2024届江西省南昌市第一中学数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

2024届江西省南昌市第一中学数学高二第二学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，若，则（）A．-5 B．5 C．1 D．-12．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879以下判断正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量没有关系C．有的把握说变量有关系D．有的把握说变量没有关系3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（）A． B． C． D．4．设，若，则=（）A． B． C． D．5．若函数且在上既是奇函数又是增函数，则的图象是()A． B．C． D．6．下列函数中与函数相同的是（）A． B． C． D．7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是A．2015 B．2016 C．2017 D．20188．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）A． B． C． D．9．已知复数，若是纯虚数，则实数等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．-110．若,则等于()A．9 B．8 C．7 D．611．若且；则的展开式的系数是（）A． B． C． D．12．参数方程为参数表示什么曲线A．一个圆 B．一个半圆 C．一条射线 D．一条直线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若＝，则x的值为_______．14．若函数的单调递增区间是，则的值是__________．15．在正三棱锥中，，，记二面角，的平面角依次为，，则______．16．在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求展开式的二项式系数的和；(2)求展开式中含的项.18．（12分）（1）证明不等式：，；（2）已知，；；p是q的必要不充分条件，求的取值范围.19．（12分）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差.20．（12分）等差数列的各项均为正数，,前n项和为．等比数列中，，且,．（1）求数列与的通项公式；（2）求．21．（12分）已知在平面直角坐标系内,点在曲线(为参数,)上运动.以为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;（2）若与相交于两点,点在曲线上移动,试求面积的最大值.22．（10分）已知.（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.【题目详解】由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【题目点拨】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.2、A【解题分析】分析：根据所给的观测值，对照临界值表中的数据，即可得出正确的结论．详解：∵观测值，

而在观测值表中对应于3.841的是0.05，

∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系．

故选：A．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．3、C【解题分析】

根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果【题目详解】由题，向左平移不改变周期，故，平移得到，，当时，，故选C【题目点拨】本题考查函数的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化4、C【解题分析】

先计算，带入，求出即可。【题目详解】对求导得将带入有。【题目点拨】本题考查函数求导，属于简单题。5、D【解题分析】

根据题意先得到，，判断其单调性，进而可求出结果.【题目详解】因为函数且在上是奇函数，所以所以，，又因为函数在上是增函数，所以，所以，它的图象可以看作是由函数向左平移一个单位得到，故选D.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数图象变换，熟记函数性质即可，属于常考题型.6、B【解题分析】

判断各个选项中的函数和函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，从而得出结论．【题目详解】由于函数yt，和函数具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数，故B满足条件．由于函数y和函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除D．由于函数,y|x|和函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除A,C．故选：A．【题目点拨】本题主要考查函数的三要素，只有两个函数的定义域、对应关系、值域都相同时，这两个函数才是同一个函数，属于基础题．7、C【解题分析】分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：，计算的数值如下表所示：底数指数幂值5155225531255462555312556156255778125583906255919531255109765625据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，所给选项中，只有2017除以8的余数为1，则的值可以是2017.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、C【解题分析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即，选C.9、B【解题分析】分析：由复数是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案.详解：复数是纯虚数，，解得.故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.10、B【解题分析】分析：根据组合数的计算公式，即可求解答案.详解：由题意且，，解得，故选B.点睛：本题主要考查了组合数的计算公式的应用，其中熟记组合数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.11、C【解题分析】

先根据求出，再代入，直接根据的展开式的第项为，即可求出展开式的系数。【题目详解】因为且所以展开式的第项为展开式中的系数为故选C【题目点拨】本题考查二项式展开式，属于基础题。12、C【解题分析】分析：消去参数t，把参数方程化为普通方程，即得该曲线表示的是什么图形.详解：参数方程为参数，消去参数t，把参数方程化为普通方程，，即，它表示端点为的一条射线.故选：C.点睛：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，并且需要注意参数的取值范围，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4或9.【解题分析】分析：先根据组合数性质得，解方程得结果详解：因为＝，所以因此点睛：组合数性质：14、1【解题分析】分析：求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求的单调区间；详解：若，则，即在上单调递增，不符题意，舍；

若，令，可得或（舍去）x(0，2−aa2−aa（2−aaf′（x）-0+f（x）减增)，+∞）∴在上是减函数，在上是增函数；根据题意若函数的单调递增区间是，则即答案为1.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．15、1【解题分析】

作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接可得D为AB的中点，，于是二面角的平面角为作，垂足为E点，连接BE，根据≌，可得可得为的平面角，利用余弦定理即可得出．【题目详解】如图所示，作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接PD．则D为AB的中点，，．二面角的平面角为．，，，．．作，垂足为E点，连接BE，≌，．为的平面角，．．在中，．．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，属于难题．16、【解题分析】

由条件可得【题目详解】因为，分别是的中点所以所以故答案为：【题目点拨】本题考查的是空间向量的线性运算，较简单.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

列出二项展开式的通项公式，利用前三项系数成等差可求得；（1）根据展开式二项式系数和的性质可得结果；（2）根据展开式通项公式可知，当时为所求项，代入通项公式求得结果.【题目详解】二项展开式的通项公式为：展开式前三项的系数依次为，，，整理可得：解得：（舍）或二项展开式的通项公式为：（1）二项展开式的二项式系数的和为：（2）令，解得：展开式中含的项为【题目点拨】本题考查组合数的运算、二项展开式二项式系数和的性质、求指定项的问题，考查对于二项式定理的知识的掌握，属于常规题型.18、（1）见证明；（2）.【解题分析】

（1）构造函数，将问题转化为，然后利用导数求出函数的最小值即可得证；（2）解出命题中的不等式，由题中条件得出的两个取值范围之间的包含关系，然后列出不等式组可解出实数的取值范围.【题目详解】（1）即证：，.令，，则，令，得.当时，；当时，.所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.因此，，因此，对任意的，；（2）解不等式，得，则.由于是的必要不充分条件，则，则有，解得.当时，则，合乎题意.因此，实数的取值范围是.【题目点拨】本题第（1）考查利用导数证明函数不等式，一般构造差函数，转化为差函数的最值来证明，第（2）问考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合间的包含关系求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.19、（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，.【解题分析】

（1）分别利用超几何概型和二项分布计算甲、乙通过自主招生初试的概率即可；（2）乙答对题的个数服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用，即得解.【题目详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，甲通过自主招生初试的概率参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，乙通过自主招生初试的概率，甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4.且的概率分布列为：05101520.【题目点拨】本题考查了超几何分布和二项分布的概率和分布列，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20、（1），；（2）【解题分析】

（1）由题意,要求数列与的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d，q,然后根据等差数列的前项和公式,代入,,求出d，q即可写出数列与的通项公式．（2）由（1）可得,即,而要求,故结合的特征可变形为,代入化简即可．【题目详解】（1）设等差数列的公差为d，d＞1，的等比为q则,,依题意有，解得或（舍去）故,（2）由（1）可得∴∴=．【题目点拨】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d＞1．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征,将等价变形为,然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法--裂项相消法！21、(Ⅰ)曲线的标准方程：；直线的直角坐标方程为：(Ⅱ)【解题分析】试题分析：(Ⅰ)对于曲线，理平方关系消去参数即可；对于极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数得到直线的直角坐标方程．(Ⅱ)欲求面积的最大值，由于一定，故只要求边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点在过圆心且垂直于的直线上时，距离最远，据此求面积的最大值即可．试题解析：(Ⅰ)消参数得曲线的标准方程：.由题得：，即直线的直角坐标方程为：.(Ⅱ)圆心到的距离为，则点到的最大距离为，，∴.考点：极坐标22、（Ⅰ）详见解析