdy0xdyydxx x x LL00D2xdyydx2 221dxdy2A2xdyydx而xrrL00D)wLPdxQdyRdzxLy(t（起点t，终点tzLPdxQdy(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t), 。1计算(x2yz)dxy2xz)dyz2xy)dzLxcosLysint（起点t0，终点t2z解答：(x2yz)dxy2xz)dyz2L2 [(costtsint)sint(sinttcost)cost(tsintcos22200(costsinttcos2tt)dt22。3L为曲面的边界，L的方向与的侧按右手准则确定，coscoscos为曲面coscosdsPdxQdyRdzLL为曲面的边界，L的方向与的侧按右手准则确定，coscoscos为曲面coscosdsPdxQdyRdzL2计算ydxzdyxdzLxy2z2R2xyz0L1解答：设截口圆为，取下侧，且coscoscos ，由斯托克斯公3111ydxzdyxdz1L313ds3ds3R23k例题1位于(0,1)的质点A对质点M的引力大小 (k0)，其中r为两质点之间的r离，质点M沿曲线y 2xx2从B(2,0)运动到(0,0)，求质点A对质点M所做的功M的坐标为(xywLP(xy)dxQ(xy)dyFPk。x(y10MA{x,1 MA0Fx2(y0F|F| k3{x,1y}[x2(y1)2k(1w P(x,y)dxQ(x,y)dydxdy3[x2(y1)23[x2(y1)2因 3kx(y1)[x2(y1)2]2，所以曲线积分与路径无关， k(1wdx3[x2(y1)23[x2(y1)2550 dxk(13(x21)例题2Fyzzxxy}的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x yk(1wdx3[x2(y1)23[x2(y1)2550 dxk(13(x21)例题2Fyzzxxy}的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x y2z,,)，问当,a cwLyzdxxzdyxydzxLyt（起点t0，终点t1z1 tdtwyzdxxzdyxydz2L0 令F 1)a cacFFabc，解得 , , 3由F 1 c第二部分曲面积一、计算曲面质量的曲面积分（对面积的曲面积分）f(xyz)dsm(xyz)ds1计算(xyz)2ds，其中z4x2y2(xyz)2ds(x2y2z22xy2xz2(x2y2z2ds4ds16z(xyz)2ds(x2y2z22xy2xz2(x2y2z2ds4ds16z(xy（(xyD（也可以向其他两个坐标面投影ds1x)y)dxy22f(xyz)dsf[xy,(xy)]1x)y)dxy22D2PSx2y2z2yz1SPxoy(x 3)|y2z|dS，其中4y2z24S位于曲线CP的坐标为(xyzSx2y2z2yz10SP量为n2x,2yz,2zy}x2y2z2yzP点的轨迹方程为C。yI(x 3)|y2z|dS(x 3)(2zy)dS4y2z244y2z24y将S向xoy平面投影，则Dxy:x 1243x2y2z2yz10两边对x求导得2x2zzyz0，解 ， yx2y2z2yz10yyx2zzzyz0z2y，dS1(z)2(z)2dxdy 4x25y25z28yzdxdy y 4y2z24(x 3)|y2z|dS(xI4y2z24D 3dxdy 3122 4y2z24(x 3)|y2z|dS(xI4y2z24D 3dxdy 31223D如对R(xyz)dxdyz(xy（(xyDxy第二步：R(xyz)dxdyR[xy,(x,y)]dxdy（其中的侧为上侧时取正号，侧为下侧时取负号注意：第二类曲线与曲面积分的奇偶性与定积分相例题 设:x2y2z24(z0)，取外侧，计yzdzdx2dxdy yzdzdx2 rsin4r24xzdxdz 222 r2sin24r2 4sint2cost2cosr2200 sin2td(2t) sintdt sintdt222220002dxdy2dxdy2dxdy8，则yzdzdx2dxdy12两类曲面积分的关系为PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds2f(xyz连续xyz1f(xyzx]dydz2f(xyzy]dzdxf(xyzz]dxdy111 ,cos ,cos 333于是f(xyzx]dydz2f(xyzy]dzdxf(xyz1{[f(x,y,z)x][2f(x,y,z)y][f(x,y于是f(xyzx]dydz2f(xyzy]dzdxf(xyz1{[f(x,y,z)x][2f(x,y,z)y][f(x,y,z)31(xyz)ds1ds11 2 2sin12 3333计算xdydzydzdxzdxdy，其中zx2y20z4)21cos,cos,cos，14x24y14x24y14x24y于是xdydzydzdxzdxdy(xcosycoszcosz2x22yds14x24y因为ds1(x)(y)dxdy 14x4ydxdy222222 rdr所以原式 (xy)dxdy 22300定理：设为封闭曲面的外侧，其所围成的几何体为，且P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,在PdydzQdzdxRdxdyPQR)dv 3（1）设x2y2z24(z0)yzdzdx2dxdy解答：令0:0（xyyzdzdx2dxdyyzdzdx2dxdyyzdzdx2dxdy22dxdy z(4z)dz4yzdzdx2dxdy zdv 200x2y24zyzdzdx2yzdzdx2dxdy2dxdy2dxdy2dxdy8x2y2所以yzdzdx2dxdy12空间解析几何复一、空间曲（1）M0x0y0z0n空间解析几何复一、空间曲（1）M0x0y0z0nABC:A(xx0Byy0C(zz00（2）:xy1 :AxByCzD0f(x,y)Lz:f yz2 0x:fxz2,0y设F(xyz0M0x0y0z0，则曲面M0x0y0z0n{FxFyFz}M（切平面与法线略0二、空间曲F(x,y,z) L。G(x,y,z)x L:y(t)zL:A1xB1yC1zD1。xByCzD222M0x0y0z0LSmnpLL:x y z。mnpxx0（3）直线方程的参数式Lyy0M0x0y0z0LSmnpLL:x y z。mnpxx0（3）直线方程的参数式Lyy0ntzz0x（1）Ly(ttt0对应的点((t0(t0(t0LzT{(t0),(t0),(t0)}（切线与法平面略F(x,y,z)，其M(x0y0z0L，则切向量（2）LG(x,y,z) TG, G,}。GM0 xy 三、距A(x1y1z1B(x2y2z2，则两点之间的距d (x2x1)2y2y1)2z2z1)2设AxByCzD0M(x0y0z0M|Ax0By0Cz0D|dB2C设1AxByCzD102AxByCzD20|D1D2d。A2B2C设L:x y zM(xyzL