山西省太原市小店区一中2024届数学高二下期末经典试题含解析

山西省太原市小店区一中2024届数学高二下期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在曲线的图象上取一点及附近一点，则为（）A． B．C． D．2．已知函数，若，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．3．设集合A=1,2,4，B=3,4，则集合A．4 B．1,4 C．2,3 D．1,2,3,44．等比数列的前项和为，已知，，则（）A．270 B．150 C．80 D．705．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为()A． B． C． D．6．若圆锥的高为，底面半径为，则此圆锥的表面积为（）A． B． C． D．7．已知函数f(x)=x2+ax+b，m,n满足m<n且f(m)=n-m，f(n)=m-nA．f(x)+x<n B．f(x)+x>mC．f(x)-x<0 D．f(x)-x>08．函数过原点的切线的斜率为（）A． B．1 C． D．9．设实数，则下列不等式一定正确的是()A． B．C． D．10．设集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,11．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的，分别为63，98，则输出的（）A．9 B．3 C．7 D．1412．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为（）A． B． C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，.若，且的最小值为-1，则实数的值为__________．14．正方体中，异面直线和所成角的大小为________15．已知为实数，若复数是纯虚数，则__________．16．若展开式中的第7项是常数项，则n的值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已经函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）若，且.（Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）求的值.19．（12分）已知函数，其对称轴为y轴（其中为常数）.（1）求实数的值；（2）记函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）求证：不等式对任意成立.20．（12分）如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．设圆往的高为4，异面直线AD与BC所成角为，求圆锥的体积；当圆锥的高和底面半径是中的值时，求二面角的大小．21．（12分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：支付方式微信支付宝购物卡现金人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.（1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；（2）记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望.22．（10分）已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

求得的值，再除以，由此求得表达式的值.【题目详解】因为，所以．故选C.【题目点拨】本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.2、D【解题分析】

可以得出，从而得出c＜a，同样的方法得出a＜b，从而得出a，b，c的大小关系．【题目详解】,,根据对数函数的单调性得到a>c,,又因为，，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故选D．【题目点拨】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.3、A【解题分析】

利用交集的运算律可得出集合A∩B。【题目详解】由题意可得A∩B=4，故选：A【题目点拨】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。4、B【解题分析】

根据题意等比数列的公比，由等比数列的性质有，成等比数列，可得答案.【题目详解】根据题意等比数列的公比.由等比数列的性质有，成等比数列所以有，则，所以，故选：B【题目点拨】本题考查等比数列的前项和的性质的应用,属于中档题.5、D【解题分析】分析：先还原几何体，再根据棱柱各面形状求面积.详解：因为几何体为一个以俯视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的两直角边长为2和，所以棱柱表面积为，选D.点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．6、B【解题分析】

根据圆锥的高和底面半径求出母线长，分别求出圆锥侧面积和底面积，加和得到结果.【题目详解】由题意可得圆锥的母线长为：圆锥侧面积为：；底面积为：圆锥表面积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查圆锥表面积的求解，关键是熟练掌握圆锥侧面积公式，属于基础题.7、A【解题分析】

设A(m,n-m)，B(n,m-n)，求出直线AB的方程，根据f(x)的开口方向可得到f(x)与直线AB【题目详解】设A(m,n-m)，B(n,m-n)，则直线AB的方程为y=-2x+m+n，即A,B为直线y=-2x+m+n与f(x)的图像的两个交点，由于f(x)图像开口向上，所以当m<x<n时，f(x)<-2x+m+n，即f(x)+x<-x+m+n<n【题目点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.8、A【解题分析】分析：设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．详解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=故选：A．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．9、D【解题分析】

对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【题目详解】解：由于a＞b＞0，，A错；当0＜c＜1时，ca＜cb；当c＝1时，ca＝cb；当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，B错；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．，D对；故选D．【题目点拨】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10、D【解题分析】

先求出CUA,再求∁【题目详解】由题得CU所以∁UA∩B故选：D【题目点拨】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解掌握水平，属于基础题.11、C【解题分析】由，不满足，则变为，由，则变为，由，则，由，则，由，则，由，则，由，退出循环，则输出的值为，故选C.12、B【解题分析】试题分析：因为抛物线的焦点为，则由题意，得①．又由，得，所以②，由①②得，故选B．考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】分析：先表示函数，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为-1得实数的值.详解：因为，设，则所以因为，所以当时，；当时，；即当时，.点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.14、.【解题分析】分析：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直.详解：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到，，而于点，故垂直于面，进而得到.故两者夹角为.故答案为.点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的情况.15、-3【解题分析】

利用复数的除法、乘法运算整理可得：，利用复数是纯虚数列方程可得：，问题得解．【题目详解】若复数是纯虚数，则解得：故填：【题目点拨】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，还考查了纯虚数的概念及方程思想，属于基础题．16、【解题分析】

利用二项展开式得出第七项x的指数，利用指数为零，求出的值．【题目详解】解：的展开式的第七项为，由于第七项为常数项，则，解得，故答案为：1．【题目点拨】本题考查二项式定理，考查对公式的理解与应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是.(2).【解题分析】

分析：（Ⅰ）求出导函数，由于定义域是，可按和分类讨论的正负，得单调区间．（Ⅱ）由函数在处取极值得且可得的具体数值，而不等式可转化为，这样只要求得的最小值即可．详解：（Ⅰ）在区间上，.①若，则，是区间上的减函数；②若，令得.在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数；综上所述，①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是．（II）因为函数在处取得极值，所以解得，经检验满足题意．由已知，则令，则易得在上递减，在上递增，所以，即.点睛：本题考查用导数求函数的单调区间、函数极值，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立通常通过分离参数法转化为求函数的最值．18、(Ⅰ)；(Ⅱ)2【解题分析】

（Ⅰ）解法1：将展开，找出项的系数表达式，结合条件列方程求出的值；解法2：利用二项式定理写出的通项，令的指数为，列方程求出参数的值，再将参数代入通项得出的系数的表达式，结合条件列方程求出实数的值；（Ⅱ）解法1：令代入题干等式求出的值，再令可得出的值，减去可得出，再乘以可得出答案；解法2：利用二项式定理求出、、、、、、的值，代入代数式可得出答案。【题目详解】（Ⅰ）解法1：因为，所以，解法2：，，所以。（Ⅱ）解法1：当时，，当时，，，；解法2：由二项展开式分别算出，代入得：。【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，考查二项式指定项的系数问题，考查项的系数和问题，一般利用赋值法来求解，考查计算能力，属于中等题。19、（1）（2）（3）证明见解析【解题分析】

（1）由二次函数的性质可知对称轴为,则,即可求解；（2）由（1）,则,转化函数有两个不同的零点为方程有两个不相等的实数根,则,进而求解即可；（3）将与分别代入中可得,利用配方法证明即可.【题目详解】（1）解:因为的对称轴为轴,而的对称轴为,所以有,所以（2）解:依题意有两个不同的零点,即关于的方程有两个不相等的实数根,所以,即,则（3）证明:因为恒成立,所以对恒成立【题目点拨】本题考查二次函数的图象与性质的应用,考查二次函数零点的个数的问题,考查不等式恒成立的证明.20、（1）；（2）.【解题分析】

建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系的数量积求出底面半径，然后求体积．求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．【题目详解】建立如图坐标系，设底面半径为r，由高为得：，则，因为异面直线与所成角为，所以，解得，所以圆锥的体积．，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的大小为，则，所以，所以二面角的大小为．【题目点拨】本题考查圆锥的体积的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．计算二面角的时候，可以借助构建空间直角坐标系，然后利用向量的数量积求出结果．21、（1）55108【解题分析】

（1）根据表格，得出顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率，之后应用互斥事件有一个发生的概率和独立事件同时发生的概率公式求得结果；（2）利用二项分布求得结果.【题目详解】(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为13设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)=（=127(2)由题意可知X~X0123P272791E(X)=3×【题目点拨】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立事件同时发生的概率公式，互斥事件有一个发生的概率公式，独立重